CONJUNTO Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto. Exemplo: Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas

NOTAÇÃO Todo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante vírgula. Exemplo: O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim: L = {a, b, c, ..., x, y, z}

Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo: O conjunto {x, x, x, y, y, z } simplemente será { x, y, z }. O número de elementos de um conjunto A chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(A). Exemplo: A = {a, b, c, d, e} seu cardinal n(A) = B = {x, x, x, y, y, z} seu cardinal n(B) = 5 3 ÍNDICE

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Para indicar que um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertence a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2, 4, 6, 8, 10} 2 pertence ao conjunto M, ou seja, 2 é elemento de M. 5 não pertence ao conjunto M, ou seja, 5 não é elemento de M. ÍNDICE

DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento. I) POR EXTENSÃO É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto. Exemplos: O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20. A = { 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 } ÍNDICE

II) POR CONDIÇÃO ou PROPRIEDADE B) O conjunto de números negativos ímpares maiores que -10. B = {-9, -7, -5, -3, -1 } II) POR CONDIÇÃO ou PROPRIEDADE É aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto. Exemplo: P = {os números dígitos } Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê “P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito”. Exemplo: Expressar por extensão e por condição ou propriedade o conjunto de dias da semana. Por Extensão: D = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo } Por Condição ou Propriedade: D = { x / x = dia da semana } ÍNDICE

DIAGRAMAS DE VENN Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada. V (2;4) (5;8) o e a (7;6) i (1;3) u ÍNDICE

CONJUNTOS ESPECIAIS CONJUNTO VAZIO É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { } A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } P = { x / }

É o conjunto que tem um só elemento. CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um só elemento. Exemplo: F = { x / 2x + 6 = 0 } CONJUNTO FINITO É o conjunto com limitado número de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x2 = 4 }

S = { x / x é um número par } ; CONJUNTO INFINITO Exemplos: É o conjunto com ilimitado número de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } ; S = { x / x é um número par } CONJUNTO UNIVERSO É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, se representa pela letra U Exemplo: O universo ou conjunto universal de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS. ÍNDICE

RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS SUBCONJUNTO Um conjunto A é subconjunto de B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B. A está completamente dentro de B. NOTAÇÃO : Lemos A está contido em B, A é subconjunto de B. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :

I) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. PROPRIEDADES: I) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. II) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Se o conjunto Vazio não é subconjunto de A, então o conjunto vazio possui pelo menos um elemento diferente do conjunto A. Absurdo, pois o conjunto Vazio não possui elementos. Logo o conjunto Vazio é subconjunto de qualquer conjunto. III) A está contido em B ( ) equivale a dizer que B contém A ( ) Se A não está contido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( ) Simbolicamente:

IGUALDADE DE CONJUNTOS Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos. Exemplo: A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 } Resolvendo a equação de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B Simbolicamente : A = B

CONJUNTO DE CONJUNTOS É um conjunto cujos elementos são conjuntos. Exemplo: F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} } Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos. {a} é um elemento do conjunto F então {a} F É correto dizer que {b} F ? NÃO Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F

CONJUNTO POTÊNCIA O conjunto potência de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Exemplo: Seja A = { m, n, p } Os subconjuntos de A são: {m}, {n}, {p}, {m,n}, {m,p}, {n,p}, {m,n,p}, Φ Então o conjunto potência de A é: P(A) = { {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}, Φ } QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCIA DE A ?

Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potência ou seja P(A) tem 8 elementos. Se 5 < x < 15 e é um número par então B = { 6, 8, 10, 12, 14 } PROPRIEDADE: Observe que o conjunto B tem 5 elementos então: Dado um conjunto A cujo número de elementos é n, então o número de elementos de seu conjunto potência é 2n. Card P(B) = 2n P(B) = 25 = 32 Exemplo: Dado o conjunto B ={ x / x é um número par e 5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B). RESPOSTA ÍNDICE

UNIÃO DE CONJUNTOS A união de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que estão em A ou em B (ou em ambos). . Indicamos esse conjunto por A U B Exemplo: A = { 2, 3, 4, 5, 8 } e B = { 1, 2, 3, 6, 7} A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B. Exemplo: A = {2,3,4,5,8} B = {1,2,3,6,7}

   CONJUNTOS DISJUNTOS Dois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos comuns. REPRESENTACÃO GRÁFICA : Como podemos observar os conjuntos A e B não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISJUNTOS  B A 7 9 4  6 5 3 2 1 8 

DIFERENÇA DE CONJUNTOS O conjunto “A menos B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {5, 6, 7, 8, 9} A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 A – B = { 1, 2, 3, 4}

Outro exemplo usando o diagrama de Venn

CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....} Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....} Números Racionais (Q) Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....} Números Irracionais ( I ) I = {...; ;....} Números Reais ( R ) R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....} Números Complexos ( C ) C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}

CONJUNTOS NUMÉRICOS C R Q I Z N

PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS 1. A U A = A 2. A U B = B U A 3. A U Φ = A 4. A U U = U 5. (AUB)UC = AU(BUC) 6. Se A U B = Φ  A = Φ e B = Φ ÍNDICE

CONJUNTOS NUMÉRICOS P={3} Q={-3;3} F = { } RESPOSTAS EXEMPLOS: Expressar por extensão os seguintes conjuntos: Q={-3;3} A ) F = { } B ) C ) D ) E ) RESPOSTAS INDICE

COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A. Notacão: A’ ou AC Simbolicamente: A’ = U - A Exemplo: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} e A = {1; 3; 5; 7; 9}

PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO U A A 8 2 3 1 7 A’ = {2; 4; 6; 8} 5 9 6 4 PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO 1. (A’)’ = A 4. U’ = Φ 2. A U A’ = U 5. Φ’ = U 3. A  A’ = Φ ÍNDICE

A B B A [(AB) – C] A C C B B [(BC) – A] A C [(AC) – B] C U U