Especificações de Filtros Resposta em frequência de um filtro Especificação em tempo contínuo Especificação em tempo discreto Região irrelevante

FIR FIR – Finite Impulse Response Filter (Resposta ao Impulso Finita) Só tem zeros  sempre estáveis Coeficientes da resposta impulsiva do filtro M – ordem do filtro (ordem do polinómio H(z)) Numero de coeficientes é do filto é M+1=N

IIR IIR – Infinite Impulse Response Filter (Resposta ao Impulso Infinita) Corresponde a uma equação às diferenças. Implementa uma equação às diferenças em que a saida não depende directamente apenas de valores passados da entrada mas tambem da saida. Sistemas recursivos Contêm zeros e pólos N – ordem do filtro Ordem do polinomio no denominador

FIR vs IIR FIR IIR São sempre estáveis Permitem facilmente fase linear Podem necessitar de ordem elevada IIR Menor peso computacional

Projecto de Filtros FIR Método da Janela Especificação de uma resposta ideal na frequência e determinação da resposta impulsiva correspondente (teoricamente ou numericamente (IFFT)): Multiplicação por janela: Pode ser infinita e não causal  truncagem janela Atraso da janela Janela rectangular:

Janela Rectangular

Outras Janelas Bartlett (triangular) Rectangular Hanning Hamming Blackman

Método das Janelas 1 1 A largura da banda de transição Pode ser aproximada pela Largura do lóbulo principal, Δω, da janela. A resposta em frequência depois de aplicar a janela corresponde uma versão suavizada da resposta em frequência do sistema original. 1

Janelas Rectangular (o riple ou a atenuação nunca baixam de 20dB por maior que seja a ordem! Fenómeno de Gibbs) Hamming triangular Blackman Hanning

No método das janelas temos 1 = 2, =  e portanto A=20log10

Janela de Hanning WR – Janela Rectangular W – Janela Hanning

Janela Kaiser Ordem do filtro Permite trocar largura do lobo principal por amplitude do lobo secundário Funções de Bessel modificadas de ordem zero (dB) Ordem do filtro É simples obter  e M dadas as especificações

Ex: Projecto Diferenciadores em tempo discreto A resposta em frequência de um diferenciador ideal será, Nota: Tal corresponderá a amostragem do sinal derivada de um sinal de entrada amostrado dentro dos limites do crtitério de Nyquist A que corresponde um diferenciador com resposta impulsiva dada por: Notar que: Notar os limitações de aplicação!!!

Ex: Diferenciadores em tempo discreto (com janela de kaiser) ordem par (20) tipo I ordem impar (21) tipo II amostras amostras fase Angulo (rad) Angulo (rad) A implementação tipo I normalmente resulta numa oscilação maior devido ao zero em , mas reduz ruido de alta frequencia

Projecto Equiriple de FIR Janela rectangular minimiza Outro critério é o do erro máximo Filtros de oscilação constante (equiriple) Parks-McClellan algorithm Resulta em filtros de menor ordem do que pelo método das janelas

Projecto Equiriple Erro quadrático mínimo (janela rectangular) Óptimo sinais de banda larga, ex: ruído branco Equiriple (erro máximo mínimo) Garante que qualquer sinal fora da banda é atenuado pelo menos A dB Projecto para o pior caso, ie, sinais de banda estreita junto à banda de transição

Projecto de Filtros IIR Conversão de Filtros Analógicos Aproveita os resultados dos sistemas analógicos Provoca uma transformação na frequência Transformação Bilínear Um mapa do plano-s para o plano-z Mapa exacto seria (AD->DSP->DA):

Transformação Bilínear Transforma o semi-plano complexo esquerdo no circulo unitário! Sistemas estáveis resultam em sistemas estáveis Transformação na frequência: Especificações devem ser ajustadas de forma a compensar a transformação

Transformação bilinear A transformação bilinear corresponde a utilização de um método de integração trapezoidal Função de transferência de um integrador Área do trapézio

Invariância ao Impulso amostragem

Filtros Butterworth São filtros que têm uma característica de amplitude maximamente plana na banda de passagem. Têm a seguinte resposta em amplitude: A sua transformada de Laplace é constituída apenas por pólos nas posições:

Filtros Chebyshev Permitem oscilações na banda de passagem de forma permitir a utilização de filtros de menor ordem relativamente ao Butterworth.

Comparação de Filtros IIR Butterworth Resposta em frequência maximamente plana Chebyshev Maior atenuação mas pior resposta de fase Qualquer deles tem distorção de fase ao contrário dos filtros FIR que têm fase linear!

Projecto em tempo continuo Filtros passa-banda Projecto em tempo continuo Transformação passa-baixo passa banda Escolher o tal que, Especificações ou mais apertadas

Mas garantindo que P1< P1real e Filtros passa-banda Deve-se escolher P1 e P2 de forma que: Mas garantindo que P1< P1real e P2> P2real