Quando é necessário escolher apenas uma ideologia, utiliza-se uma escolha, por meio de sufrágios ou votos que se designa por ELEIÇÃO O processo eleitoral tem dois momentos: a votação a contagem de votos. Como funciona a contagem? Será um processo justo? Será que existem eleitores com mais poder de voto do que outros?

1. VOTOS DE PREFERÊNCIAS.TABELAS DE PREFERÊNCIAS. Os votos de preferência são votos em que o eleitor escolhe, por ordem de preferência, os candidatos. Uma forma lógica de organizar os votos é agrupar os que são idênticos, e elaborar uma tabela de preferências. Uma vez que a Universidade de Coimbra encontra-se sem reitor, suponhamos que temos quatro candidatos para ocupar o lugar vago. São eles o Dr. António, o Dr. Bernardo, a Dra. Carolina e a Dra. Daniela. Há 37 pessoas com direito a voto nesta eleição, que constituem a população eleitora. Façamos a seguinte correspondência: A António B Bernardo C Carolina D Daniela.

Cada um dos eleitores vota indicando a sua primeira, segunda, terceira e quarta escolha. Finda a votação, qual será o candidato eleito para reitor? Agrupando os diferentes tipos de boletins de votos obtidos, no total de 24 possíveis, temos a seguinte tabela de preferências: Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA

TRANSITIVIDADE E ELIMINAÇÃO DE CANDIDATOS transitividade da preferência individual escolhas relativas de um eleitor não são afectadas pela eliminação de um ou mais candidatos. Há dois factos a ter em conta quando se usam os votos de preferências: VOTO 1º - C 2º - B 3º - D 4º - A VOTO 1º - C 2º - D 3º - A Exemplificação:

2. MÉTODO DA PLURALIDADE O candidato que obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar será o eleito. Aplicando este método ao nosso exemplo inicial, temos que: A obtém 14 votos para 1º lugar; B obtém 4 votos para 1º lugar; C obtém 11 votos para 1º lugar; D obtém 8 votos para 1º lugar. Neste caso, o resultado da escolha é óbvio – o eleito é o candidato A (o Dr.António). Características: Simplicidade Aplicação do princípio da regra da maioria A maioria implica a pluralidade e o recíproco não se verifica. Tal facto conduz-nos até ao critério da maioria.

CRITÉRIO DA MAIORIA: Se uma escolha obtiver a maioria das colocações em primeiro lugar numa eleição, então essa escolha deverá ser a eleita. CRITÉRIO DE CONDORCET: Se houver uma escolha, em que comparativamente com todas as outras, seja a preferida pelos eleitores, então essa escolha deverá ser a eleita.

Falhas do método da pluralidade: não considera outras preferências além da primeira mau resultado eleitoral não verifica o critério de Condorcet existência de votos que não revelam a verdadeira preferência dos eleitores Marie Jean Antoine Caritat – Marquis de Condorcet (1743 – 1794) Dedicou-se às Ciências Sociais É possível encontrar exemplos de eleições em que um candidato ganha em comparação com outros, mas ainda assim, pelo método da pluralidade, esse candidato perde a eleição. A esse candidato que ganha em comparação com os outros designa-se por CANDIDATO CONDORCET.

Exemplo da falha do método da pluralidade: O Orfeão dos Antigos Alunos da Universidade de Coimbra foi convidado para realizar um espectáculo em cinco cidades diferentes: Roma (R), Helsínquia (H), Caracas (C), Oslo (O) e em Sidney (S). O problema surge em decidir em que cidade actuarão, uma vez que só poderão realizar um espectáculo. Os cem membros do orfeão procedem então a uma eleição. Os resultados da eleição encontram-se na tabela seguinte: Número de eleitores ª OpçãoRHC 2ª OpçãoHSH 3ª OpçãoCOS 4ª OpçãoOCO 5ª OpçãoSRR Método da pluralidade Roma Senso comum Helsínquia

n pontos Neste método, a cada lugar nos votos de preferências é atribuída uma pontuação. Numa eleição com n candidatos atribui-se : 3- MÉTODO DE CONTAGEM DE BORDA Somam-se os pontos que foram atribuídos a cada candidato, e o que obtiver o maior número de pontos é o vencedor da eleição. um ponto dois pontos... penúltimo lugar último lugar primeiro lugar. considera toda a informação que provem dos votos de preferência; é bastante usado quando existe um número significativo de candidatos. Características do método:

Usando este método vejamos qual é o candidato eleito, no exemplo. A tabela seguinte mostra os pontos obtidos por cada candidato: Número de eleitores ª Opção: 4 ptsA: 56 ptsC: 40 ptsD: 32 ptsB: 16 ptsC: 4 pts 2ª Opção: 3 ptsB: 42 ptsB: 30 ptsC: 24 ptsD: 12 ptsD: 3 pts 3ª Opção: 2 ptsC: 28 ptsD: 20 ptsB: 16 ptsC: 8 ptsB: 2 pts 4ª Opção: 1ptD: 14 ptsA: 10 ptsA: 8 ptsA: 4 ptsA: 1 pt Agora somemos os pontos: A obtém: 4 * * * * * 1 = 79 pontos; B obtém: 3 * * * * * 1 = 106 pontos; C obtém: 2 * * * * * 1 =104 pontos; D obtém: 1 * * * * * 1 = 81 pontos; portanto o vencedor é o candidato B (Dr. Bernardo).

não verifica o critério de Condorcet Falhas do método: não satisfaz o critério da maioria Para ilustrar a falha deste método vejamos o seguinte exemplo Suponhamos que temos de eleger um representante do curso de Matemática, sendo os candidatos possíveis: o Joaquim, o Rodrigues, a Carlota e a Lucília. Façamos a seguinte correspondência: J Dr. Joaquim R Dr. Rodrigues C Dra. Carlota L Dra. Lucília. Após a entrevista dos quatro candidatos os onze membros da direcção votaram nos candidatos e decidiram usar este método para escolher este vencedor.

Número de eleitores623 1ª Opção: 4 ptsJRC 2ª Opção: 3 ptsRCL 3ª Opção: 2 ptsCLR 4ª Opção: 1 ptLJJ Os resultados da votação estão registados na próxima tabela: Calculemos então a pontuação final de cada candidato: J obtém: 4 * * * 3 = 29 pontos; R obtém: 3 * * * 3 = 32 pontos; C obtém: 2 * * * 3 = 30 pontos; L obtém: 1 * * * 3 = 19 pontos. Concluímos assim que o Rodrigues será o representante do curso de Matemática com o total de 32 pontos. Isto verifica-se apesar do Joaquim ter seis colocações em primeiro lugar num total de onze, e portanto a maioria. Logo, este método não verifica o critério da maioria. Tal facto, implica a violação do critério de Condorcet.

Este método é uma versão do princípio da sobrevivência dos mais aptos. A ideia básica é a contínua eliminação dos candidatos menos aptos, um a um, até que surja um vencedor. O critério para a aptidão é o número de colocações em primeiro lugar que se obtém. 4-MÉTODO DA PLURALIDADE COM ELIMINAÇÃO Características do método: é utilizado em eleições com poucos candidatos ( normalmente 3 ou 4 e raramente mais do que 6).

Contagem das colocações em 1º lugar de cada candidato Vencedor Maioria Eliminação do candidato c/ o menor n.º de colocações em 1º lugar Retira-se o nome do candidato eliminado da T.P. Os candidatos posicionados em lugares inferiores sobem um lugar Nova contagem das colocações em 1º lugar Maioria

Apliquemos este método à eleição do reitor da Universidade de Coimbra. Relembremos a tabela 1: Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA PASSO 1: CandidatoABCD Nº de votos da 1ª Opção Como o candidato B é o que possui o menor número de votos na 1ª opção, ele é eliminado.

PASSO 2: Devido à eliminação de B, obtemos uma nova tabela: Número de eleitores ª OpçãoACDDC 2ª OpçãoCDCCD 3ª OpçãoDAAAA Procedendo-se a uma recontagem dos votos, surge a seguinte tabela: Neste passo, o candidato C é o eliminado pois possui o menor número de votos. PASSO 3: Os onze votos pertencentes ao candidato C no passo 2 deslocar-se-ão para o candidato D, como se verifica na seguinte tabela: Número de eleitores ª OpçãoADDDD 2ª OpçãoDAAAA CandidatoABCD Nº de votos para 1ª Opção O candidato D obteve a maioria dos votos da primeira opção no passo 3, uma vez que é apenas necessário 19 votos para que haja uma maioria, verificando-se assim o critério da maioria.

CRITÉRIO DA MONOTONIA: Se uma escolha X for a vencedora de uma eleição e, numa reeleição, as únicas mudanças nos votos forem mudanças que favoreçam X, então a escolha X deverá permanecer como a eleita.

não satisfaz o critério da monotonia não verifica o critério de Condorcet Falhas do método: No Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra está prestes a realizar-se a eleição para o presidente do Núcleo de Estudantes de Matemática e Engenharia Geográfica (NEMATEG). Há três candidatos ao cargo que são a Ana (A), a Vera (V) e o Manuel (M). Vejamos o seguinte exemplo: Número de eleitores ª OpçãoAVMA 2ª OpçãoVMAM 3ª OpçãoMAVV População eleitora- 29 membros Vera é eliminada Passo 1 Ana obteve 11 votos, a Vera 8 e o Manuel 10 Passo 2 8 votos que pertenciam à Vera são transferidos para o Manuel Manuel é o presidente do NEMATEG (18 votos)

Suponhamos que os quatro eleitores da última coluna decidem trocar os votos da sua primeira opção (A) para o candidato Manuel (M). Número de eleitores7814 1ª OpçãoAVM 2ª OpçãoVMA 3ª OpçãoMAV Candidato (A) – 7 votos Eliminada Candidato (V) - 15 votos Vencedor Não satisfaz o critério da monotonia

Cada candidato é comparado com os restantes, sendo essas comparações feitas entre dois candidatos de cada vez. 5. MÉTODO DAS COMPARAÇÕES PAR A PAR Quantas comparações são necessárias para encontrar um vencedor ? Depende do número de candidatos pois se existirem N candidatos temos as seguintes comparações: 1º candidatoN-1 comparações 2º candidatoN-2 comparações... Penúltimo candidato1 comparação são precisas … + (N-2) + (N-1) = N (N-1)/2 comparações

Para exemplificar este método vamos utilizar o exemplo inicial, cuja tabela de preferências é : Características: Satisfaz o critério de Condorcet Satisfaz o critério da maioria Satisfaz o critério da monotonia Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA

Comecemos por comparar A com B Comecemos por comparar A com B Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA Como se verifica na tabela anterior, o candidato (B) ganha a comparação com 23 votos, obtendo assim 1 ponto. Comparação de A com C Comparação de A com C Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA Portanto, o candidato (C) ganha a comparação com 23 votos obtendo também 1 ponto.

Comparação entre os candidato A e D Comparação entre os candidato A e D Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA Verificamos que o candidato D ganha a comparação com 23 votos, ficando com 1 ponto. Comparação entre os candidatos B e C Comparação entre os candidatos B e C Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA O candidato C ganha a comparação com 19 votos contra 18 votos do candidato B

Comparação entre os candidatos B e D Comparação entre os candidatos B e D Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA O candidato B obteve 1 ponto ao ganhar a comparação com D. Comparação entre os candidatos C e D Comparação entre os candidatos C e D Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA O candidato C ganha a comparação com 25 votos, obtendo assim 1 ponto.

Resumindo as comparações efectuadas anteriormente obtém-se o seguinte quadro: ComparaçõesPontuação A B A: 0 pt; B: 1 pts A C A: 0 pts; C: 1 pt A D A: 0 pts; D: 1 pt B C B: 0 pt; C: 1 pt B D B: 1 p ; D: 0 pts C D C: 1 p ; D: 0 pts Somando agora a pontuação de cada candidato, obtemos o resultado final que está expresso no seguinte quadro: CandidatoPontuação final A0 pts B2 pts C3pts D1pt Concluimos assim que pelo método de comparações par a par o vencedor é o candidato C.

CRITÉRIO DE INDEPENDÊNCIA DAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES: Se a escolha X for a vencedora de uma eleição e uma (ou mais) das outras escolhas for removida e houver uma nova contagem dos votos, então X deverá continuar a ser a escolha eleita.

Não satisfaz o critério de independência das alternativas irrelevantes. Pode produzir um resultado em que todos os candidatos são vencedores; Falhas deste método: Para ilustrar estas duas falhas vamos apresentar dois exemplos: EXEMPLO 1: Os onze quartanistas do nosso curso vão realizar um jantar de curso, de modo a angariar algum dinheiro para participarem no cortejo da Queima das Fitas. É então necessário escolher o local do jantar entre os seguintes restaurantes: o Batina (B), a Liga (L) e o Democrática (D). A tabela de preferências é: Nº de Eleitores425 1ª OpçãoBLD 2ª OpçãoLDB 3ª OpçãoDBL

CandidatoPontuação final B1 pt L D Analisando a tabela anterior obtemos o seguinte quadro: ComparaçõesPontuação B L B: 1 pts ; L: 0 pts B D B: 0 pts ; D: 1 pts L D L: 1 pts ; D: 0 pts Chegamos assim, ao quadro da pontuação final: Notamos que existe uma situação de empate. E agora? Geralmente, não há uma regra pré -estabelecida para desempatar, mas na prática é importante estabelecer este tipo de regras.

EXEMPLO 2: Na Associação Académica de Coimbra existem várias secções desportivas. Na secção de Rugby, é necessário eleger um representante da equipa para receber o troféu de campeã nacional nesta modalidade. Há cinco voluntários: o Rafael (R), o João (J), o Miguel (M), o Luís (L) e o Gonçalo (G). A tabela seguinte mostra os votos de preferência dos eleitores: Nº de Eleitores ª OpçãoRLLMMJG 2ª OpçãoJRRLJRM 3ª OpçãoMMJRRGJ 4ª OpçãoLJGJLML 5ª OpçãoGGMGGLR Depois de efectuar as comparações par a par como foi feito no exemplo inicial temos o seguinte quadro: CandidatoPontuação final R3 pts L2 + ½ pts M2 pts J1 + ½ pts G1 pt

O candidato eleito para ir receber o prémio em causa é o Rafael. O mais interessante neste exemplo, é que mesmo antes de ser anunciado o resultado da eleição, o Miguel comunica que não poderá ir receber o troféu caso seja o eleito. Uma vez que o Miguel não é a escolha principal, será que a sua desistência vai afectar o resultado? Suponhamos que o Miguel era eliminado no início da eleição, neste caso bastaria eliminá-lo do boletim de voto. Desta forma a tabela de preferências seria a seguinte: Nº de Eleitores ª OpçãoRLLLJJG 2ª OpçãoJRRRRRJ 3ª OpçãoLJJJLGL 4ª OpçãoGGGGGLR

Logo, o vencedor seria o Luís. Por outras palavras, se a eleição fosse realizada com o conhecimento de que o Miguel não fazia parte do leque de candidatos, então o Luís seria o eleito e não o Rafael. Consequentemente o resultado original parece injusto para o Luís. Concluímos então que este método satisfaz todos os critérios enunciados até aqui excepto o critério de independência das alternativas irrelevantes. Finalmente depois de efectuadas as comparações necessárias temos o seguinte quadro: CandidatoPontuação final R2 pts L2 + ½ pts J1 + ½ pts G0 pts

2.6. RANKINGS Muito frequentemente, é importante não só conhecer quem ganha as eleições mas também quem ficou em segundo lugar, terceiro lugar, etc. Para isto, temos dois métodos que são os seguintes: Métodos de ranking extensivos; Métodos recursivos de ranking MÉTODOS DE RANKING EXTENSIVOS Segundo o método da pluralidade : Segundo o método da pluralidade : 1ª Posição: vencedor da eleição 2ª Posição: candidato com maior número de colocações em 1º lugar a seguir ao anterior... Última posição: candidato com menor número de colocações em 1º lugar

EXEMPLO INICIAL: Número de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA A tabela de preferências deste exemplo é a seguinte: A contagem das colocações para a primeira opção é: A: 14 colocações para a 1ª opção; B: 4 colocações para a 1ª opção; C: 11 colocações para a 1ª opção; D: 8 colocações para a 1ª opção. Desta forma, o quadro do ranking é: Posição CandidatoColocações para 1ª opção 1º LugarA14 2º LugarC11 3º LugarD8 4º LugarB4

O método das comparações par a par O método das comparações par a par O número de comparações ganhas por cada candidato é a base para se elaborar o ranking Utilizando o exemplo anterior temos: ComparaçõesPontuação A B A: 0 pt; B: 1 pts A C A: 0 pts; C: 1 pt A D A: 0 pts; D: 1 pt B C B: 0 pt; C: 1 pt B D B: 1 p ; D: 0 pts C D C: 1 p ; D: 0 pts Portanto, o quadro do ranking é: Posição CandidatoPontos 1º LugarC3 2º LugarB2 3º LugarD1 4º LugarA0

MÉTODOS RECURSIVOS DE RANKING Utiliza-se o método X para eleger o vencedor ( 1º vencedor ); Ranking: 1ª Posição 2ª Posição... Última Posição Retiramos o vencedor anterior e aplicamos novamente o método X (2º vencedor);... Retiramos o vencedor anterior e aplicamos o método X aos últimos dois candidatos (penúltimo vencedor); Penúltima Posição

Segundo o método da pluralidade recursivo : Segundo o método da pluralidade recursivo : Para melhor ilustrar este processo vamos apresentar dois exemplos: PASSO 1: O candidato eleito é o Dr. António com 14 colocações para a 1ª opção, logo é colocado no 1º lugar do ranking. PASSO 2: Removendo o candidato (A) da tabela original, obtemos uma nova tabela de preferências: Eleição original Nº de eleitores ª OpçãoACDBC 2ª OpçãoBBCDD 3ª OpçãoCDBCB 4ª OpçãoDAAAA Após a remoção do candidato (A) Nº de eleitores ª OpçãoBCDBC 2ª OpçãoCBCDD 3ª OpçãoDDBCB Usando esta nova tabela concluímos que o candidato B é o vencedor, colocando-se em 2º lugar no ranking.

PASSO 3: Retirando desta vez o candidato (B), obtemos a seguinte tabela: Após a remoção dos candidatos (A) e (B) Nº de eleitores ª OpçãoCCDDC 2ª OpçãoDDCCD O candidato C é colocado na 3ª posição do ranking porque é o vencedor deste passo. Como só nos resta o candidato D, este fica na ultima posição do ranking. Finalmente o ranking recursivo deste método aparece no seguinte quadro: PosiçãoCandidato 1º LugarA 2º LugarB 3º LugarC 4º LugarD

Como vimos anteriormente, o resultado das comparações dos candidatos está no quadro seguinte: Candidato Pontuação final A0 pts B2 pts C3pts D1pt Segundo o método das comparações par a par recursivo : Segundo o método das comparações par a par recursivo : Portanto o vencedor é a Dra. Carolina (C), que colocamos no primeiro lugar do ranking. ComparaçõesPontuação A B A: 0 pts ; B: 1 pt A D A: 0 pts ; D: 1 pt B D B: 1 pt ; D: 0 pts Depois de efectuar novas comparações temos o seguinte quadro:

CandidatoPontuação Final A0 pts B2 pts D1 pt Desta forma, o candidato (B) ganha, colocando-se em segundo lugar do ranking. Concluímos assim o seguinte quadro: Elimina-se o candidato (B) e temos então: Após remoção dos candidatos (B) e (C) Nº de eleitores1423 1ª OpçãoAD 2ª OpçãoDA Comparando A com D, o candidato D ganha a comparação e portanto este ocupará o terceiro lugar do ranking, e o candidato A ocupará o quarto lugar. Temos o seguinte quadro de ranking: PosiçãoCandidato 1º LugarC 2º LugarB 3º LugarD 4º LugarA

CRITÉRIO DA MAIORIA: Se uma escolha obtiver a maioria das colocações em primeiro lugar numa eleição, então essa escolha deverá ser a eleita. CRITÉRIO DE CONDORCET: Se houver uma escolha, em que comparativamente com todas as outras, seja a preferida pelos eleitores, então essa escolha deverá ser a eleita. CRITÉRIO DA MONOTONIA: Se uma escolha X for a vencedora de uma eleição e, numa reeleição, as únicas mudanças nos votos forem mudanças que favoreçam X, então a escolha X deverá permanecer como a eleita. CRITÉRIO DE INDEPENDÊNCIA DAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES: Se a escolha X for a vencedora de uma eleição e uma (ou mais) das outras escolhas for removida e houver uma nova contagem dos votos, então X deverá continuar a ser a escolha eleita. Como foi visto, nenhum método anterior satisfaz os seguintes quatro critérios:

TEOREMA DA IMPOSSIBILIDADE DE ARROW: Um método democrático e justo para determinar o resultado de uma eleição é matematicamente impossível. Kenneth Arrow ( ) 1952 – Teorema da impossibilidade de Arrow 1972 – Prémio Nobel da Economia

SISTEMA DE VOTO COM PESO: qualquer arranjo formal em que cada eleitor tem um número diferente de votos. O melhor exemplo de um sistema de voto com peso: Eleição do presidente dos Estados Unidos. VOTO PODER

A principal vantagem de um sistema de voto com peso é de que: Não temos que nos preocupar com a escolha do método de voto a usar, pois todos eles seguem a: regra da maioria. Temos apenas duas hipóteses (aceitar ou recusar),

NOTAÇÕES : Jogador Eleitor Moção – apresentação de um assunto para ser discutido em assembleia; Moção Haver uma mudança;

Sistema de voto com peso : [C: P 1,..., P N ] C - cota isto é, o numero de votos necessários para que haja uma mudança; metade do total dos votos cota total dos votos P 1,..., P N – o peso de voto de cada jogador, ordenados por ordem decrescente.

Chamam-se ditadores a todos os jogadores que tiverem peso de voto superior ou igual à cota. Exemplo: [11: 12, 5, 4] o primeiro jogador é ditador Numa situação em que há um ditador todos os outros jogadores ficam submetidos a ele, e estes jogadores chamam-se jogadores neutros.

O jogador que não é ditador mas que individualmente pode prevenir que os restantes jogadores juntos aceitem uma moção tem: Poder de Veto Neste caso não há ditador: [12: 9, 5, 4, 2], e o jogador P1, apesar de não ser ditador, tem o poder de obstruir, prevenindo qualquer mudança de posição dos restantes jogadores, isto é, que estes jogadores unam as forças e assim juntem mais votos que o primeiro jogador. Ao jogador P1 é dado o poder de prevenir tais mudanças porque mesmo que os restantes jogadores votem juntos, estes não tem votos superiores à cota. Isto faz com eles não possam aceitar uma moção contra a vontade de P1.

1. INDICADOR DE PODER DE BANZHAF Em 1965 John Banzhaf introduziu uma interpretação matemática do poder para o sistema de voto com peso.

CONCEITOS IMPORTANTES: COLIGAÇÃO: um grupo de jogadores que unem forças e juntos levarem à mudança. Esta designação também é válida para jogadores singulares. COLIGAÇÃO VENCEDORA: são todas aquelas com votos suficientes para ganhar, as outras coligações são PERDEDORAS.

PESO DA COLIGAÇÃO: número total de votos controlado por uma coligação A coligação que contém todos os jogadores é sempre vencedora e chama-se grande coligação. Notação: coligação genérica de N eleitores é: {P 1, P 2,....,P N }.

Uma coligação vencedora pode ter mais do que um jogador crítico, e só ocasionalmente uma coligação não tem jogador crítico. As coligações perdedoras nunca têm jogadores críticos. Este conceito é a base da definição para o indicador de poder de Banzhaf. JOGADOR CRÍTICO: é o jogador que transforma uma coligação vencedora em perdedora ao abandonar a coligação.

O poder do jogador é proporcional ao número de coligações para as quais ele é critico, isto é, quanto mais frequentemente um jogador é critico mais poder ele tem.

Para determinarmos o indicador de poder de Banzhaf de qualquer jogador num sistema de voto com peso genérico com N jogadores, seguimos os seguintes passos: P asso 1: fazer uma lista de todas as coligações possíveis, P asso 2: determinar quais são as coligações vencedoras, P asso 3: em cada coligação vencedora determinar quais são os jogadores críticos, P asso 4: contar o numero total de vezes que o jogador P, é critico – seja esse valor representado por B, P asso 5: contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos – seja esse valor representado por T

O indicador de poder de Banzhaf é dado pela fracção: B/T. A uma lista completa com os indicadores de poder de cada jogador, chamamos: distribuição de poder de Banzhaf. É comum escrever os indicadores de poder em percentagem.

Para melhor percebermos os conceitos introduzidos anteriormente vamos analisar alguns exemplos: Sistema de voto com peso da forma: [101: 99, 98, 3]. À primeira vista somos conduzidos a pensar que os dois primeiros jogadores têm mais poder do que o terceiro. depois de analisarmos a situação verificamos que por mais estranho que nos pareça, os três jogadores tem o mesmo poder.

1ª - {P 1 } 99 Perde 2ª - {P 2 } 98 Perde 3ª - {P 3 } 3 Perde 4ª - {P 1, P 2 } 197 Vence 5ª - {P 1, P 3 } 102 Vence 6ª - {P 2, P 3 } 101 Vence 7ª - {P 1, P 2, P 3 } 200 Vence Coligações Peso da coligação Vence ou perde

As coligações 4, 5, 6, são vencedoras, mas basta que um jogador, o jogador crítico, abandone a coligação para que esta se torne numa coligação perdedora, Em contrapartida a coligação 7 permanece vencedora mesmo que um jogador abandone a coligação, Assim que cada jogador é duas vezes critico, concluímos que cada jogador tem um terço do poder:2/6=1/3.

Cada membro tem um poder diferente nas decisões finais: O 1 três votos, O 2 dois votos, O 3 um voto. São necessários quatro dos seis votos possíveis para que haja mudança, isto é, para que seja aceite a moção. O que dá origem a um sistema de voto com peso da forma: [4: 3, 2, 1]. Numa empresa onde na direcção estão envolvidas três gerações da família Oliveira: Oliveira I O 1 Oliveira II O 2 Oliveira III O 3

Aplicando agora a cinco regras para o cálculo do indicador de poder de cada um dos jogadores, obtemos: 1º- Há sete coligações possíveis, {O 1 } {O 2 } {O 3 } {O 1, O 2 } {O 1, O 3 } {O 2, O 3 } {O 1, O 2, O 3 }, 2º- Coligações vencedoras {O 1, O 2 } {O 1, O 3 } {O 1, O 2, O 3 },

3º- Jogadores críticos O 1 e O 2 coligação {O 1,O 2 } O 1 e O 3 coligação {O 1, O 3 } Apenas O 1 coligação {O 1, O 2, O 3 }, 4º- O 1 é três vezes jogador crítico O 2 é uma vez jogador crítico O 3 é uma vez jogador critico, 5º- O número total de jogadores críticos é cinco.

O indicador de poder de Banzhaf de cada jogador é: O 1 : 3/5 O 2 : 1/5 O 3 : 1/5 Sendo a distribuição de poder da forma: O 1 tem 60% do poder O 2 tem 20% do poder O 3 tem 20% do poder. Que a primeira geração tem mais poder, e que a segunda e terceira geração têm igual poder.

Existem tantas coligações quantos os subgrupos menos um, que é o subgrupo vazio. Quantas coligações existem para um dado número de jogadores? Identifiquemos as coligações com grupos. A cada subgrupo diferente, excluindo o subgrupo vazio, fazemos corresponder uma coligação.

Nº de jogadores Nº de subgrupos Nº de coligações A tabela seguinte mostra quantos subgrupos é possível formar com N elementos: 2 4= =3 3 8= =7 … … … N 2 N 2 N – 1

Conselho de segurança das Nações Unidas Constituído por: 15 nações de voto 5 permanentes 10 não permanentes Para que uma moção seja aceite é necessário um voto a favor de cada um dos membros permanentes, mais votos adicionais a favor de pelo menos quatro dos dez membros não permanentes.

Contêm todos os membros permanentes mais pelo menos quatro dos membros não permanentes. Então existem: = = = 848 Coligações Todos os membros permanentes são críticos nestas coligações. Coligações vencedoras

Coligações vencedoras mínimas - são formadas pelos cinco membros permanentes e por exactamente quatro dos membros não permanentes. Então existem: = 84 Coligações E os membros não permanentes são apenas críticos nas :

Número total de vezes que todos os jogadores são críticos: 5 * * 84 = O indicador de poder de Banzhaf : Membros permanente é: 848/5080 = ou 16.7% Membro não permanente é: 84/5080 = ou 1.65%

mais poder que os membros não permanentes Os membros permanentes têm

4. ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY - SHUBIK Neste método as coligações são formadas sequencialmente, isto é, é importante a ordem do eleitor na coligação (todas as coligações começam com um primeiro eleitor que pode ser seguido pelo segundo, depois o terceiro e assim sucessivamente). - Coligação Sequencial Palavra chave deste método:

Segundo Shapley – Shubik, os mesmos três eleitores podem formar seis diferentes coligações sequenciais: - significa que P1 iniciou a coligação, em seguida juntou - se o eleitor P2 e, por fim P3. IMPORTANTE: A questão da ordem de cada eleitor na coligação. Ilustre-se então a diferença com um simples exemplo. De acordo com a interpretação de Banzhaf -uma coligação com os eleitores {P1, P2, P3} significa que P1, P2 e P3 juntaram poder e votaram em conjunto, não interessando como formaram (a ordem) a coligação

Vamos ter n! coligações sequenciais possíveis. Em cada coligação sequencial existe um jogador que no momento em que este se junta á coligação, esta parte de perdedora a uma coligação vencedora. A este jogador daremos o nome de: PIVOT Para um dado número de eleitores, N, quantas coligações sequenciais existem?

Procedimento para encontrar o índice de poder de Shapley - Shubik de cada eleitor num sistema de voto com peso com N eleitores é o seguinte: 1º Passo – Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais com os N eleitores, há N!. 2º Passo – Em cada coligação sequencial determinar o Pivot. ( Há um em cada.) 3º Passo – contar o número de vezes que o eleitor P é Pivot. ( Designemo-lo por S ) O indicador de poder de Shapley – Shubik do eleitor P é dado por: S/N!

Exemplo: Vamos retomar o exemplo da empresa da família Oliveira considerada anteriormente. Tenhamos em conta que o sistema de votação que estamos a utilizar é 4 : 3, 2, 1. Para a sua análise vamos então seguir os passos observados anteriormente.

Coligação sequencial Jogador pivotal P 2 P 3 P 1 Passo 1 Passo 2

P 1 é pivotal 4 vezes P 2 é pivotal 1 vez P 3 é pivotal 1 vez A distribuição de poder segundo o modelo de Shapley – Shubik é assim: P 1 4/6 = 66, (6)% P 2 1/6 = 16,(6)% P 3 1/6 = 16,(6)% Passo 3

Podemos então concluir que a distribuição de poder dos dois métodos é diferente. Conclusão: Utilizando o modelo de Banzhaf P 1 : 60% ; P 2 : 20%; P 3 : 20%. Utilizando o modelo de Shapley – Shubik P 1 : 66, (6)% P 2 : 16,(6)% P 3 : 16,(6)%

O Oliveira I tem ainda mais poder. Interpretação: Em contrapartida o seu filho e o seu neto têm menos poder. O Oliveira II continua com o mesmo poder que o filho. Banzhaf Shapley -Shubik 60%66,(6)% Banzhaf 20%16,(6)% 20%16,(6)%

Conselho de Segurança das Nações Unidas Exemplo :

No conselho de Segurança das Nações Unidas temos: 15 membros 5 permanentes 10 membros não permanentes De acordo com o método temos: 15! Coligações Sequenciais Quando é que um membro não permanente é pivotal? Nas coligações em que for precedido: - pelos 5 membros permanentes -por 3 não permanentes ( Podem ser escolhidos das possibilidades)

Estes 8 elementos podem ainda permutar entre si: temos assim mais 8! possibilidades Até agora temos 9 lugares preenchidos! Resta-nos ocupar os 6 restantes. Para estes existem 6! possibilidades. O índice de poder de cada membro é assim [(9!8!)/3!]/15! [(9!8!6!)/3!6!]/15! [ (9!8!)]/15!