BCC 101 – Matemática Discreta I 11/28/06 BCC 101 – Matemática Discreta I Recursão / Indução BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Recursão/Indução Método usada para resolver uma classe de problemas, em que cada instância tem um tamanho (n ∈ N) Construa a solução para instâncias do problema de tamanho 0 Supondo conhecida a solução do problema para instâncias de tamanho n, sendo n arbitrário, construa a solução para instâncias de tamanho (n+1) base da recursão Indução é uma importante técnica de solução de problemas, baseada em dividir repetidamente um problema em subproblemas. A idéia é generalizar o problema para uma classe de problemas, tal que cada instância do problema têm um determinado tamanho (um no. natural). O tamanho é um parâmetro do problema. Por exemplo, um problema relativo a um jogo com uma pilha de palitos de fósforo, onde o número de palitos é um parâmetro; o problema de calcular um somatório, onde o range do somatório é um parâmetro, o problema de ordenar uma lista, onde o tamanho da lista é um parâmmetro. Uma vez decidida a generalização apropriada, a solução tem 2 passos. Primeiro, considera-se problemas de tamanho 0 – base da indução. Em geral, tais problemas são triviais. Segundo, considera-se como resolver um problema de tamanho (n+1), para n arbitrário, dada a solução do problema de tamanho n – passo indutivo. Por esse processo, podemos resolver problemas de tamnho 0 (base). Podemos resolver problemas de tamnho 1 (aplica-se o passo indutivo para construir a solução do problema de tamnho 1, a partir da solução do problema de tamanho 0. Então, podemos resolver problemas de tamanho 2 (aplica-se o passo indutivo para obter a solução do problema de tamanho 2, a partir da solução do problema de tamanho 1). E assim por diante. Isto é, por indução, podemos resolver prolemas de tamanho arbitrário. Um requerimento é que O tamanho do problema seja um no. natural (incluindo 0). Em alguns casos, problemas de tamanho 0 não fazem sentido (por exemplo, determinar o menor elemento de uma lista com 0 elementos) e o passo base considera, portanto, problemas de tamanho 1. passo recursivo BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Números Naturais Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3, …} pode ser definido recursivamente como 0 ∈ N n ∈ N → (n+1) ∈ N Gramática: N -> 0 | suc N Tipo de dado (em Haskell) data Nat = Zero | Suc Nat BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Fatorial Fatorial: n! = 1x2x…x(n-1)xn 0!= 1 (base) n!= n · (n -1)! (recursão) EX: 5! recursão = 5 · 4 · 3 · 2! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 0! = 5 · 4 · 3! = 5 · 4! base = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Exercícios Defina recursivamente os conjuntos: Pares = {0,2,4,…} O conjunto potência de A : P (A ). O conjunto de todos os bitstrings Bs O conjunto de bitstrings palindromos Pal O conjunto de todas as listas de valores de um dado tipo A BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Sequências Sequência de potências de 2: an = 2n, n≥0 pode ser definida recursivamente como: a0 = 1 an = 2 an-1 n>0 Sequência: 3 0 3 0 3 0 … a0 = 3 a1 = 0 an = an-2 n>1 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Fibonacci Fibonacci fib 0 = 0 fib 1 = 1 fib n = fib (n -1) + fib (n -2) Esse algoritmo é O(2n ) porque ao passar de n para n-1 efetuamos 2 chamadas recursivas da função, e cada uma usa, por sua vez, duas outras chamadas recursivas, e assim por diante.

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Exercícios Considere a definição recursiva: f(0) = 1 f(n+1) = 3 f(n) Determine f(1), f(2), f(3), f(4) Encontre uma fórmula direta para f(n) Defina recursivamente as sequências: an = 3n+2 n≥0 1 -1 1 -1 1 … an = n2 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Coeficientes Binomiais (n,k) Coeficientes binomiais ocorrem em diversas aplicações: Combinatória/Probabilidade C (n,k) = número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos Algebra: C (n,k) = coeficiente do k esimo termo na expansão binômio de grau n: (x + y )n Notação usada comumente:

Coeficientes Binomiais (n,k) A maneira mais eficiente de computar todos os C (n,k) até um determinado n é via o triângulo de Pascal. O triângulo de Pascal é construído colocando 1 no topo (inicialização) e todo elemento seguinte é definido recursivamente como a soma dos números à direita e à esquerda desse número, na linha anterior. Se tal número não existe, é considerado 0.

combinação n k e Triângulo Pascal 1

combinação n k e Triângulo Pascal 1 1 1

combinação n k e Triângulo Pascal 1 1 1 1 2 1

combinação n k e Triângulo Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1

combinação n k e Triângulo Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

combinação n k e Triângulo Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

combinação n k e Triângulo Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

combinação n k e Triângulo Pascal n = linha 1 2 3 4 5 6 0 k = coluna diagonal 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Q: Fórmula recursiva para C (n,k)?

Coeficientes Binomiais (n,k) Resposta: Use o triângulo de Pascal. Base: O topo do triângulo é 1. Portanto, C (0,0) = 1. Se falta um número, ele é considerado 0. Isso dá origem a C (n,k) = 0 se k < 0, ou k > n. Recursão: Cada valor é a soma dos números à direita e à esquerda na linha anterior: C (n,k) = C (n -1,k-1) + C (n -1,k )

Coeficientes Binomiais (n,k) Resumindo:

Máximo Divisor Comum - mdc O algoritmo de Euclides usa o fato: mdc(x,y) = mdc(y, x mod y) supomos aqui que x > 0

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Exercícios Defina recursivamente: an , a ∈ R, n ∈ N BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Tamanho do problema A generalização apropriada nem sempre é óbvia. Exemplo: problema relativo a um tabuleiro de xadrez com 64 quadrados. Como esse problema pode ser generalizado? Uma classe de problemas com instâncias de tamanho n, tal que uma instância é n = 64 Uma classe de problemas em que uma instância é um tabuleiro de tamanho n×n. O tamanho da instância é n; o problema original é uma instância de tamanho n = 8 Restringir a classe a problemas as casos em que o tamanho do tabuleiro é 2n. O problema original é uma instância de tamanho n = 3 A primeira generalização não considera a estrutura do tabuleiro BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Triominós Considere um tabuleiro com tamanho 2n x 2n no qual exatamente um quadrado está coberto. um triominó de formato L é feito de 3 quadrados: Quantos triominós de formato L são necessários para cobrir os quadrados restantes, sem que triominós se sobreponham. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Triominós - solução para 23 x 23 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Triominós Caso base (n=0): O tabuleiro tem dimensão 20x20 = 1x1, isto é, exatamente 1 quadrado, que já está coberto. Portanto, são necessários 0 triominós para cobrir os quadrados restantes: trio(0) = 0 Passo indutivo: Considere um tabuleiro de dimensões 2n+1x2n+1 Suponha que é possível cobrir qq tabuleiro de dimensões 2nx2n com trio(n) triominós Devemos mostrar como explorar essa hipótese para obter a solução para o caso 2n+1x2n+1 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Triominós Um tabuleiro 2n+1x2n+1 pode ser subdividido em 4 tabuleiros 2nx2n, traçando-se uma linha horizontal e uma vertical que se cruzam no meio. Em uma desses 4 tabuleiros, há um quadrado que já está coberto. Pela nossa hipótese, os demais quadrados desse tabuleiro podem ser cobertos com k triominós. Nenhum dos 3 outros tabuleiros 2nx2n tem um quadrado coberto. Como aplicar a hipótese aos 3 outros tabuleiros? A idéia é colocar um triominó na junção desses 3 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Triominós trio(0) = 0 trio(n+1) = 4 trio(n) +1 Agora a hipótese pode ser aplicada para cobrir os quadrados restantes de cada uma dos 3 outros subtabuleiros. Então trio(n+1) = 4 trio(n) +1 (n>0). BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Exercício Torres de Hanoi (Edouard Lucas - 1883) Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/9/2017 Exercício Torres de Hanoi (Edouard Lucas - 1883) Um templo da cidade de Hanoi tem 3 torres de diamante, em uma das quais foram empilhados n discos de ouro, de maneira que os discos diminuem de tamanho da base para o topo da torre. Os monges do templo trabalham sem cessar para transferir os discos da torre em que foram inicialmente colocados para uma das outras duas torres --- mas nunca um disco de maior raio pode ser colocado sobre outro de raio menor. Encontre uma definição recursiva para o número de movimentos de discos que são necessários para transferir n discos da torre A para a torre C, usando a torre B.