Teoria das filas

Introdução Por que aparecem as filas? Não é eficiente, nem racional, que cada um disponha de todos os recursos individualmente. Por exemplo: que cada pessoa disponha do uso exclusivo de uma rua para se movimentar que cada pessoa tenha um supermercado para o seu abastecimento exclusivo Recursos limitados devem ser compartilhados. 2

Introdução Ao compartilhar recursos, pode acontecer que no momento em que se queira fazer uso de um recurso, este esteja ocupado, necessidade de esperar aparecem as filas Exemplo: nos sistemas de fluxo pode acontecer a formação de filas 3

Sistemas de fluxo Um fluxo é o movimento de alguma entidade através de um ou mais canais de capacidade finita para ir de um ponto a outro. Capacidade finita significa que o canal só pode satisfazer a demanda a uma taxa finita. Exemplos: fluxo de automóveis (entidades) através de uma rede de caminhos (canais) transmissão de mensagens telefônicas (entidades) através da rede (canal) 2 4 2

Sistemas de fluxo Se dividem em duas classes: Determinísticos: sistemas no qual o comportamento da demanda de serviço é totalmente previsível, isto é, a quantidade de demanda é exatamente conhecida sobre o intervalo de interesse. Aleatório: não é possível predizer como vai se comportar a demanda de serviço, por exemplo, o instante de chegada de uma demanda é imprevisível. 4 5 4

Sistemas de fluxo Exemplo de fluxo determinístico: Seja r a taxa de chegada (constante) de pacotes em uma rede de comutação a um buffer. Seja c a taxa (constante) com que esses pacotes são processados em cada nó. Se r > c, o buffer do nó é inundado com pacotes, já que o número de pacotes em espera de serviço crescerá indefinidamente. Se r < c, se tem um fluxo estável, o número de pacotes em espera de serviço é finito. 5 6 5

Sistemas de fluxo Exemplo de fluxo aleatório: Um centro de computação em que as solicitações de impressão podem chegar em instantes imprevisíveis. Quando um trabalho de impressão chega, pode ser que o servidor esteja atendendo outro e seja necessário esperar. Se está desocupado, pode atender imediatamente à nova solicitação de impressão até que esta fique completa. 6 7 6

Teoria das filas Representação de uma fila Fila Servidores 1 2 Chegadas ao sistema Saídas do 3 8 9 8

Teoria das filas Notação de Kendall para descrever uma fila: A/B/C/K/m/Z 5 2 4 9 10 9

Teoria das filas A/B/C/K/m/Z Notação de Kendall para descrever uma fila: A/B/C/K/m/Z distribuição do tempo entre chegadas Alguns valores de A mais comuns: M: denota distribuição exponencial equivalente (M provém de Markoviano) G: distribuição geral D: representa um tempo fixo (determinístico) 5 5 2 11 10 10

Teoria das filas A/B/C/K/m/Z Notação de Kendall para descrever uma fila: A/B/C/K/m/Z distribuição do tempo entre chegadas Alguns valores de B mais comuns: M: denota distribuição exponencial equivalente (M provém de Markoviano) G: distribuição geral D: representa um tempo fixo (determinístico) distribuição do tempo de serviço 5 2 6 12 11 11

Teoria das filas A/B/C/K/m/Z Notação de Kendall para descrever uma fila: A/B/C/K/m/Z distribuição do tempo entre chegadas número de servidores distribuição do tempo de serviço 5 2 7 13 12 12

Teoria das filas A/B/C/K/m/Z Notação de Kendall para descrever uma fila: A/B/C/K/m/Z distribuição do tempo entre chegadas K é omitido quando: K =  número de servidores distribuição do tempo de serviço número máximo de clientes permitidos no sistema 5 8 2 14 13 13

Teoria das filas A/B/C/K/m/Z Notação de Kendall para descrever uma fila: A/B/C/K/m/Z m se omite quando: m =  distribuição do tempo entre chegadas número de servidores tamanho da população distribuição do tempo de serviço número máximo de clientes permitidos no sistema 5 2 9 15 14 14

Teoria das filas A/B/C/K/m/Z Notação de Kendall para descrever uma fila: A/B/C/K/m/Z disciplina de serviço distribuição do tempo entre chegadas número de servidores tamanho da população distribuição do tempo de serviço número máximo de clientes permitidos no sistema Z se omite quando:  = FIFO 5 2 10 15 15 16

Teoria das filas Notações usadas nos sistemas de filas: Ci: i-ésimo usuário que entra ao sistema. ri: tempo de chegada de Ci ti: tempo entre as chegadas de Ci-1 e Ci (ti = ri - ri-1) A(t): distribuição do tempo entre chegadas = P[tit] xi: tempo de serviço para Ci B(x): distribuição do tempo de serviço = P[xi x] wi: tempo de espera na fila de Ci se: tempo no sistema (fila mais serviço) de Ci (se = wi + xi) 7 4 11 16 17 16

Teoria das filas Notação de filas em diagrama temporal Servidor Fila Ci-1 Ci Ci+1 Ci+2 se ri ri+1 ri+2 wi xi xi+1 xi+2 Ci Ci+1 Ci+2 ti+1 ti+2 Tempo Servidor Fila Ci Ci+1 Ci+2 8 5 12 18 17 17

Teoria das filas Notações usadas nos sistemas de filas (cont.) Ek: estado do sistema (normalmente corresponde ao número de usuários no sistema) ktaxa média de chegada dos usuários ao sistema, quando este se encontra no estado k k: taxa média de serviço quando o sistema se encontra no estado k 19

Teoria das filas Outros parâmetros de uma fila: N(t): número de usuários no sistema no instante t L = E[k]: número médio de usuários no sistema (em estado estacionário) LQ: número médio de usuários na fila (em estado estacionário). T = E[s]: tempo médio de permanência de um usuário no sistema = E[k]/ (fórmula de Little) 18 20 18

Cadeias de Markov discretas

Cadeias de Markov discretas Markov estabeleceu uma simples e útil relação entre as variáveis aleatórias que forman processos estocásticos

Definições Estado: se Xn= i diz-se que o processo está no estado i no instante n, onde {Xn, n=0,1,2...} é um processo estocástico que passa por um número finito ou contável de possíveis estados. Transição: a transição de um estado a outro depende somente do estado atual, e não da história do processo

Observações No caso das cadeias discretas de Markov, os instantes de tempo nos quais a transição entre um estado e outro acontecem podem asumir apenas valores inteiros 0, 1, 2..., n. Em outras palavras, o tempo é discretizado. Os processos devem permanecer num estado determinado durante um tempo que deve estar geométricamente distribuído.

Observações Propriedade Markoviana: P{Xn+1 = j | Xn = i, Xn-1= in-1,... X0 = i0} =P{Xn+1 = j | Xn = i} = Pij  0 Interpretação (sistema sem memória): A transição de um estado para outro só depende do estado atual, e não da história do processo.

Cadeias de Markov discretas Xn denota a cidade na qual encontra-se o turista ao meio-dia no dia n X1 X2 X3 X4 X5 Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena 1 2 3 4 5 ... Me leva? t

Cadeias de Markov discretas Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena 1 2 3 4 5 ... Me leva? t

Cadeias de Markov discretas Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena 1 2 3 4 5 ... Me leva? t

Cadeias de Markov discretas Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena 1 2 3 4 5 ... Me leva? t

Cadeias de Markov discretas Curicó Rancagua Santiago Valparaíso Serena ... 1 2 3 4 5 Continuarei mais ao Norte? t

Cadeias de Markov discretas Da minha viagem,n posso lhes dizer que: Nos processos de Markov, o estado atual do sistema e as probabilidades de transição entre os diversos estados caracterizam o comportamento futuro do sistema. Já que um processo de Markov está num estado determinado, seu comportamento futuro não depende de sua história antes de chegar a esse estado.

Definições Cadeias de Markov são processos estocásticos {X(t)} que satisfazem: pij: probabilidade de transição do estado i para o estado j depende somente do estado i P=[pij]: matriz de probabilidade de transição : tempo em que o processo permanece no estado i, sem memória

Exemplo Considerando-se apenas o trajeto Santiago-Valparaíso-Serena, tem-se graficamente: (1) Valpo 1/4 3/4 3/4 1/4 Santiago 1/4 (0) Serena 1/2 (2) 1/4

Números entre parênteses usados posteriormente (1) Valpo 1/4 3/4 3/4 1/4 Santiago 1/4 (0) Serena 1/2 (2) 1/4 Números nos arcos dão a probabilidade pij do viajante ser recolhido por um carro Probabilidade do viajante permanecer em Serena até o dia seguinte é 1/2 Números entre parênteses usados posteriormente

Matriz de probabilidades de transição: (1) Valpo 1/4 3/4 3/4 1/4 Santiago 1/4 (0) Serena 1/2 (2) 1/4 Matriz de probabilidades de transição:

Definições Num processo de Markov, se diz que um estado Sj é transiente se, de algum estado Sk que pode ser alcançado desde Sj, o sistema não pode voltar a Sj. A probabilidade de não voltar a si mesmo existe. 1 3 2 Estados 1 e 2 são transientes

Definições Se diz que um estado é recorrente se de cada estado Sk alcançável a partir de Sj, o sistema pode voltar a Sj. 1 3 2 Estados 1, 2 e 3 são recorrentes

Cadeias de Markov discretas Exemplo 1: “predição do tempo” Dois estados possíveis: 0: chuva 1: não chuva Hipótese: o tempo amanhã só depende de hoje (processo sem memória) Chove hoje  probabilidade de chover amanhã =  Não chove hoje  probabilidade de chover amanhã = 

Cadeias de Markov discretas Cadeia de Markov fica definida por: 1 1 Graficamente: 1

Cadeias de Markov discretas Exemplo 2: “transformar um processo não- Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)” Considere-se um elevador em um prédio de três andares: E Estados: Andar 3 Andar 2 Andar 1

Cadeias de Markov discretas Processo não-Markoviano, porque no estado 2 é necessária a informação do estado anterior (1 ou 3) para saber qual será a direção do elevador. Para que o processo seja Markoviano, se faz necessária uma redefinição dos estados.

Cadeias de Markov discretas Exemplo 2: “transformar um processo não-Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)” E Redefinição dos estados: 3: Andar 2, sentido abaixo 2: Andar 3, sentido abaixo 1: Andar 2, sentido acima 0: Andar 1, sentido acima

Cadeias de Markov discretas Da redefinição obtém-se o novo diagrama de estados: 1 1 1 1 2 3 1 0: andar 1, sentido acima 1: andar 2, sentido acima 2: andar 3, sentido abaixo 3: andar 2, sentido abaixo

Cadeias de Markov discretas Exemplo 2.1: “transformar um processo não-Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)” Choveu, choveu  amanhã choverá: p=0,7 Não-choveu, choveu  amanhã choverá: p=0,5 Choveu, não choveu  amanhã choverá: p=0,4 Não choveu, não choveu  amanhã choverá: p=0,2 Usando a definição anterior NÃO é processo de Markov

Cadeias de Markov discretas Exemplo 2.1: “transformar um processo não- Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)” Motivo: há contradição; precisa-se de informação não só do dia presente, mas também do anterior. Redefinição de estados: se o estado depende do tempo de ontem e hoje então SIM, pode ser Markoviano Para transformar um processo não-Markoviano em Markoviano (se possível), devem ser redefinidos os estados de maneira adequada.

Cadeias de Markov discretas Exemplo 2.1: “transformar um processo não- Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)” Portanto, se são redefinidos os seguintes estados: 0: Choveu, choveu 1: Não choveu, choveu 2: Choveu, não choveu 3: Não choveu, não choveu

Cadeias de Markov discretas Estados: 0: Choveu, choveu 1: Não choveu, choveu 2: Choveu, não choveu 3: Não choveu, não choveu Cadeia de Markov definida pela matriz de probabilidade de transição:

Definições i = probabilidade estacionária de estar no estado i i(n) = probabilidade de estar no estado I no instante n i(0) = probabilidade inicial de estar no estado i =(0, 1, 2, …, n) Por definição:

Definições Exemplo: Aplicando recursivamente: ou

Definições Se a cadeia de Markov é irredutível e ergódica, então: existe e  é denominada a probabilidade límite de P, ou autovetor esquerdo de P. Obtenção de :

Cadeias de Markov discretas Exemplo 3: utilizando o exemplo 1, se a probabilidade de que choverá hoje é 0.2 e Qual é a probabilidade incondicional de que amanhã choverá?

Cadeias de Markov discretas Aplicando o teorema da probabilidade total: seja  a probabilidade incondicional de que choverá amanhã.  = P(amanhã choverá | hoje choveu) + P(amanhã choverá | hoje não choveu)

Cadeias de Markov discretas Exemplo 4: utilizando o exemplo 1 Se e então a probabilidade límite de que choverá é

Cadeias de Markov discretas Voltando ao exemplo do turista: Me leva? (1) Valpo 1/4 3/4 3/4 1/4 Santiago 1/4 (0) Serena 1/2 (2) 1/4

Cadeias de Markov discretas Do diagrama de estados pode obter-se a matriz de probabilidades de transição definindo-se a matriz de probabilidade como:

Cadeias de Markov discretas Considerando-se a relação obtém-se que com

Cadeias de Markov discretas Resolvendo-se as equações obtém-se as probabilidades em estado de equilíbrio:

Cadeias de Markov de tempo contínuo

Cadeias de Markov de tempo contínuo Definição: uma cadeia de Markov de tempo contínuo é um processo aleatório em que, dado o estado presente, o valor do processo no futuro não depende do passado. É como uma cadeia de Markov discreta, com a diferença de que o tempo de permanência em um estado é uma variável aleatória com distribuição exponencial.

Cadeias de Markov de tempo contínuo Evolução a partir de um estado: : taxa média de saída do estado i para o estado j : taxa média de saída do estado i para o estado k : probabilidade de transitar do estado i ao estado j, no momento da transição Pij 2

Cadeias de Markov de tempo contínuo Definição: tij (tik): tempo de permanência no estado i antes de transitar para j (k), caso passe para j(k). tij e tik são variáveis aleatórias com distribuição exponencial de parâmetros ij e  ik respectivamente. Seja t o tempo de permanência no estado i. Do anterior se deduz que : t = min { tij , tik } t se distribui exponencialmente com parâmetro ( ij+ ik)

Cadeias de Markov de tempo contínuo Propriedades: O tempo de permanência em um estado é Markoviano (processo sem memória) A escolha do próximo estado se efetua no instante da transição e só depende do estado atual e não do passado, portanto é Markoviano.

Cadeias de Markov de tempo contínuo Dado que o tempo de permanência em qualquer estado e a escolha do próximo estado são Markovianos, então tem-se uma cadeia de Markov de parâmetro contínuo. As variáveis aleatórias “tempo de permanência no estado i” e “próximo estado visitado” são independentes.

Cadeias de Markov de tempo contínuo Definição formal: Um processo aleatório X(t) é uma cadeia de Markov de tempo contínuo se:

Cadeias de Markov de tempo contínuo Exemplo : processo de Poisson j-i chegadas N(t): estado no instante t N(t): número de chegadas até t

O que é resolver uma cadeia de Markov? É encontrar as probabilidades de transição de qualquer estado i a qualquer estado j em um dado instante. Para resolver este problema se utilizará o princípio do balanço global

Princípio de balanço global Definições: . . . . . .

Princípio de balanço global Definições: k: probabilidade em regime estacionário de estar no estado k Outra interpretação: fração de tempo que o sistema fica no estado k. Unidade de tempo Unidade de tempo

Princípio de balanço global Definições: k(t): probabilidade de estar no estado k no instante t ki: taxa média de transição do estado k para o estado i k· ki: número médio de transições do estado k ao estado i, por unidade de tempo.

Princípio de balanço global . . . . . . Número médio de entradas de qualquer estado k ao estado i em t número médio de saídas do estado i a qualquer estado j em t

Princípio de balanço global Número de entradas totais ao estado i emt: Número de saídas totais desde o estado i em t:

Princípio de balanço global Balanço de fluxos Entradas líquidas médias por unidade de tempo (EN) número médio de entradas totais por unidade de tempo número médio de saídas totais por unidade de tempo - = Considerando-se o número de entradas líquidas em um intervalo t, se tem que:

Princípio de balanço global O número de entradas líquidas em t pode ser interpretado como: Unidade de tempo

Princípio de balanço global Usando-se novamente o balanço de fluxos: número de entradas totais em t número de saídas totais em t Variação do tempo de permanência no estado i, por unidade de tempo - = Esta variação pode expressar-se em forma da equação de diferenças: (1)

Princípio de balanço global Dividindo por t em (1): (2) Tomando-se o limite em (2): (3) “ Equação de balanço global para o estado i”

Princípio de balanço global Equação de balanço global para um estado i qualquer: Pode-se reescrever em forma vetorial da seguinte maneira:

Princípio de balanço global Definindo-se:

Equações de balanço global O conjunto das equações de balanço global pode expressar-se em forma matricial como: Além disso, sempre: “Equações de balanço global”

Equações de balanço global Em estado estacionário se tem que: fluxo de entrada = fluxo de saída “Equações de balanço global em estado estacionário”

Equações de balanço global Os conjuntos de equações anteriores servem para resolver tanto a situação transiente como estacionária da cadeia de Markov. Isto é, nos permite encontrar as probabilidades de transição de qualquer estado i a qualquer estado j num intervalo t qualquer (Pij(t)).

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Uma máquina funciona uma quantidade de tempo exponencialmente distribuída com média 1/Quando falhase repara com a mesma distribuição em um tempo médio 1/. Inicialmente, a máquina encontra-se funcionando. Deseja-se determinar a probabilidade de que a máquina esteja funcionando em um instante t dado. Inicialmente a máquina se encontra operacional.

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Em reparo Se tem que : Condições iniciais:

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Equações de balanço global estabelecem que: Forma escalar da equação anterior é: 25

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Portanto: (4) (5) (6)

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Resolvendo (4), (5) e (6), obtém-se:

Exemplo: Cadeia de Markov de dos estados Resolvendo em estado estacionário, obtém-se: (7) (8) (9)

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Resolvendo (7), (8) e (9), obtém-se : Observação: Também pode chegar-se a este resultado através das equações em estado transiente, fazendo tender o parâmetro t a infinito.

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Gráfico de 0 com =4 0 =2 =5 =7 t

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Gráfico de 0 com =4 0 =7 =5 =2 t

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Gráfico de 1 com =4 1 =7 =5 =2 t

Exemplo: Cadeia de Markov de dois estados Gráfico de 1 com =4 1 =2 =5 =7 t

Problema 1 Seja uma cadeia de Markov de três estados como se ilustra na figura: 01 10 20 02 Dado que acontece uma transição do estado 0, determinar a probabilidade de que esta transição seja para o estado 1.

Problema 1 Define-se: t01: tempo de permanência no estado 0 antes de transitar para o estado 1, caso transite para o estado 1 t02: tempo de permanência no estado 0 antes de transitar para o estado 2, caso transite para o estado 2 A probabilidade pedida é equivalente à probabilidade de que a transição para o estado 1 ocorra antes da transição para o estado 2.

Problema 1 Portanto:

Problema 1 Estendendo o resultado anterior, para qualquer número de estados, se tem que: onde Pij: probabilidade de transitar do estado i para o estado j, dado que acontece uma transição ik: taxa média de saída do estado i para o estado k

Problema 2 Dado que aconteceu uma transição do estado i, qual é a probabilidade de que o próximo estado seja i ? Sabe-se que: Além disso:

Problema 2 Portanto:

Problema 3 Dado que no instante zero o sistema está no estado i, qual é a probabilidade de permanecer neste estado até o instante t? P{permanecer em estado i até t} = 1 - P{sair do estado i até t} Dado que o tempo de permanência é exponencial: Portanto: P{sair do estado i até t} P{permanecer no estado i até t}