Campus de Caraguatatuba Aula 7: Noções Básicas sobre Erros (1) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 7: Noções Básicas sobre Erros (1)

Introdução (1) 28 americanos foram mortos e 98 feridos por um míssil Scud em 25 de fevereiro de 1991, na Guerra do Golfo. O sistema de defesa Patriot falhou em rastrear e interceptar o míssil, por um problema de aproximação, e esta, sendo acumulada por mais de 100 horas, gerou uma falha na leitura de 0,34 seg. Esta falha "enganou” o sistema de defesa, informando que o míssil estava a 687 m quando, na verdade, ele estava a 137m.

Introdução (2)

Introdução (3) Ariane 5, em 4 de Junho de 1996. O foguete explodiu 40 segundos na sua viagem inaugural. Foi aproveitado um pacote de software de navegação do Ariane 4 que não tinha erros. No módulo Sistema de Navegação Inercial - SNI uma conversão de valores de 64-bits para 16-bits falhou. A falha no SNI levou o computador de bordo a modificar a trajetória do foguee e isto causou a ativação da auto destruição.

Introdução (4) Ariane 5, em 4 de Junho de 1996. A concepção do foguete custou à Agência Espacial Europeia 10 anos e 7 bilhões de dólares. Explodiu 40 segundos após a descolagem, destruindo-se com toda a sua carga (um conjunto de quatro satélites no valor de 500 milhões de dólares). O acidente deveu-se a um erro de overflow na conversão de um valor representado em 64 bits com ponto flutuante para um inteiro de 16 bits com sinal. Filme

Introdução (5) De uma maneira geral, a resolução de um problema de qualquer área do conhecimento científico passa inicialmente por uma fase de observação e entendimento do fenômeno físico envolvido na qual, usando conhecimentos já estabelecidos, busca-se, por meio de simplificações, quando necessárias, a construção de um modelo matemático que represente, com a maior fidelidade possível, o problema que se deseja tratar. Esta etapa é caracterizada como Fase da Modelagem do Modelo Matemático. Com o problema representado por intermédio de um modelo matemático, busca-se, para a sua resolução, um método exato quando possível, ou, quando não, um método numérico aproximado.

Introdução (6) Mesmo quando se utiliza na resolução do modelo matemático um método exato (um método que apresenta a solução exata para o modelo), pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elementares (adição, multiplicação, subtração e divisão) e, sendo estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados, pode-se cometer erros. Por outro lado, quando se opta, em razão da complexidade do modelo matemático, pela resolução por meio de um método numérico, além dos erros no processamento anteriormente mencionados, pode-se também cometer erros provenientes do fato de se utilizar, para a resolução do modelo matemático, um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada como Fase de Resolução do Modelo Matemático.

Introdução (7) A figura abaixo ilustra as fases descritas anteriormente.

Introdução (8) Serão apresentados os principais erros que podem ocorrer na Fase da Resolução de um problema. Os erros cometidos devido à mudança da base de processamento; Os erros de representação devido ao sistema utilizado pelos computadores para armazenar dados numéricos; Os erros de arredondamento e truncamento; e Os erros absolutos e relativos.

Erros na Fase de Modelagem (1) Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um método matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo. Exemplo 1: Seja o estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante. Tem-se a seguinte equação a seguir, Onde,

Erros na Fase de Modelagem (2) Seja agora o problema de se calcular a altura de um edifício usando uma bolinha de metal e um cronômetro. Ao soltar a bolinha do terraço do edifício esta levou 3 segundos para atingir o chão. Logo, Pergunta: Esse resultado é confiável?

Erros na Fase de Modelagem (3) Erros na Fase de Modelagem são os erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para que o fenômeno da natureza que se estiver observando possa ser representado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis.

Erros na Fase de Resolução (1) Erros na Fase de Resolução são os erros provenientes da utilização de algum equipamento, como, por exemplo, um computador, para se processar os cálculos necessários à obtenção de uma solução para o modelo matemático. Eles ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os dígitos significativos de valores numéricos utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão. Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em Erros na Mudança de Base e Erros de Representação.

Erros na Mudança da Base (1) Os equipamentos computacionais digitais representam os valores numéricos no sistema binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos são lidos, estes são transformados em uma outra base de representação. Muitas vezes esta transformação pode ser acometida de erros, em razão da limitação da representação do equipamento computacional que está sendo utilizado para o processamento dos dados numéricos. Os números empregados no calculo computacional podem ser de dois tipos: Números Inteiros; e Números em “Ponto Flutuante” (números reais da matemática, como por exemplo 3.56 → 0.356 x 10-1).

Erros na Mudança da Base (2) Os computadores atuais representam os números internamente no formato binário, como uma sequencia de 0s e 1s. Apesar dessa representação ser conveniente para as maquinas, ela é antinatural para os seres humanos, cujo sistema de numeração é o decimal. No passado o sistema de numeração já foi também na base 12 (por exemplo, contar nas falanges dos dedos) e na base 60 (por exemplo, o sistema horário).

Erros na Mudança da Base (3) Sistema de Numeração É o conjunto de símbolos utilizados para a representação de quantidades e as regras que definem a forma de representação. É determinado fundamentalmente pela base. Base Indica o número de símbolos que vão ser usados (analogia com o alfabeto). Notação para indicar um número numa determinada base Numero X na base B X(B) ou XB Exemplo 2: Número 2 na base 10. 210

Erros na Mudança da Base (4) Tipos de Sistemas de Numeração Há dois tipos de sistemas de numeração: Sistemas Posicionais e Sistemas Não Posicionais. Sistemas Não Posicionais São aqueles sistemas de numeração em que o valor atribuído a um símbolo não se altera, independente da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que está representando uma quantidade. Exemplo 3: Sistema de Numeração Romano 1000 500 100 50 10 5 1 M D C L X V I

Erros na Mudança da Base (5) Sistemas Posicionais São aqueles sistemas de numeração em que o valor atribuído a um símbolo depende da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que está representando uma quantidade. Exemplo 4: Sistema de Numeração Decimal.

Erros na Mudança da Base (6) No sistema decimal cada posição tem um valor que equivale a dez vezes o valor da posição que está imediatamente a sua direita. Supondo que se designe uma casa para cada posição, o valor da casa vai aumentando para a esquerda de 10 em 10 vezes. Assim se o valor da 1a casa da direita for 100, a 2a (à esquerda) valerá 100 x 10 = 1000.

Erros na Mudança da Base (7) Há vários Sistemas Posicionais disponíveis:

Erros na Mudança da Base (8) Dado um número real N qualquer, é sempre possível representá-lo em qualquer base b, da seguinte forma apresentada a seguir, Onde , com n e m inteiros.

Erros na Mudança da Base (8) Representação para a Base Binária Exemplo 5: (1011)2 (1011)2 = 1×20 + 1×21 + 0×22 + 1×23 Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i = 0,1,2,3 e tem-se que a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0 e a3 = 1. Exemplo 6: (111,01)2 (111,01)2 = 1×2-2 + 0×2-1 + 1×20 + 1×21 + 1×22 Neste caso, o binário tem a parte inteira e a parte fracionária, isto é, n = - 2 e m = 2 e tem-se que a-2 = 1, a-1 = 0, a0 = 1, a1 = 1 e a2 = 1.

Erros na Mudança da Base (8) Representação para a Base Decimal Exemplo 7: (231)10 (231)10 = 1×100 + 3×101 + 2×102 Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i = 0,1,2 e tem-se que a0 = 1, a1 = 3 e a2 = 2. Exemplo 8: (231,35)10 (231,35)10 = 5×10-2 + 3×10-1 + 1×100 + 3×101 + 2×102 Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária, n = - 2 e m = 2 e tem-se que a-2 = 5, a-1 = 3, a0 = 1, a1 = 3 e a2 = 2.

Erros na Mudança da Base (8) Observação Dado um número real qualquer numa base b, pode-se escrevê-lo em uma outra base b’, a partir de adequação conveniente de seus coeficientes ai = 0, 1, 2, 3, ..., (b – 1) e de uma potência adequada na nova base b’.