André Luiz da Costa Carvalho Teoria de Conjuntos André Luiz da Costa Carvalho

O que é um conjunto? Definição difícil (ver mais adiante) Um conjunto é qualquer coleção, dentro de um todo de objetos definidos e distinguíveis, chamados elementos, de nossa intuição ou pensamento.

Exemplos (a) O conjunto de todas as cadeiras na sala de aula. (b) O conjunto de todos os estudantes desta universidade. (c) O conjunto das letras a, b, c e d. (d) O conjunto das regras de uso do laboratório de informática. (e) O conjunto de todos os números racionais cujo quadrado é 2. (f) O conjunto de todos os números naturais. (g) O conjunto de todos os números reais entre 0 e 1. Um conjunto que contém apenas um número finito de elementos é chamado um conjunto finito; Um conjunto infinito é um conjunto que não é finito. Exemplos de (a) a (e) acima são todos de conjuntos finitos, e Exemplos (f) e (g) são de conjuntos infinitos.

Conjuntos são frequentemente designados fechando-se entre chaves os símbolos que representam seus elementos, quando for possível fazê-lo. Assim, o conjunto no Exemplo (c) é {a, b, c, d} e o conjunto no Exemplo (f) pode ser denotado por {1, 2, 3, ... }. O conjunto do Exemplo (e) não tem elementos; um tal conjunto é chamado o conjunto vazio, sendo denotado pelo símbolo .

Conjuntos Usaremos letras maiúsculas para denotar conjuntos, e letras minúsculas para denotar elementos. Se a é um elemento de um conjunto A, escrevemos (leia-se: “a é um elemento de A” ou “a pertence a A”), enquanto que a significa que a não é elemento de A. Definição: Dois conjuntos A e B são iguais ou idênticos quando contém os mesmos elementos. Isto é, A = B significa

Quantificadores Em qualquer discussão geral, temos em mente um universo particular ou domínio do discurso, isto é, uma coleção de objetos cujas propriedades estão sob consideração. Por exemplo, na afirmação “Todos os humanos são mortais", o universo é a coleção de todos os humanos. Com este entendimento do universo, a afirmação pode ser expressada alternativamente como: Para todo x no universo, x é mortal

Quantificadores Quantificador Universal – Simboliza que o que é dito sobre um elemento qualquer é verdadeiro todos os possíveis elementos. Ex: Todos os homens são mortais. Todos os números naturais maiores que cinco. Todos os alunos de matemática discreta.

Quantificadores Agora considere a afirmação “Alguns homens são mortais". Aqui o universo (ou domínio de discurso) é ainda o mesmo da afirmação prévia. Com este universo em mente, podemos refazer a afirmação “Alguns homens são mortais" sucessivamente como: Existe pelo menos um indivíduo que é mortal. Existe pelo menos um x tal que x é mortal. Existe pelo menos um x tal que p(x).

Quantificadores A frase “Existe ao menos um x tal que" é chamada um quantificador existencial e é simbolizada por ( ). Usando este novo símbolo podemos agora reescrever a afirmação “Alguns homens são mortais" como:

Quantificadores De um modo geral, suponhamos que temos um domínio de discurso U e uma afirmação geral, p(x), chamada um predicado proposicional, cuja “variável" x varia em U. Então afirma que para todo x, em U, a proposição p(x) é verdadeira, e significa que existe pelo menos um x, em U, tal que p(x) é verdadeira.

Quantificadores Na lógica e na matemática, a negação da proposição “p(x) é verdadeira para todo x (em U)“, , é considerada o mesmo que a asserção “existe pelo menos um x (em U) para o qual p(x) é falsa", Analogamente, é considerada o mesmo que “não há nenhum x (em U) tal que p(x) é verdadeira"; Em outras palavras, “p(x) é falsa para todo x (em U)", ou . Sumarizamos tudo isto no seguinte axioma:

Quantificadores Axioma: Seja p(x) um predicado proposicional, isto é, uma proposição sobre um objeto não especificado de um dado universo. Então:

Quantificadores Para entender melhor as proposições quantificadas, inspecionemos o caso em que o universo de discurso consiste de um núumero finito de indivíduos denotados por a1, a2, a3, ... an. Então, como afirma que p(x) é verdadeira para todos, a1, a2, a3, ... , an, a proposição é verdadeira se e somente se a conjunção de p(a1),p(a2),p(a3)...,p(an) for verdadeira.

Quantificadores Logo: Assim, a negação de quantificadores pode ser considerada a aplicação da Lei de Morgan.

Exemplo Quais das seguintes proposições é equivalente à negação da proposição “Todas as cobras s~ao venenosas"? (a) Todas as cobras são não venenosas. (b) Algumas cobras são venenosas. (c) Algumas cobras não são venenosas.

Exercícios Traduza a proposição da álgebra elementar “A equação x^2 -3x + 2 = 0 tem soluções” em linguagem lógica, usando um quantificador. Encontre a proposição equivalente à negação de cada uma das seguintes proposições, (a) Todas as cobras são répteis. (b) Alguns cavalos são mansos. (c) Alguns matemáticos não são sociáveis. (d) Todas as estudantes são ou inteligentes ou atraentes. (e) Não há bebê que não seja fofo

Conjuntos A ordem em que aparecem os elementos num conjunto não tem importância. O conjunto {a, b, c} é o mesmo que {b, c, a}, etc. Além disso, como os elementos de um conjuntos são distintos, {a, a, b}, por exemplo, não é uma notação apropriada de um conjunto, e deveria ser substituída por {a, b}. Se a é um elemento de um conjunto, a e {a} são considerados diferentes, isto é, a ≠ {a}. Pois {a} denota o conjunto consistindo do elemento a somente, enquanto que a é apenas o elemento do conjunto {a}.

Definição Sejam A e B conjuntos Definição Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A é elemento de B, então A é chamado um subconjunto de B, em símbolos: ou . Se A é subconjunto de B, então B é chamado um superconjunto de A. Escrevendo logicamente:

Se A não é subconjunto de B, escrevemos Obviamente, todo conjunto é um subconjunto (e um superconjunto) de si mesmo. Quando , dizemos que A é um subconjunto próprio de B, ou que B é um superconjunto próprio de A. A é um subconjunto próprio de B quando todo elemento de A é um elemento de B, mas existe um elemento de B que não é elemento de A. Se A não é subconjunto de B, escrevemos

Teorema: O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto. Vamos verificar se isto é verdade?

Teorema: Se e então

Exercícios Quais os subconjuntos do conjunto {a,b,c,d} ? Quem é subconjunto de quem? A = {2,4,6} B = {todos os nros reais que resolvem x^2-8x+12=0} C = {2,4,6,8...} D = {6}

Especificando Conjuntos Um modo de construir um novo conjunto, a partir de um conjunto dado, é especificar aqueles elementos, do conjunto dado, que satisfazem uma propriedade particular. Por exemplo, seja A o conjunto de todos os estudantes desta universidade. A proposição “x é amazonense“ é verdadeira para alguns elementos x de A e falsa para outros. Empregaremos a notação: { x ε A | x é amazonense} para especificar o conjunto de todas os estudantes amazonenses desta universidade. Similarmente, { x ε A | x não é amazonense} Especifica os estudantes não amazonenses.

Especificando Conjuntos Como regra, a todo conjunto A e a toda proposição p(x) sobre x ε A, existe um conjunto {x ε A | p(x)}, cujos elementos são precisamente aqueles elementos x ε A para os quais a afirmação p(x) é verdadeira. Exemplos: {x ε R|x=x+1}, é o conjunto vazio. {x ε R|2x^2-5x-3=0} é o conjunto {-1,2/3}. {x ε N|x>5} é o conjunto {6,7,8,9...}.

Mais exemplos R = {x|x é um número Real} Q = {x|x é um número Racional} Z = {x|x é um número Inteiro} N = {x|x é um número Natural} R+ = {x ε R|x > 0}

Conjuntos de conjuntos É possível que elementos de um conjunto possam ser também conjuntos. Por exemplo, o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A tem conjuntos como seus elementos. Este conjunto é chamado conjunto das partes de A, e é denotado ou . Conjunto das partes ou conjunto potência.

Exemplos A = {a,b,c}, = { ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} } A = {carlos,ana}, = { , {carlos},{ana},{carlos,ana}}

Se A consiste de n elementos, então seu conjunto potência contém exatamente 2^n elementos

Exercícios Quais os elementos dos seguintes conjuntos? A = {x ε N| x<5} B = {x ε Z| x^2 <=25} Escreva os conjuntos na notação de construção de conjuntos: A = {1,2,3} B = {1,3,5,7,9...} Quais os elementos do conjunto potência de {xεZ| x>-2 e x<3}?

Operações com Conjuntos Na aritmética, podemos somar, multiplicar, ou subtrair dois números quaisquer. Na teoria dos conjuntos, há três operações: união, interseção, e complementação, respectivamente análogas às operações adição, multiplicação, e subtração de números.

União A união de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por A U B, é o conjunto dos elementos x tais que x pertence a pelo menos um dos dois conjuntos A e B. Ou seja, se e somente se .

Interseção A interseção de dois conjuntos quaisquer A e B, denotada por , é o conjunto dos elementos x tais que x pertence a ambos os conjuntos A e B. Em símbolos, Se , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Exemplo A – {1,2,3,4}, B = {3,4,5} União? Interseção?

Complemento Existe, na teoria dos conjuntos, uma operação conhecida como complementação, que é similar à operação de subtração na aritmética. Se A e B são conjuntos, o complemento relativo de B em A é o conjunto A - B, definido por: Nesta definição, não é assumido que

Exemplo Sejam A={a,b,c,d} e B={c,d} A - B

Conjunto Universo Por questões matemáticas, é interessante possuir o conceito um conjunto que seja maior que todos os outros conjuntos Conjunto U: Conjunto teórico que contém todos os outros conjuntos. Qualquer conjunto é subconjunto de U. Complemento de um conjunto A: U – A. Notação: A’ ou

Propriedades

Teorema de Morgan