Lógica de Primeira Ordem -1 Variáveis e Quantificadores Semântica de Quantificadores Tradução Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulo: 9

Variáveis e fórmulas atómicas TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Variáveis e fórmulas atómicas Variáveis: aparecem como argumentos de predicados Não referem objectos: marcam lugares nos argumentos dos predicados LPO: lista infinita de variáveis Tarski’s World: u, v, w, x, y, z Fórmulas atómicas Fórmulas bem formadas variáveis podem surgir como argumentos Para serem frases: todas as variáveis quantificadas Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Quantificadores Afirmações acerca do número de coisas que verificam uma condição " todos os objectos satisfazem a condição LN: todo…, cada…, qualquer um… LPO: "x ligação de variável para todo o objecto x… "x NaSala(x) "x (AlunoTC(x) ® NaSala(x)) $ pelo menos 1 objecto satisfaz a condição LN: algum…, existe…, um… LPO: $x ligação de variável para algum objecto x… $x NaSala(x) $x (AlunoTC(x) Ù NaSala(x)) Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 WFF’s AlunoTC(x) Ù NaSala(x) expressão com variáveis não quantificadas WFF atómica: predicado n-ário + n variáveis ou constantes Formação de WFF’s 1. P é wff, ØP é wff 2. P1, … Pn são wff’s, (P1 Ù … Ù Pn) é wff 3. P1, … Pn são wff’s, (P1 Ú … Ú Pn) é wff 4. P e Q são wff’s, (P1 ® Pn) é wff 5. P e Q são wff’s, (P1 « Pn) é wff 6. P é wff e n é variável "n P é wff (ocorrências de n em P são ligadas) 7. P é wff e n é variável $n P é wff (ocorrências de n em P são ligadas) Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Frases (Cube(x) Ù Small(x)) wff com x variável livre $y LeftOf(x,y) wff com x variável livre e y variável ligada ((Cube(x) Ù Small(x)) ® $y LeftOf(x,y)) wff "x ((Cube(x) Ù Small(x)) ® $y LeftOf(x,y)) frase Frase: wff sem variáveis livres expressão com variáveis todas quantificadas $x (AlunoTC(x) Ù NaSala(x)) $x AlunoTC(x) Ù NaSala(x) Frase? ü Frase? û Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Satisfação de wff’s Nas conectivas: valor lógico de fórmula complexa é função dos valores lógicos das componentes Expressões quantificadas: componentes não são frases $x Cube(x) Cube(x) não é frase, não é verdadeiro nem falso Satisfação de wff’s Objecto satisfaz wff a satisfaz Cube(x) se a é cubo a satisfaz (Cube(x) Ù Small(x)) se a é cubo e a é pequeno a satisfaz (Cube(x) Ú ØSmall(x)) se a é cubo ou a não é pequeno Cristina Ribeiro

Verificar se um objecto satisfaz a wff S(x) TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Verificar se um objecto satisfaz a wff S(x) Objecto tem um nome: b S(b) é frase S(b) verdadeira : b satisfaz S(x) Objecto não tem nome Escolhe-se um nome não usado: n1 S(n1) é frase S(n1) é verdadeira: objecto satisfaz S(x) Cristina Ribeiro

Semântica dos quantificadores TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Semântica dos quantificadores Frases quantificadas: são verdadeiras ou falsas em relação a um domínio de discurso Domínio de discurso: colecção de coisas acerca das quais se fazem afirmações "x S(x) Verdadeiro se e só se S(x) é satisfeito por todos os objectos do domínio de discurso $x S(x) Verdadeiro se e só se S(x) é satisfeito por algum objecto do domínio de discurso Cristina Ribeiro

Quantificadores: regras do jogo Nas regras para as conectivas: escolher frases e subfrases Nas regras para os quantificadores: escolher objectos Forma Afirmação Quem joga Objectivo P Ú Q V nós F Tarski’s World P Ù Q V Tarski’s World F nós $x P(x) V nós "x P(x) V Tarski’s World Escolher um de P e Q verdadeiro Escolher um de P e Q falso Escolher objecto b que satisfaça a wff P(x) Escolher objecto b que não satisfaça a wff P(x)

As 4 formas aristotélicas TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 As 4 formas aristotélicas (1) Todos os P’s são Q’s (2) Alguns P’s são Q’s (3) Nenhum P é Q (4) Alguns P’s não são Q’s (1) "x (P(x) ® Q(x)) (2) $x (P(x) Ù Q(x)) porque não $x (P(x) ® Q(x)) ? (3) "x (P(x) ® ØQ(x)) serve Ø$x (P(x) Ù Q(x)) ? (4) $x (P(x) Ù ØQ(x)) Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Exemplo Linguagem: extensão da linguagem de 1ª ordem da aritmética predicados adicionais Par(x) e Primo(x) Exprimir as afirmações: Nenhum número par é primo Todo o número primo é ímpar ou igual a 2 Algum dos números primos é par Algum dos números primos não é par Quais são as frases verdadeiras ? Cristina Ribeiro

Tradução de frases nominais complexas TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Tradução de frases nominais complexas Um rapaz que vive em Cedofeita… Todas as mulheres portuguesas… Frases existenciais um…, alguma…, alguém… Um cão pequeno e feliz está em casa $x ((Cao(x) Ù Pequeno(x) Ù Feliz(x)) Ù EmCasa(x)) Frases universais todo…, cada…, as…, qualquer… Todo o cão pequeno que está em casa está feliz "x ((Cao(x) Ù Pequeno(x) Ù EmCasa(x)) ® Feliz(x))) Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Afirmações vacuosas "x (P(x) ® Q(x)) Mundos sem objectos que satisfaçam P(x): frase é verdadeira diz-se uma generalização vacuosamente verdadeira Exemplo: "x (Tet(x) ® Small(x)) verdadeira em mundos onde não haja tetraedros "x (Tet(x) ® Cube(x)) verdadeira em mundos onde não haja tetraedros (e só esses) só pode ser verdadeira de forma vacuosa: é inerentemente vacuosa Frases vacuosamente verdadeiras: raras em LN Todos os caloiros que frequentaram TC2 tiveram 18 verdadeira se nenhum caloiro frequentou a cadeira frases inerentemente vacuosas associada à intenção de “enganar” o ouvinte Cristina Ribeiro

Contradição? Os pares de frases são contraditórios? Quais as frases verdadeiras nos mundos apresentados? Alguns alunos de TC são do FCP Todos os alunos de TC são do FCP Alguns alunos de TC gostam de Lógica Todos os alunos de TC gostam de Lógica FCP alunos alunos SCP logicista

Decorrência conversacional TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Decorrência conversacional (1) Alguns P’s são Q’s (2) Todos os P’s são Q’s Intuição: são contraditórias num discurso Alguns alunos de TC2 vão passar Todos os alunos de TC2 vão passar Se fossem contraditórias: tradução de (1) seria $x (P(x) Ù Q(x)) Ù Ø"x (P(x) ® Q(x)) De novo a decorrência conversacional Ø"x (P(x) ® Q(x)) não é parte do significado afirmações subsequentes a (1) podem afirmar (2) sem serem contraditórias Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Símbolos de função Construir nomes complexos a partir de outros nomes pai(pai(Rui)) (1+ (1+1)) Variáveis: podem aparecer nos termos pai(pai(x)) (1+ (1+y)) Wff’s MaisAlto( pai(pai(x)), x) Par( y ´ y) Frases "y (Par(y) « Par( y ´ y)) Cristina Ribeiro

Negação de frases quantificadas TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Negação de frases quantificadas Leis de DeMorgan para quantificadores (1) Ø"x P(x) Û $x ØP(x) (2) Ø$x P(x) Û "x ØP(x) Formas aristotélicas: Todos os P’s são Q’s é negação de Alguns P’s não são Q’s Ø"x (P(x) ® Q(x)) Û Ø"x (Ø P(x) Ú Q(x)) Û $x Ø(Ø P(x) Ú Q(x)) Û $x (ØØ P(x) Ù ØQ(x)) Û $x (P(x) Ù ØQ(x)) Cristina Ribeiro

Substituição de variáveis ligadas TC2- Lógica Proposicional 25-03-2017 Substituição de variáveis ligadas Para toda a wff P(x) e variável y que não ocorre em P(x) (1) "x P(x) Û "y P(y) (2) $x P(x) Û $y P(y) Cristina Ribeiro

Tradução com quantificadores Só os bravos sabem como perdoar Nenhum homem é uma ilha Eu não me preocupo com ninguém, se ninguém se preocupar comigo Cada nação tem o governo que merece Não há certezas, à parte a lógica A miséria (i.e., pessoa miserável) gosta de companhia Nem tudo o que luz é ouro Havia um moleiro alegre que viveu no rio Côa Se prezas toda a gente não prezas ninguém Algo está podre no reino da Dinamarca

Respostas x (Preocupa(x, eu)  Preocupa(eu, x)) o que significa? x (Perdoa(x)  Bravo(x)) x (Homem(x)  Ilha(x)) x Preocupa(x, eu)  x Preocupa(eu, x)) x’s diferentes x (Preocupa(x, eu)  Preocupa(eu, x)) o que significa? x (Nação(x)  Merece(x, governo(x)) x y [(Nação(x)  Governo(y)  Tem(x, y))  Merece(x, y)] Certo(Lógica)  x (xLógica  Certo(x)) ou com  x (Miserável(x)  y (Companhia(y, x)  Gosta(x, y))) x (Luz(x)  Ouro(x)) x (Moleiro(x)  Alegre(x)  Rio(Côa)  Vive(x, Côa)) sem tempo x [(Pessoa(x)  y (Pessoa(y)  Preza(x,y)))  y (Pessoa(y)  Preza(x,y))] Reino(dinamarca)  x(Podre(x)  Local(x, dinamarca))