Modelos Discretos

Modelos Discretos Considere a sequência do número de peças de dominó apresentada na figura seguinte: A regra de construção desta sequência pode ser definida a partir da seguinte tabela. 2

Modelos Discretos n Nº de peças 1º Fila 1 2º Fila 2 3 3º Fila 5 Estamos perante uma sequência de números que obedece a uma determinada lei. Portanto, existe uma correspondência entre o número da fila e o número de peças de dominó. 3 3

Modelos Discretos d1 = 1 d2 = 3 = 1+2 d3 = 5 = 1+2x2 d4 = 7 = 1+2x3 ……........ …….. dn = 1+ 2(n-1)   4 4

Modelos Discretos A expressão que melhor modela a situação dada é: y = 1+2(n-1). O exemplo dado é uma função de domínio IN , ou seja, é uma função real de variável natural, que designamos por (dn) e que definimos do seguinte modo: dn : IN  IR dn = 2n - 1 2n -1é o termo gerador da sequência ou termo geral. 5 5

Modelos Discretos Sucessão em IR é uma função real de variável natural. Visto que existe uma ordem natural pela qual são apresentados os objetos, estes designam-se por ordens e as suas respetivas imagens por termos da sucessão. O seu gráfico não é uma linha, mas sim um conjunto de pontos isolados de coordenadas (n, dn ). 6 6

Modelos Discretos Considere a sucessão de termo geral Calcule os quatro primeiros termos: 7 7

Modelos Discretos Verifique se é termo da sucessão 7n+21-8n+8=0  7(n+1)  0  n = 13 n  -1 Como 13  IN então é termo da sucessão. É o décimo terceiro termo. 8 8

Modelos Discretos Uma sucessão (dn ) é crescente (em sentido estrito) se e só se, para todo o n  IN : Simbolicamente: (dn ) é crescente em sentido estrito ⇔ , n  IN 9 9

Modelos Discretos Uma sucessão (dn) é decrescente (em sentido estrito) se e só se, para todo o n  IN : Simbolicamente: (dn ) é decrescente em sentido estrito ⇔ , n  IN 10 10

Modelos Discretos Estude quanto à monotonia a sucessão porque o numerador é negativo e o denominador é sempre positivo. 11 11

Modelos Discretos Uma sucessão (un ) é monótona (em sentido estrito) se e só se, para todo o n  IN, a sucessão for crescente ou decrescente (em sentido estrito). 12 12

Modelos Discretos Uma sucessão (dn) diz-se minorada se e só se: ∃ m  IR , n  IN : m < dn 2 1 m=1/2 2 4 6 13 13

Modelos Discretos Prove que vn > 1 n  IN   como 2 é positivo e o denominador é sempre positivo então a condição anterior é universal. Logo vn > 1 n  IN   14 14

Modelos Discretos Uma sucessão (dn) diz-se majorada se e só se: M IR , n  IN : dn < M M =3 2 1 2 4 6 15 15

∃ m, M  IR , n  IN : m < dn < M Modelos Discretos Uma sucessão (dn) é limitada se e só se for majorada e minorada, ou seja: ∃ m, M  IR , n  IN : m < dn < M 3 2 1 2 4 6 8 -1 16 16

Modelos Discretos Prove que vn é limitada Como vn > 1 n  IN então 1 é minorante da sucessão. A sucessão é decrescente e v1 = 2 , logo 2 é majorante da sucessão. Podemos então afirmar que 1 < vn < 2 n  IN. Ou seja a sucessão é limitada. 17 17