Números naturais Um pouco de história Com o nosso sistema de numeração, usando apenas dez símbolos diferentes, podemos escrever qualquer número, enquanto que, nas numerações egípcia e romana, para se escrever números muito grandes seria preciso criar novos símbolos: um para o dez mil, outro para o dez milhões, outro para o cem milhões etc.

Matemática do Egito Antigo Fontes principais: inscrições em monumentos; inscrições em objetos; papiros. Escrita principal: hieróglifos Período imperial: 2800 - 715 aC Região: litoral mediterrâneo da África

Numerais egípcios em parede de um templo em Luxor

Numerais hieróglifos egípcios em inscrição em uma tumba real 123.440 cabeças de gado 223.400 mulas 232.413 cabras 243.688 búfalos (?)

Gravura em um cetro real egípcio: 120.000 prisioneiros 1.422.000 cabras capturadas (!)

Decifrador dos hieróglifos egípcios: Jean-François Champollion (1790-1832 França) Professor de História Começou a estudar os hieróglifos com 17 anos

Chave para a decifração dos hieróglifos egípcios Pedra de Roseta Chave para a decifração dos hieróglifos egípcios Um mesmo texto em três escritas diferentes: hieróglifa em cima, demótica no meio e grega em baixo. Datada de 196 aC Encontrada por um soldado de Napoleão em 1799 Entregue pela França ao Museu Britânico em 1801 Champolion a traduziu em 1820, após 12 anos de pesquisa

Numerais egípcios

Numerais egípcios

Numerais egípcios

Numerais egípcios

Numerais egípcios Utilizavam base 10 mas sem valor posicional

Numerais romanos Derivados dos numerais etruscos (antigo povo que habitava a Itália), são usados até hoje! Utilizavam base 10. A posição era importante mas em outro sentido (princípio subtrativo)

Numerais romanos: observe que o “4” no relógio não segue o princípio subtrativo, para tornar a leitura mais clara.

era muito trabalhoso efetuar cálculos usando esses números. Os sistemas de numeração egípcio e romano apresentavam ainda uma outra dificuldade: era muito trabalhoso efetuar cálculos usando esses números.

Para fazer contas com numerais romanos, era necessário usar o ábaco. O ábaco romano era de mesa, como um tabuleiro.

Numerais babilônios Os babilônios usavam base sexagesimal (base 60, como nos minutos e segundos) Tinham valor posicional, pois sua escrita em tabletas de barro era muito complexa.

Matemática dos Povos da Mesopotâmia Fontes principais: tabletas de barro cozido Escrita: cuneiforme Período: 3500 - 561 aC Região: entre os rios Tigres e Eufrates (Oriente Médio) Principal cidade-estado: Babilônia

Tableta com numerais cuneiformes babilônios A tradução das tabletas cuneiformes teve início em 1870, quando se descobriu uma inscrição trilingüe nas encostas do monte Behistun, narrando a vitória do rei Dario sobre Cambises. Tableta com numerais cuneiformes babilônios de 2800 aC

Somente em 1934 Otto Neugebauer decifrou, interpretou e publicou as tabletas matemáticas babilônias. Essa ausência de ligação linear com a Matemática das civilizações pré-helênicas contribuiu para a criação da idéia de que a Matemática é uma ciência que praticamente nasceu pronta e sistematizada, como aparece nas obras gregas.

Essas dificuldades foram superadas pelos hindus, que foram os criadores do nosso sistema de numeração.

Essas dificuldades foram superadas pelos hindus, que foram os criadores do nosso sistema de numeração.

o sistema de numeração hindu é posicional (o babilônio também era); Os hindus souberam reunir três características que já apareciam em outros sistemas numéricos da Antiguidade: o sistema de numeração hindu é decimal (o egípcio, o romano e o chinês também o eram); o sistema de numeração hindu é posicional (o babilônio também era); o sistema de numeração hindu tem o zero, isto é, um símbolo para o nada.

Estas três características, reunidas, tornaram o sistema de numeração hindu o mais prático de todos. Não é sem motivo que hoje ele é usado quase no mundo todo

Estamos tão acostumados com sistema de numeração decimal que ele nos parece incrivelmente simples. No entanto, desde os tempos em que os homens fizeram suas primeiras contagens, até o aparecimento do sistema de numeração hindu, decorreram milhares de anos.

Por que tanta dificuldade? É surpreendente que diversas civilizações da Antiguidade, como as dos egípcios, babilônios e gregos, capazes de realizações maravilhosas, não tenham chegado a um sistema de numeração tão funcional quanto o dos hindus. Por que tanta dificuldade?

Uma possível resposta a esta pergunta nos leva ao Zero, isto é, a um símbolo para o nada.

Estamos tão familiarizados com o zero que não sentimos a menor dificuldade em raciocinar com ele. As crianças o dominam com facilidade. Entretanto, nem sempre foi assim. Nossos antepassados custaram muito para inventar o zero e, mesmo depois de nascido, o símbolo para o nada demorou a ser aceito.

o zero passou a ser tratado como qualquer um dos outros nove símbolos. Depois do zero ter sido inventado para resolver um problema do sistema posicional de numeração, ocorreu uma coisa interessante: o zero passou a ser tratado como qualquer um dos outros nove símbolos. O zero passou a ser tão número quanto os outros. O nada tornou-se número também, sendo introduzido na seqüência: 0, 1, 2, 3, etc...

Valor posicional nosso sistema é posicional; 51 é diferente de 15; o romano é posicional, mas não no mesmo sentido do nosso sistema. É diferente escrever VI ou IV. o egípcio não é posicional

Na verdade, hoje em dia, os números naturais têm outros significados: nem para medir, nem para contar, mas como códigos Os números naturais são importantes cada vez mais em códigos e identificação. Por exemplo, o número da conta bancária, do PIS, do RG, do CPF etc. Os códigos de barras dominam e são o símbolo da sociedade de consumo, onde “Tudo é número”, lembrando a célebre frase do matemático grego Pitágoras.

Ocorre que, nesse universo, uma troca de algarismos pode significar um grande equívoco. Para isso, utilizam-se a segurança dos chamados dígitos verificadores, que são indicadores de que a seqüência digitada está coerente.

dos dígitos em um código. Vamos agora ver como se calculam os dígitos verificadores do CPF, para refletir sobre o novo “valor posicional” dos dígitos em um código.

Primeiro dígito verificador do CPF Tome os dígitos do CPF sem os dois últimos e multiplique cada um respectivamente por 10, 9 até 2. Some os resultados das multiplicações. Divida o resultado dessa soma por 11 e tome o resto. Se o resto for igual a 0 ou igual a 1 o primeiro dígito do CPF deverá ser igual a 0. Se o resto for maior que 1 então deve-se subtrair o resultado de 11 para conseguir o primeiro dígito verificador.

(0x10)+(6x9)+(9x8)+(3x7)+(3x6) +(2x5)+(9x4)+(6x3)+(8x2) = 245 Exemplo CPF 069.332.968-81 (0x10)+(6x9)+(9x8)+(3x7)+(3x6) +(2x5)+(9x4)+(6x3)+(8x2) = 245 Dividindo 245 por 11 obtemos resto 3 Assim o primeiro dígito é: 11 – 3 = 8

Segundo dígito verificador do CPF Tome os dígitos do CPF incluindo o primeiro já calculado, e multiplique cada um por 11, 10 até 2 respectivamente. Some os resultados das multiplicações. Divida o resultado dessa soma por 11 e tome o resto. Se o resto for igual a 0 ou igual a 1 o segundo dígito do CPF deverá ser igual a 0. Se o resto for maior que 1 deve-se subtrair o resultado de 11 para obter o segundo dígito.

Exemplo CPF 069.332.968-81 (0x11)+(6x10)+(9x9)+(3x8)+(3x7) Dividindo 307 por 11 obtemos resto 10 Assim o segundo dígito é: 11 – 10 = 1