Introdução ao escoamento compressível Matéria Velocidade das ondas de pressão no interior de condutas Variação de massa específica associada à variação de energia cinética Revisões de Termodinâmica Equação de energia unidimensional para gases em regime estacionário sem trocas de energia ao veio Entalpia e temperatura de estagnação Exemplo Escoamento subsónico, crítico e supersónico.

Introdução ao escoamento compressível Matéria (cont.) Velocidade do som Condições críticas Evoluções em função do número de Mach Equações para regime compressível unidimensional Transferência de calor em condutas de secção constante Exemplo.

Velocidade das ondas de pressão (I) Fluido já afectado pelo movimento do êmbolo Fluido ainda não afectado pelo movimento do êmbolo Êmbolo desloca-se com velocidade dV durante o intervalo de tempo dt Onda de pressão de velocidade c Qual a velocidade do som (onda de pressão) c?

Velocidade das ondas de pressão (II) Num referencial fixo à frente de onda (para tornar o problema estacionário) 2 1 x Fluido afectado pelo movimento do êmbolo Onda de pressão de velocidade estacionária Fluido não afectado pelo movimento do êmbolo Balanço de massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2: Balanço de quantidade de movimento ao VC:

Velocidade das ondas de pressão (III) 2 1 x Balanço de massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2: Balanço de quantidade de movimento ao VC:

Velocidade das ondas de pressão (IV) No caso dos líquidos, introduzindo o módulo de expansão volumétrica:  Condições para pressão e temperatura normais

Velocidade das ondas de pressão (V) Caso de líquidos em tubagens elásticas: d – diâmetro do tubo e – espessura do tubo E – módulo de elasticidade do material do tubo c – velocidade num tubo inelástico Condições para água a PTN e d/e=10

Velocidade das ondas de pressão (VI) No caso de gases perfeitos, p=RT, em evoluções isentópricas (=cp/cv): Para o ar ( =1,4; R =287 J/kg/K) em condições PTN: c = 343 m/s

Introdução ao escoamento compressível Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia cinética: Equação de Bernoulli: elevados  =  (T,p) significativos Importância do termo Efeitos de compressibilidade a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos fluidos de menor a)

Introdução ao escoamento compressível Aumento do número de variáveis (e equações): Esc. incompressível Esc. compressível V e p V, p,  e T Equação da continuidade Equação da continuidade Equação de Bernoulli (ou de quantidade de movimento) Equação de Energia Equação da quantidade de movimento Equação de estado (G.P.): Novos parâmetros: a – Velocidade do som M – Número de Mach (M = V/a)

Revisão de Termodinâmica Algumas definições: Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de duas delas (p.ex. pressão e temperatura). Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o final. Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem interferência do exterior. Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de trocas de calor). Leis da Termodinâmica: 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de energia. 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais

1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas abertos/volumes de controlo) Equação de energia para escoamentos unidimensionais: Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial (gases), por unidade de massa:

2ª Lei da Termodinâmica Num processo real a entropia s varia de modo a que; s e q expressos por unidade de massa Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta, excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em que s = cte – processo isentrópico. Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0

Gases perfeitos Equação de estado: com Evoluções isentrópicas: R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1) e ainda:  varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da molécula do gás; vapor de água  =1,33. Evoluções isentrópicas:

Número de Mach, M Força de inércia Força elástica Energia cinética Energia elástica para um gás perfeito

Entalpia de estagnação adiabática Equação de energia: Entalpia de estagnação adiabática: Num escoamento adiabático (q = 0): Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

Temperatura de estagnação adiabática Para um gás perfeito: Temperatura de estagnação adiabática: Equação da energia: Num escoamento adiabático: Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

Exemplo Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V. p0=84 kPa V p1=70 kPa T1=-50 C Equação da energia: 1 ? Nota: os pontos 1 e 0 estão muito próximos e estariam à mesma pressão e temperatura se o ponto 0 não fosse de estagnação devido à presença do Pitot. Evolução isentrópica: Resultados:

Temperatura de estagnação em função do número de Mach - M Temperatura de estagnação, T0:

Condições críticas (M=1) Para M=1 T* é a temperatura crítica V* é a temperatura crítica: a* é a velocidade do som crítica

Equações a utilizar em escoamento compressível Equação da energia: Equação da continuidade: Equação de estado: Equação do número de Mach:

Equações a utilizar em escoamento compressível Equação da quantidade de movimento: (escoamento sem mudança de direcção) p A+dA V V+dV A, p,  p+dp +d Força longitudinal exercida pela pressão na parede lateral p

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante V V+dV p+dp T+dT M+dM +d p,  T0+dT0 dq Equação da energia: Definição de temperatura de estagnação:

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante Equação da continuidade: Equação de estado: Eq. número de Mach: Eq. da quant. movimento: (desprezando o atrito)

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante 6 incógnitas (dV, dp, dT, d, dM, dT0) e 6 equações Solução: Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo) (Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal, mantendo escoamento sónico à saída) ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo) (Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do caudal, mantendo escoamento sónico à saída)

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante T=250 K saída q Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)? Qual a equação que falta?

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante T=250 K saída q Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal indicado (isto é, para Ms = 1)?

Escoamento com transferência de calor numa conduta de secção constante T=250 K saída

Introdução ao escoamento incompressível Bibliografia Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta, E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª edição, Prentice Hall, 1999. Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics, 3ª edição, McGraw-Hill, 1994. Secções 10.1 e 10.2, L. A. Oliveira, A. G. Lopes, Mecânica dos Fluidos, 2ª edição, ETEP, 2007