Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição António Teixeira

Aula 2 Conceito de função Sinusóides Amostragem Quantização Bits e Bytes Aula 2

Variável Seja E um conjunto qualquer de números, finito ou infinito, e convencionemos representar qualquer dos seus elementos por um símbolo, por ex.: x. A este símbolo, representativo de qualquer dos elementos do conjunto E, chamamos variável. Quando dizemos: seja E o conjunto dos números reais do intervalo (0,1), e seja x a sua variável, que queremos significar? Que o símbolo x, sem coincidir individualmente com nenhum dos símbolos, é susceptível de os representar a todos

Função Definição: Usa-se escrever simplesmente y(x) Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve-se y=f(x), Se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido x y. a x a variável independente a y a variável dependente Usa-se escrever simplesmente y(x)

Funções Modos de definição Analítica Geométrica Ex: y=4.9 x2 Sistema cartesiano de referência

Sinusóides

Formula geral A cos (wot + ) A - amplitude wo - frequência angular - fase Exemplo de sinal sinusóidal: o produzido por um diapasão

Repetição Medição Percepção Período (ex: ms) Frequência (Hz) Número de ciclos por segundo Lembram-se dos 50 Hz da electricidade lá de casa ?! Percepção Gama de audição: 20-20 000 Hz Pitch: 100-250 (maior para crianças, canto)

Fase Medida em graus Pouco efeito na percepção 360 graus = 1 período

Sinais digitais

Conversão A/D O processo pelo qual um sinal é convertido numa representação digital é conhecido por conversão analógica-digital (A/D conversion) O processo inverso D/A

Amostragem Tira-se amostras do sinal espaçadas de um intervalo de tempo fixo, o período de amostragem, representado por Ta O período de amostragem depende da frequência de amostragem (fa) Número de amostras por segundo Ex: fa=1000 Hz dá T=1/fa=1/1000=1 ms O número total de pontos de um sinal digital depende da sua duração e da frequência de amostragem 5 segundos amostrados a 10 000 Hz dão 50000 amostras

Amostragem de sinusóides Consideremos, por exemplo, x(t)=20 cos (2 40 t –0.4 ) Temos de avaliar o valor de x(t) em valores de tempo discretos, tn=n Ts, onde n é um inteiro Obtemos a sequência x(nTs)=20 cos (80 n Ts –0.4 ) Ts é o período de amostragem n é um inteiro

Em MATLAB n=-7:5; Ts=0.005; tn=n*Ts; xn=20*cos(80*pi*tn – 0.4*pi); plot(tx,xn);

A nossa sinusóide de 2.5 Hz amostrada

Teorema de Nyquist Apenas ficar com algumas amostras do sinal não leva a perder informação contida no sinal analógico ? Nyquist mostrou que sinais com largura de banda limitada – que contêm apenas uma certa gama de frequências – podem ser reconstruídos EXACTAMENTE do sinal amostrado desde que a FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM SEJA O DOBRO da maior frequência contida no sinal

Exemplo Seja 100 Hz a frequência mais elevada contida num sinal analógico Qual deve ser a frequência de amostragem a utilizar ? E no caso do sinal de voz ?

“Aliasing” Se usarmos uma frequência inferior a 2x a maior frequência contida no sinal ocorre o chamado “aliasing” Exemplo: Sinusóide de 14 Hz Sinusóide de 4 Hz Ambas amostradas a 10 Hz Amostras são as mesmas

Quantização Os valores contínuos da amplitude também têm de ser convertidos em valores tratáveis pelo computador Os computadores guardam os números usando 0s e 1s, os chamados bits 3 bits dá para representar 8 números diferentes 000 001 010 011 100 101 110 111 Este processo designa-se por quantização

Exemplo de quantização 8 bits 7 bits 3 bits 2 bits

Número de bits 8 bits 16 bits 256 níveis Se tivermos sinal entre – 1 e + 1 V Erro máximo 3.4 mV (mili=0.001) 16 bits 65536 níveis Se tivermos sinal igual ao anterior Erro máximo 15 microV (micro=0.000001)

Representação de sinais digitais Depois da amostragem e quantização ficamos com uma lista de números que facilmente se podem tratar em programas como o SFS e o Matlab As sinusóides que temos vindo a ver são de facto listas de números como a seguinte: 0 0.0251 0.0502 0.0753 0.1004 0.1253 0.1502 0.1750 0.1997 0.2243 ....

Quantos Hz ? Quantos bits ? Para sinal de voz ? Para música (CD) ? Quais os valores utilizados pelos leitores de CD ? E pelos DATs ? Para sinal medindo a abertura e fecho das cordas vocais ? Para sinal gravado via telefone ?

TPC  Lêr secções 15 a 28 do livro “Conceitos Fundatmentais da Matemática” de Bento de Jesus Caraça