Dejahyr Lopes Junior Curso de Matemática Aula - Probabilidade Dejahyr Lopes Junior Curso de Matemática

Aspectos Gerais de Probabilidades “Após a apuração, apresentação e descrição dos dados obtidos em investigações, o pesquisador busca estender suas observações e conclusões além dos elementos estudados em sua amostra, ou seja, busca fazer inferência. Para fazer inferência estatística usam-se técnicas e conhecimentos de probabilidade..”

Definição de Probabilidade Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1, ou 0% a 100%.

Definições importantes Experimento Probabilístico – É a ação ou um ensaio por meio do qual resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. Resultado – É a consequência de um único ensaio em um experimento probabilístico (ponto amostral). É o resultado de uma única tentativa. Espaço Amostral – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico. Evento – Consiste em um ou mais resultados e é um subconjunto do espaço amostral.

Exemplo simples do uso dos termos mencionados Experimento Probabilístico – Jogar um dado de seis faces. Resultado – Jogar um 2, {2}. Espaço Amostral – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento –Jogar um número par {2, 4, 6}.

Outro Exemplo para clarear a definição de espaço amostral Início Dois dados são jogados. Descreva o espaço amostral. 1a jogada 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2a jogada 36 resultados

Definição P(E)= Clássica (resultados igualmente prováveis) número de resultados em E número total de resultados no espaço amostral P(E)= Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos. Evento A: obter um 3. Evento B: obter um 7. Evento C: obter um número menor do que 5. 1/6 0/6=0 4/6

Espaço amostral e probabilidades 01. Dois dados são jogados e sua soma é anotada. 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. 3/36 = 1/12 = 0,083 Determine a probabilidade de que a soma seja 11. 2/36 = 1/18 = 0,056 Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. (3+2)/36 = 0,139

Eventos complementares O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E. P(E´ ) = 1 – P(E) 02. A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais são defeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso, determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso. Solução: P (defeituoso) = 5/12 P (não defeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583

Probabilidade condicional A probabilidade de um evento B ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento A já ocorreu. Escrevemos essa situação como P(B|A) e lemos “a probabilidade de B, dado A”. 03. Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro carro era defeituoso? Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço amostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11. Logo, P(B|A) = 4/11.

Eventos independentes Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4. Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6

Eventos independentes Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A. A = ser mulher. B = ter sangue tipo O. A = 1o filho ser menino. B = 2o filho ser menino. Dois eventos que não são independentes são dependentes. A = tomar uma aspirina por dia. B = ter um ataque do coração. A = ser mulher. B = ter menos de 1,62 m.

Recapitulando Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B) Probabilidade condicional Probabilidade Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. A = o primeiro carro é defeituoso. B = o segundo carro é defeituoso. A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes. Dois dados são lançados. A = sair 4 no primeiro e B = sair 4 no segundo. P(B) = 1/6 e P(B|A) = 1/6. Os eventos são independentes.

Compare “A e B” a “A ou B” O evento composto “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. Para definir P(A e B), usa-se a Regra da Multiplicação. O evento composto “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B, assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição. A B A ou B mutuamente exclusivos não mutuamente exclusivos A e B A B

Eventos não mutuamente exclusivos Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos. A = ter menos de 25 anos. B = ser um advogado. A = ter nascido na Filadélfia. B = ver West wing na TV. A B A e B Sem exclusão mútua P(A e B) ≠ 0

A Regra da Adição A probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é: P(A) + P(B) – P(A e B) 04. Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser um rei ou ser de naipe vermelho. A = a carta é um rei. B = a carta é vermelha. P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52 mas P(A e B) = 2/52 P(A ou B) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = 0,538

Quando os eventos são mutuamente exclusivos, A Regra da Adição 05. Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de a carta ser um rei ou um 10. A = a carta é um rei. B = a carta é um 10. P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52 P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0/52 = 8/52 = 0,153 Quando os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ou B) = P(A) + P(B)

Tabela de contingência Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir. Campinas São José Ribeirão Total Sim 100 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 300 450 1.000 Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: 1. P(Ribeirão e sim) 2. P(São José e Ribeirão) 3. P(Ribeirão ou sim) 4. P(Ribeirão ou São José)

Tabela de contingência Campinas São José Ribeirão Total Sim 100 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 300 450 1.000 Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: 1. P(Ribeirão e sim) 2. P(Ribeirão e São José) = (150/250) . (250/1.000) = 150/1.000 = 0,15 = 0

Tabela de contingência Campinas São José Ribeirão Total Sim 100 150 400 Não 125 130 95 350 Não sabe 75 170 5 250 300 450 1.000 250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000 = 500/1.000 = 0,5 3. P(Ribeirão ou sim) 4. P(Ribeirão ou São José) 250/1.000 + 450/1.000 – 0/1.000 = 700/1.000 = 0,7

Resumo Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra Para eventos complementares P(E ') = 1 – P(E) Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro. Probabilidade de que ambos os eventos ocorram P(A e B) = P(A) • P(B|A) Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu. Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram.