TRIGONOMETRIA sen tg cos 30° 150° 210° 330° 45° 135° 225° 315° 60° É só o Filé! TRIGONOMETRIA 30° 150° 210° 330° 45° 135° 225° 315° 60° 120° 240° 300° cos sen tg 90° 180° 270° 0°/360° Fred Tavares

TRIGONOMETRIA sen tg cos 30° 150° 210° 330° 45° 135° 225° 315° 60° É só o Filé! TRIGONOMETRIA 30° 150° 210° 330° 45° 135° 225° 315° 60° 120° 240° 300° cos sen tg 90° 180° 270° 0°/360° Fred Tavares

Teorema Fundamental da Trigonometria

Demonstração ... )θ 1 cos sen 1 -1 sen θ cos θ θ ·

Continuação... sen 1 1 sen θ )θ -1 1 cos cos θ -1

Continuação... )θ 1 sen θ cos θ Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos : C M P Q D

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo )θ Cateto Adjacente Cateto Oposto Hipotenusa

Continuação ... Seno de θ Cosseno de θ Tangente de θ Cossecante de θ Cotangente de θ Secante de θ Cossecante de θ Tangente de θ Cosseno de θ Seno de θ Relação no Triângulo Retângulo Ente Trigonométrico

Na Circunferência Trigonométrica sen tg · tg θ sen θ )θ cos cos θ

Continuação ... cossec θ cotg cotg θ · )θ secante θ

Arcos Notáveis sen tg cos 90° 180° 270° 0°/360° 120° 240° 300° 60° tg 90° 180° 270° 0°/360° 120° 240° 300° 60° 135° 225° 315° 45° 30° 150° 210° 330°

Tabela de Entes Trigonométricos ...

Vamos pensar . . . ?

Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o sen a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

2) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o cos a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

3) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a tg a vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

4) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a cotg a vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

5) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que tg a .cotg a vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1

sen2 q + cos2 q = 1 6) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen2 a + cos2 a vale: a) b2 / a2 b) 9c2 / b2 c) 0 d) 1 e) (c2 + b2) / 9a2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen2 q + cos2 q = 1

7) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que sec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

8) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que cossec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

9) Se sen a = b/c, então, calculando o valor de chegaremos a: a) a/c b) b/c c) a/b d) b/a e) 1 Procure sempre partir da relação fundamental Resposta na outra folha

Voltando para a parte teórica...

Seja um triângulo ABC qualquer Lei dos Senos Seja um triângulo ABC qualquer ) ( A B C a c b temos :

Seja um triângulo ABC qualquer Lei dos Cossenos Seja um triângulo ABC qualquer ) ( A B C a c b temos :

Gráficos das funções trigonométricas Senóide sen x y x • 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° 90° 1 -1

Cossenóide • y cos x 1 x -1 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° 90° 1 -1

Tangente tg x y x • 0° 360° -90° 90° 180° 270° 450° 540° 630°

Cossecante • y cossec x 1 x -1 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° 90° 1 -1 cossec x y x

Secante • y sec x 1 x -1 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° 90° sec x y x 1 -1

Continuação ... cotg x y x • 0° 360° 90° 180° 270° 450° 540° 630° 720°

Trigonometria Algumas Aplicações

O exemplo clássico da Sombra Parte Prática O exemplo clássico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos. São eles: uma distância um ângulo Observe a seguir . . .

Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que: portanto:

Exemplo 01. Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

Como poderíamos resolver essa situação? Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação. Observemos: Comprimento total da rampa 6 metros 16,4 metros 2 metros q solo

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . . Temos em relação ao ângulo q: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a.

Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q c.a. Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.

Em nosso exercício, chegamos a conclusão que: sen q = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo q, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°. Encontramos assim, a inclinação da rampa!

Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que q é válido para ambos 2 metros 16,4 metros hip c.o. c.a. 6 metros q = 7° Como: Chegamos a conclusão que o comprimento total da rampa é 49,2 metros

Exemplo 2 Mecânica Geral ou Trigonometria?

Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos. Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

Observe que são problemas bem clássicos e resolvidos da mesma forma.

Mais um Problema Clássico de Vestibular Desafio !

Questão01. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )

Solução: Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

Igualando o h das equações ( I ) e (II) Como

Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe: 17 metros para subir a árvore v = 0,2 m/s 30 metros 17 metros para descer da árvore De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros

Portanto

RESUMÃO DE FÓRMULAS Relações básicas sen2 α + cos2 α = 1 tan α . cot α = 1 1 + tan2 α = 1 / cos2 α 1 + cot2 α = 1 / sen2 α Relações com quadrantes Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para radianos: 90 → π/2 180 → π 270 → 3π/2 360 → 2π sen (90 + α) = + cos α sen (90 − α) = + cos α sen (180 + α) = − sen α sen (180 − α) = + sen α cos (90 + α) = − sen α cos (90 − α) = + sen α cos (180 + α) = − cos α cos (180 − α) = − cos α

RESUMÃO DE FÓRMULAS tag (90 + α) = − cot α tan (90 − α) = + cot α tan (180 + α) = + tan α tan (180 − α) = − tan α cot (90 + α) = − tan α cot (90 − α) = + tan α cot (180 + α) = + cot α cot (180 − α) = − cot α sen (270 + α) = − cos α sen (270 − α) = − cos α sen (360 + α) = + sen α sen (360 − α) = − sen α cos (270 + α) = + sen α cos (270 − α) = − sen α cos (360 + α) = + cos α cos (360 − α) = + cos α tan (270 + α) = − cot α tan (270 − α) = + cot α tan (360 + α) = + tan α tan (360 − α) = − tan α cot (270 + α) = − tan α cot (270 − α) = + tan α cot (360 + α) = + cot α cot (360 − α) = − cot α sen (−α) = − sen α cos (−α) = + cos α tan (−α) = − tan α cot (−α) = − cot α sen (α ± k 360) = + sen α cos (α ± k 360) = + cos α tan (α ± k 180) = + tan α cot (α ± k 180) = + cot α O símbolo k significa um número inteiro e positivo.

Relações com soma / diferença de ângulos RESUMÃO DE FÓRMULAS Relações com soma / diferença de ângulos sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β cos (α ± β) = cos α cos β ± sen α sen β tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ± tan α tan β) cot (α ± β) = (cot α cot β ± 1) / (cot β ± cot α) Relações com soma / diferença / produto de funções sen α + sen β = 2 sen (α + β)/2 . cos (α − β)/2 sen α − sen β = 2 cos (α + β)/2 . sen (α − β)/2 cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 . cos (α − β)/2 cos α − cos β = − 2 sen (α + β)/2 . sen (α − β)/2

φ = arctan b/a ± π se a < 0 RESUMÃO DE FÓRMULAS a sen x + b cos x = √ (a2 + b2) sen (x + φ) onde φ = arctan b/a se a ≥ 0 ou φ = arctan b/a ± π se a < 0 tan α ± tan β = sen (α ± β) / (cos α cos β) cot α ± cot β = sen (β ± α) / (sen α sen β) sen α sen β = (1/2) cos (α − β) − (1/2) cos (α + β) sen α cos β = (1/2) sen (α + β) + (1/2) sen (α − β) cos α cos β = (1/2) cos (α + β) + (1/2) cos (α − β) tan α tan β = (tan α + tan β) / (cot α + cot β) = − (tan α − tan β) / (cot α − cotβ) cot α cot β = (cot α + cot β) / (tan α + tan β) = − (cot α − cot β) /(tan α − tan β) cot α tan β = (cot α + tan β) / (tan α + cot β) = − (cot α − tan β) /(tan α − cot β)

Relações diversas sen α = 2 sen α/2 . cos α/2 cos α = cos2 α/2 − sen2 α/2 tan α = sen α / cos α cot α = cos α / sen α sen α = tan α / √(1 + tan2 α) cos α = cot α / √(1 + cot2 α) tan α = sen α / √(1 − sen2 α) cot α = cos α / √(1 − cos2 α) sen α = √(cos2 α − cos 2α)

Relações diversas cos α = 1 − 2 sen2 α/2 tan α = √[ (1/cos2 α) − 1 ] cot α = √[ (1/sen2 α) − 1 ] sen α = √[ (1 − cos 2α) / 2 ] cos α = √[ (1 + cos 2α) / 2 ] tan α = [ √(1 − cos2 α) ] / cos α cot α = [ √(1 − sen2 α) ] / sen α sen α = 1 / √(1 + cot2 α) cos α = 1 / √(1 + tan2 α) sen 2α = 2 sen α cos α

Relações diversas cos 2α = cos2 α − sen2 α cos 2α = 2 cos2 α − 1 cos 2α = 1 − 2 sen2 α tan 2α = 2 tan α / (1 − tan2 α) tan 2α = 2 / (cot α − tan α) cot 2α = (cot2 α − 1) / (2 cot α) cot 2α = (1/2) cot α − (1/2) tan α sen α/2 = √[ (1 − cos α) / 2 ] cos α/2 = √[ (1 + cos α) / 2 ] tan α/2 = sen α / (1 + cos α) cot α/2 = sen α / (1 − cos α) tan α/2 = (1 − cos α) / sen α cot α/2 = (1 + cos α) / sen α tan α/2 = √[ (1 − cos α) / (1 + cos α) ]

Pessoal, espero ter contribuído um pouco mais para o seu sucesso. Abraços Fred Tavares www.nordesttino.com nordesttino@hotmail.com