Análise Numérica - Apresentação Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética Uso do computador Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Porquê? Problemas reais Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…) Aplicações em áreas como Ciências Sociais Economia Engenharia Medicina ... Análise Numérica Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Como funciona? Aulas teóricas (teoria + exemplos) Aulas práticas (máquina de cálcular + computador ) Avaliação Prova prática (computador) – (2 valores) + Exame final (máquina de calcular) – (18 valores) Questão (computador) – (2 valores) Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Bibliografia Apontamentos na editorial (e na página da disciplina) Valença, Maria Raquel; Métodos numéricos Pina, Heitor; Métodos numéricos Burden, Richard L.; Numerical Analysis Atkinson, Kendall E.; An introduction to numerical analysis Stewart, G. W.; Afternotes on numerical analysis Schilling, Robert J.; Applied numerical methods for engineers Fausett, Laurene V.; Applied numerical analysis using Matlab Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Programa Equações não lineares – Métodos iterativos Problema: Encontrar as raízes de Objectivo: Determinar Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Programa Métodos iterativos Reescrever a equação: Ambas são verificadas para Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Programa n xn xn+1 1 1,5 1,41666666666667 2 1,41421568627451 3 1,41421356237469 4 1,41421356237309 5 1,414213562373100 Estamos em presença de um Método Numérico Iterativo: Produz uma solução aproximada Processo rápido (neste caso) Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Programa Sistemas de equações lineares Métodos Directos Métodos Iterativos Aproximação polinomial Interpolação polinomial Introdução ao método dos mínimos quadrados Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Programa Integração numérica Diferenciação numérica Introdução à resolução numérica de equações diferenciais Exemplo: Movimento do pêndulo Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Programa Métodos Numéricos soluções aproximadas. Como controlar o erro? Teoria de erros Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Como se cometem erros?... parcelas somas parciais 7,85398163397448E-01 -8,07455121882808E-02 7,04652651209167E-01 2,49039457019272E-03 7,07143045779360E-01 -3,65762041821772E-05 7,07106469575178E-01 3,13361689037812E-07 7,07106782936867E-01 -1,75724767344340E-09 7,07106781179619E-01 6,94845327388663E-12 7,07106781186567E-01 -2,04102633966414E-14 7,07106781186547E-01 4,62870462883468E-17 -8,34858983481167E-20 sin( ) ≈ 0,707106781186547 Análise Numérica - Apresentação

Erros dos instrumentos de cálculo Exemplo f(x,y)=333.75y6+x2(11x2y2-y6-121y4-2)+5.5y8+x/(2y) Matlab f(77617,33096) = -1.1806e+021 (Matlab) Maple f(77617,33096) = -0.8273960599468… (40 Digits) f(77617,33096) = 0.1…×108 (30 Digits) Resultado exacto = -0.8273960599468… Análise Numérica - Apresentação

Representação dos números Números em vírgula flutuante (float) Mantissa (<1 e 0.1) com t dígitos, expoente com k dígitos Números representados pela máquina (só um conjunto finito de pontos xi=xi -1(1+epsilon)) Epsilon=M=b-t+1 Float= sinal  mantissa  baseexpoente overflow underflow -xmax -xmin xmin xmax Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Uma pequena animação Para ver o efeito de t e k na fórmula Clique aqui Nota: Se não consegue ver, instale o Macromedia Flash Player (em http://www.macromedia.com/downloads/ ) Análise Numérica - Apresentação

Representação dos números Exemplos: (32.4)10  +0.324102 (310-1+210-2+410-3)102 (-1011.11)2  -0. 10111124 (12-1+02-2+12-3+ 12-4+12-5+12-6)24 Análise Numérica - Apresentação

– Erros computacionais Qual a causa dos erros? Nem todos os números podem ser representados A adição (+) e a multiplicação () não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante Análise Numérica - Apresentação

Como aparecem resultados diferentes? Exemplo 256327553-594253247.8-3211862.9=-9.9 (exacto) Máquina de cálcular com base=10 e: 193598496 193000515 597990.9 t resultado 5 .19360109-.19300109-.59799106=2010 6 .193598109-.193001109-.597991106=-991 7 .1935985109-.1930005109-.5979909106=9.1 8 .19359850109-.19300052109-.5979909106=-10.9 Análise Numérica - Apresentação

Porque aparecem resultados tão diferentes? Erro > resultado Análise Numérica - Apresentação

Análise Numérica - Apresentação Como se podem evitar? Usando máquinas mais precisas. Usando expressões equivalentes (na aritmética exacta) menos sensíveis aos erros nos cálculos. Casa: Calcule as duas expressões para Maple Análise Numérica - Apresentação