Propriedades Físicas das Rochas Propriedades Elásticas das Rochas Prof. Marcelo Peres Rocha Prof. Adriana Chatack Carmelo Brasília-DF - 1º Semestre/2011

Lei de Hooke (Relação entre Stress e Strain) Para um material elástico ideal, os tensores Esforço e Deformação podem ser relacionados pela Lei de Hooke generalizada: Onde Cijkl representa o tensor de rigidez elástica ou tensor de elasticidade. Este tensor pode possuir até 81 componentes.

Lei de Hooke (Relação entre Stress e Strain) Os coeficientes Cijkl são independes, e quando se considera simetria de dos tensores Esforço e Deformação, é possível reduzir este número para 36:

Num. de componentes independentes Lei de Hooke (Relação entre Stress e Strain) Se considerarmos a simetria dos materiais (arranjo cristalino) é possível diminuir mais ainda o número de componentes da matriz elástica: Tipo de Material Num. de componentes independentes Triclínico 21 Ortorrômbico 9 Trigonal 6 Hexagonal 5 Cúbico 3 Isotrópico 2 Com exceção do último tipo de material da tabela, todos são anisotrópicos, ou seja, as propriedades mecânicas variam de acordo com a direção.

Lei de Hooke (Relação entre Stress e Strain) Em um material isotrópico, quando as propriedades mecânicas não dependem da direção, a relação entre Esforços e Deformação pode ser expressa de uma forma ainda mais simples: ou onde e Chamado de Dilatacional Delta de Kronecker Resultando em e Normal Cisalhante  e  as constantes de Lamé.  não possui sentido físico, e  é conhecida como modo de rigidez, ou como incompressibilidade.

Matricialmente, temos que a expressão: Lei de Hooke (Relação entre Stress e Strain) Matricialmente, temos que a expressão: Pode ser expressa por: E sendo assim,  e  as únicas componentes independentes, e que governam o regime elástico de um material isotrópico.

 Relação entre Esforço e Deformação σ Campo Inelástico  Campo Elástico Campo Inelástico A  B C Fonte: Modificado de Sheriff e Geldart (1989). A = Limite de elasticidade B = Limite de resistência última C = Limite de ruptura

Constantes Elásticas Embora as constantes de Lamé representem o comportamento elástico de um determinado material, em problemas técnicos é comum se utilizar outras constantes elásticas. Estas constantes expressam a razão entre um tipo particular de tensão e a deformação resultante. As mais comuns são: - O Módulo de Young (E); - A Razão de Poisson (); (Não confundir com o símbolo do Esforço) - Módulo de Bulk (k);

Constantes Elásticas – Módulo de Young O Módulo de Young é um parâmetro mecânico que proporciona uma medida da rigidez de um material sólido. Pode ser definido como a razão entre a tensão longitudinal e a deformação longitudinal. Material Valor (Gpa) Borracha 0.01-0.1 Vidro 50-90 Aço 200 Diamante 1220 Alguns valores do Módulo de Young:

Constantes Elásticas – Razão de Poisson A Razão de Poisson é a razão da deformação transversal pela longitudinal. As rochas tendem a se contrair ou expandir na direção perpendicular à do esforço que nelas está atuando. E por isso a Razão de Poisson pode dar uma idéia das características elásticas das rochas. Material Valor Borracha 0.5 Vidro 0.18-0.3 Aço 0.27-0.30 Cortiça 0.0 Alguns valores da Razão de Poisson:

Constantes Elásticas – Módulo de Bulk O Módulo de Bulk é a razão entre a tensão volumétrica e a deformação volumétrica. É a medida da resistência de uma substância à uma compressão uniforme. É muito utilizada para estudar características elásticas de gases e líquidos. Alguns valores do Módulo de Bulk: Material Valor (GPa) Vidro 35-55 Aço 160 Diamante 442

E = μ ( 3λ + 2μ ) _ (λ + μ ) κ = 1 ( 3 λ + 2 μ ) 3  = _ λ _ 2(λ + μ ) Constantes Elásticas – (Relação com as constantes de Lamé Módulo de Young ( E ) E = μ ( 3λ + 2μ ) _ (λ + μ ) κ = 1 ( 3 λ + 2 μ ) 3 Incompressibilidade (κ)-”Bulk” Razão de Poisson ()  = _ λ _ 2(λ + μ )

E = μ ( 3λ + 2μ ) _  (λ + μ ) κ = 1 ( 3 λ + 2 μ )  3  = _ λ _  Módulo de Young ( E ) Módulo de Incompressibilidade (κ) κ = 1 ( 3 λ + 2 μ )  3 Razão de Poisson ()  = _ λ _  2(λ + μ ) (Fórmula de Christensen)