Análise de decisão Decisão em ambiente determinístico - escolher a alternativa que assume o maior benefício ou o menor custo Decisão em ambiente não determinístico decisão com risco decisão com incerteza Decisão com critérios múltiplos Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Critérios Critério do valor esperado ou de Bayes Critério da máxima verosimilhança Critério da razão insuficiente Utilização de árvores de decisão Quadrado - ponto de decisão Circulo - alternativa onde se originam ramos representando os estados da natureza possíveis Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Critério do valor esperado ou de Bayes calcular valor esperado para cada alternativa - soma ponderada dos benefícios da alternativa, em que os pesos são dados pelas probabilidades associadas a cada estado da natureza. Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Critério do valor esperado ou de Bayes A1 A2 A3 N1 N2 N3 N4 650 200 -25 -75 45 250 100 Probabilidades associadas a cada estado de natureza: N1 - 10% N2 - 15% N3 - 25% N4 - 50% A1 - 650*0,10 + 200*0,15 - 25*0.25 - 75*0.50 = 51,25 A2 - 45*0,10 + 45*0,15 + 45*0.25 + 45*0.50 = 45 A3 - 250*0,10 + 100*0,15 + 0*0.25 + 0*0.50 = 40 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Critério da máxima verosimilhança seleccionar o estado da natureza que apresente a maior probabilidade de ocorrência e, assumindo que esse estado vai mesmo ocorrer, escolhe-se a alternativa que apresenta o maior benefício para esse estado. Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Critério da máxima verosimilhança Estado de natureza com maior probabilidade de ocorrência - N4 Alternativa qie paresenta maior benefício para este estado - A2 A1 A2 A3 N1 N2 N3 N4 650 200 -25 -75 45 250 100 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Critério da razão insuficiente na ausência de informação, admitir que os estados da natureza são igualmente prováveis. Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Critério da razão insuficiente (Laplace) Estados de natureza igualmente prováveis: N1 – N2 – N3 – N4 25% A1 - 650*0,25 + 200*0,25 - 25*0.25 - 75*0.25 = 187,5 A2 - 45*0,25 + 45*0,25 + 45*0.25 + 45*0.25 = 45 A3 - 250*0,25 + 100*0,25 + 0*0.25 + 0*0.25 = 87,5 A1 A2 A3 N1 N2 N3 N4 650 200 -25 -75 45 250 100 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Árvores de decisão Quadrado - ponto de decisão Circulo – nós de mudança - onde se originam ramos representando os estados da natureza possíveis Os nós de mudanças: São mutuamente exclusivos - só uma das mudanças possíveis pode ocorrer; São exaustivos – todas as mudanças possíveis estão representadas e uma delas tem que ocorrer; Estão representados segundo a sequência temporal em que ocorrem. Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Árvores de decisão Alternativa 1 Investir Alternativa 2 Não investir 50000 2500 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com risco Árvores de decisão - Exemplo: Uma companhia enfrenta um problema relacionado com um produto (Px) desenvolvido por um dos seus laboratórios de pesquisa. Têm que decidir se prosseguem com o teste de mercado deste produto ou se simplesmente descontinuam o seu desenvolvimento. Foi estimado que o teste de mercado custará 100 mil euros. A experiência indica que apenas 30% dos produtos passam no teste de mercado. Se Px passar no teste de mercado, a companhia terá que enfrentar uma nova decisão relacionada com as dimensões da plataforma de produção do produto. Uma pequena plataforma custa 150 mil euros a construir e permite a produção de 2000 unidades/ano, enquanto uma plataforma maior custa 250 mil euros e permite a produção de 4000 unidades/ano. O departamento de mercado estimou que existe 40% de probabilidade da concorrência responder com um produto similar e que o preço por unidade vendida será o seguinte (em euros): Assumindo que a vida de mercado para o produto Px está estimada em 7 anos e que os custos de funcionamento das plataformas é de 50 mil euros/ano, deve a companhia seguir em frente com o teste de mercado de Px? Se a concorrência responder Se a concorrência não responder Plataforma grande Plataforma pequena 20 50 35 65 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com incerteza Critérios clássicos Maximínimo Maximáximo Minimax Realismo Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com incerteza Critério maximínimo (Wald) maximizar o mínimo resultado que se pode obter, i.e., identificar o mínimo resultado que se pode obter para cada possível escolha (30,20,0) escolher a alternativa que maximiza este conjunto (30) critério pessimista - o decisor assume que o pior estado da natureza vai ocorrer A1 A2 A3 N1 N2 N3 100 40 30 70 80 20 10 110 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com incerteza Critério maximáximo escolher a alternativa que maximiza o máximo benefício possível, i.e. escolher para cada alternativa o benefício máximo (100, 80, 110) escolher o maior entre estes valores (110) critério optimista - assume que o estado da natureza que vai ocorrer corresponde à situação que lhe é mais favorável A1 A2 A3 N1 N2 N3 100 40 30 70 80 20 10 110 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com incerteza Critério minimax ou do arrependimento para cada estado da natureza, escolher o maior benefício e subtraí-lo dos restantes - pôr de parte as soluções ideais para cada estado da natureza escolher para cada alternativa, a maior diferença obtida (80,90,90) - escolher o estado da natureza mais desfavorável entre os valores assim determinados, escolher o menor (80)- tentar minimizar as maiores perdas possíveis A1 A2 A3 N1 N2 N3 100 40 30 70 80 20 10 110 90 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com incerteza Critério do realismo (Hurwicz) balanço entre os critérios optimista (maximax) e pessimista (maximin) escolher o índice de optimismo entre 0 e 1-a a=0 critério pessimista a=1 critério optimista escolher para cada alternativa, o maior e o menor benefícios possíveis ponderar da seguinte forma (a) benefício máximo + (1-a) benefício mínimo escolher a alternativa com o maior benefício ponderado Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com incerteza Critério do realismo Supondo a = 0,5 A1 – 0,5*100 + (1-0,5)*30 = 65 A2 – 0,5*80 + (1-0,5)*20 = 50 A3 – 0,5*110 + (1-0,5)*0 = 55 A1 A2 A3 N1 N2 N3 100 40 30 70 80 20 10 110 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Modelos que se baseiam na existência de conflictos entre vários objectivos simultâneos. Há que definir prioridades entre os vários objectivos. Estas prioridades podem variar com o tempo e podem ser diferentes para cada decisor. Modelos não compensatórios comparação atributo a atributo Modelos compensatórios permitem compensações entre atributos Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Modelos não compensatórios Maximin- máximo dos mínimos Maximax- máximo dos máximos Restrições conjuntivas - eliminar alternativas que não satisfazem os valores mínimos Restrições disjuntivas - seleccionar alternativas acima dos limiares de satisfação Lexicográfico - ordenação de alternativas com base no critério mais importante. Se houver empates utilizar o segundo critério e assim sucessivamente Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Modelos compensatórios Ponderação aditiva Análise de concordância – método de Electre Método de análise hierárquica – método de Saaty Métodos de visualização de valores de Shilling Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Ponderação aditiva exige independência entre atributos dificil atribuir pesos Preço Fiabilidade Potência Aspecto 0.3 0.3 0.2 0.2 Preço Fiabilidade Potência Aspecto A1 10 20 20 30 A2 60 50 50 30 A3 30 30 30 40 A1 - 10*0.3+20*0.3+20*0.2+30*0.2 = 19 A2 - 60*0.3+50*0.3+50*0.2+30*0.2 = 49 A3 - 30*0.3+30*0.3+30*0.2+40*0.2 = 32 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Análise de concordância – método de Electre criar a matriz de alternativas-impactos estabelecer pesos para os impactos normalizar a matriz determinar os conjuntos de concordância e discordância criar as matrizes de concordância e discordância a partir dos conjuntos de concordância e discordância e dos pesos determinar os índices de concordância e discordância para as várias alternativas seleccionar as alternativas com maior índice de concordância e menor índice de discordância Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Método de análise hierárquica (AHP)– método de Saaty matriz cria-se através de comparações emparelhadas utilizando uma escala de 1 a 10; obtenção de pesos determinando o vector associado ao maior valor próprio da matriz; consistência nas comparações pode ser avaliada através de um índice Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Escolha de um automóvel Preço Fiabilidade X Y Z Preço Fiabilidade Preço -1 3 Fiabilidade 1/3 -1 [ a b] Vector associado ao maior valor próprio da matriz [ A - lI ] n = 0 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Preço X Y Z X -1 3 2 Y 1/3 -1 1 Z 1/2 1 -1 [ c d e ] Fiabilidade X Y Z X -1 2 3 Y 1/2 -1 5 Z 1/3 1/5 -1 [ f g h ] X - (a*c) + (b*f) Y - (a*d) + (b*g) Z - (a*e) + (b*h) Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Avaliação de consistência Se a matriz for 100% consistente apenas tem um valor próprio não nulo que é igual à sua ordem. CI = max - M M - ordem da matriz M - 1 CR = CI RI RI - média do valor de CI se as entradas de M fossem escolhidas aleatoriamente n 2 3 4 5 6 7 8 9 RI 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 < 0.1 Sistemas de Apoio à Decisão

Modelos de decisão com critérios múltiplos Método de visualização de valores de Shilling A1 A2 A3 100 Critérios Alternativas Sistemas de Apoio à Decisão

Outros modelos O primeiro algarismo Sucessão de potências de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ... Consideremos o primeiro algarismo significativo de cada termo: 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, ... (esta sucessão toma apenas valores entre 1 e 9). Qual a frequência com que surge nesta sucessão cada um dos inteiros? - todos surgem com igual frequência: 1/9 = 11,1% ? Sistemas de Apoio à Decisão

Outros modelos O primeiro algarismo Resposta: A frequência com que ocorre cada um dos inteiros aproxima-se de uma distribuição logarítmica, em que: Lei de Benford onde P(n) é a probabilidade de ocorrência do algarismo n. O mesmo acontece para as potências de 3, 4, 5, 6, 7, ...; número da porta do endereço de 307 pessoas ao acaso; pesos moleculares de 1800 compostos químicos; população de 3500 cidades americanas. Sistemas de Apoio à Decisão

Outros modelos O primeiro algarismo A distribuição dos primeiros algarismos parece ser sempre a mesma distribuição logarítmica, independentemente da natureza dos números e, embora estes não estejam correlacionados entre si. Descoberta: Simon Newcomb (1881) e Frank Benford (1938) observam: As tabelas de logaritmos apresentam muito mais desgaste nas primeiras páginas. Sistemas de Apoio à Decisão

Outros modelos O primeiro algarismo Nem todas as tabelas numéricas verificam a lei de Benford: na lista telefónica portuguesa todos os números fixos começam pelo algarismo 2. A lei de Benford é probabilística. A lei de Benford é a única distribuição de probabilidade invariante de base (Theodore Hill, 1996). É um teorema. Sistemas de Apoio à Decisão

Outros modelos O primeiro algarismo Hill demonstra também que: Tipo de dados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6 Potências de 2 6,9 5,6 5,2 4,5 Moradas de Lisboa 32,5 16,6 14,6 11,4 7,8 6,2 3,9 3,6 3,2 Peso molecular 26,7 25,2 15,4 10,8 4,1 2,8 Populações (EUA) 33,9 20,4 14,2 8,1 7,2 3,7 3,0 (Buescu, 2003) Hill demonstra também que: Mesmo que cada distribuição individualmente não siga a lei de Benford, o conjunto de todas as distribuições segue. (O mesmo acontece em relação às distribuições da tabela acima). Sistemas de Apoio à Decisão

Outros modelos O primeiro algarismo Aplicações Teste de modelos matemáticos: previsão da evolução das cotações da bolsa; previsão da evolução de dados demográficos. Fiscalização de impostos e auditorias financeiras: detecção de fraudes fiscais (as pessoas são “más” a inventar dados). A utilização da lei de Benford na detecção de fraudes fiscais foi proposta por Mark Nigrini na sua tese de doutoramento (orientada por Hill). (www.math.gatech.edu/~hill/) Sistemas de Apoio à Decisão

Outros modelos O primeiro algarismo Se a declaração de IRS possuir, nos números que apresenta, desvios estatisticamente significativos em relação à lei de Benford, é provável que os dados sejam fictícios no todo ou em parte. Ou seja, este contribuinte deve ser investigado! Esta técnica, proposta por Nigrini, está em vigor nos EUA, desde 1998. Nigrini é consultor da administração fiscal de vários paises, incluindo a Holanda. Tipo de dados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6 Dados fiscais verídicos 30,5 17,8 12,6 9,6 7,8 6,6 5,6 5,0 4,5 Dados fraudulentos 1,9 61,2 23,3 1,0 2,9 Hill, The first-digit phenomenon, American Scientist 86, 1996 Sistemas de Apoio à Decisão