Sumário Multicadência em sistemas discretos Noção de multicadência Amostragem e reconstrução de sinais contínuos (revisão de PDS) Operações multicadência básicas (revisão de PDS) decimação por um inteiro M interpolação por um inteiro L alteração fraccionária da cadência Caracterização temporal de sistemas multicadência Interligação de blocos multicadência casos simples cascata de decimadores e interpoladores IDENTIDADES NOBRES Estudo de um caso real: o “oversampling” em leitores de CD reconstrução sem interpolação reconstrução com interpolação Antevisão do 5º trabalho de laboratório FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Noção de multicadência x(t) filtro anti- -sobreposição xc(t) A/D x(n) DSP y(n) D/A + S/H yr(t) filtro anti- -imagem compensado yc(t) s(t) • • • -2T -T T 2T t p(t) -T/2 T/2 t decimação interpolação H0(z)  N0  N0 Algoritmo 0 F0(z) H1(z)  N1  N1 Algoritmo 1 F1(z) HK(z)  NK  NK Algoritmo K FK(z) • x(n) y(n) várias cadências de dados FEUP, 1 de Abril de 2004 processamento multicadência ! © AJF/FJR

Amostragem e reconstrução de sinais contínuos Os sinais discretos resultam normalmente da amostragem uniforme de sinais contínuos de banda limitada amostragem ideal: A/D xc(t) x(n) s(t) x(n)= xa(nT) XC() XA() F • • • -2T -T T 2T t 1 • • • -4/T -2/T 2/T 4/T  FEUP, 1 de Abril de 2004 F © AJF/FJR

Condição na Amostragem MAX < /T  2FMAX < FS da análise anterior decorre ainda que: significando que após uma amostragem ideal, o espectro do sinal contínuo surge replicado em todos os múltiplos inteiros da frequência de amostragem, graficamente será: F  1 Xc() Max -Max Condição na Amostragem a condição a ser garantida pelo filtro anti-sobreposição espectral de modo a evitar sobreposição entre réplicas do espectro base é que: MAX < /T  2FMAX < FS  FS > 2FMAX ou seja, a largura de banda do sinal deve ser limitada a menos de metade da frequência de amostragem. • • • 2/T 4/T  Xa() -2/T /T 1/T -/T 2 4  X(ej) -2  - Max TMax frequência de Nyquist FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

F Reconstrução a partir das amostras admite-se nesta análise reconstrução ideal de ordem zero ! • • • -2 -1 1 2 n • • • -2T -T T 2T t • • • t -2T -T T 2T D/A + S/H y(n) yr(t) s(t) p(t) ya(t) * -T/2 T/2 t • • • -2T -T T 2T t FEUP, 1 de Abril de 2004 F © AJF/FJR

F Será então, na sequência da análise anterior: a representação espectral dos sinais considerados será: F • • • 2/T 4/T  -2/T /T 1/T -/T Y(ejT) Max P() T Yr() 1 ? que há a fazer para recuperar, sem distorção, a banda base do sinal original ? FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

F Filtro anti-imagem ideal e compensado Hc()   deve eliminar imagens espectrais (filtro anti-imagem) e efectuar uma compensação da distorção linear gerada pela reconstrução ideal de ordem zero, analiticamente será então: não havendo modificação de sinal, y(n)=x(n) e Y(ejT)=X(ejT), resultando: F    1 Hc() -/T /2 /T Yc() • • • 2/T 4/T  -2/T /T -/T Yr() Max  1 Max -Max filtro ideal filtro real FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Da análise anterior resulta o fundamento do Teorema da Amostragem: um sinal de banda limitada pode ser representado, de forma exacta, a partir das suas amostras, se a cadência de amostragem for superior a duas vezes a largura de banda do sinal. Conclusão: a compensação sen(x)/x pode ser inserida em qualquer fase de processamento, inclusivelmente (e talvez desejavelmente ! ) na parte de processamento digital do sinal, neste caso com todas as vantagens conhecidas (precisão, estabilidade, reconfiguração, …) ! Nesta situação, hc(t) é um filtro ideal passa-baixo, pelo que yc(t) resultará: • • • -2T -T T 2T t yc(t) FEUP, 1 de Abril de 2004 NOTA : Nesta análise ignoraram-se erros, desde logo os de quantificação, introduzidos pelos conversores A/D e D/A. © AJF/FJR

Operações multicadência básicas Decimação por M (sub-amostragem) consiste em preservar uma amostra em cada bloco de M amostras originais ou, equivalentemente, as réplicas espectrais, centradas em múltiplos de 2 (notar que após a sub-amostragem, aparecem M-1 réplicas espectrais entre 0 e 2M centradas em 2k com k entre 0 e M-1), expandem por um factor de M, podendo provocar sobreposição espectral (aliasing) se a banda de x(n) não for limitada, situação em que se perde informação ! Exemplo (M=2): x(n) • • • -2 -1 1 2 n  M x(n) d(n)=x(nM) X(z) D(z) FEUP, 1 de Abril de 2004 • • • -1 1 n d(n) © AJF/FJR

A análise no domínio da transformada em z será: para que o somatório possa ser generalizado para inteiros, considera-se um sinal s(n), que é um “pente” de impulsos unitários com período M e que permite escrever x1(n)=x(n)s(n) , tal como se exemplifica com M=2: sendo s(n) um sinal discreto periódico, a sua caracterização de Fourier será: e assim a expressão D(z) poderá escrever-se: • • • -2 -1 1 2 n x(n) s(n) x1(n) FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

? que reflexão merece a espantosa semelhança entre estas expressões ? Um pequeno “àparte” quanto à análise no domínio de Fourier: na análise da amostragem uniforme de sinais contínuos derivou-se: e agora na análise da decimação de sinais discretos acabamos de derivar: ? que reflexão merece a espantosa semelhança entre estas expressões ? FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

 M H(z) por exemplo, para M=2 será: precaução para evitar sobreposição espectral (aliasing) como decorre da representação gráfica anterior, só se evitará sobreposição espectral se MAX, a largura de banda do sinal representado, verificar a condição MAX < /M. Para garantir esta condição, usa-se um filtro digital decimador do tipo passa-baixo, antes da sub-amostragem. • • • 2 4  X(ej) -2  1 - Max • • • 2 4  D(ej) -2  1/2 - 2Max FEUP, 1 de Abril de 2004 H(e j) /M   M x(n) d(n) H(z) © AJF/FJR

Interpolação por L (sobre-amostragem) consiste em introduzir L-1 zeros entre cada duas amostras originais ou, equivalentemente, consiste em introduzir L-1 repetições espectrais comprimidas por um factor de L em cada segmento de extensão 2, sem qualquer risco de sobreposição e portanto de perda de informação. Exemplo (L=2):  L x(n) c(n) X(z) C(z) • • • -1 1 n x(n) -2 2 c(n) FEUP, 1 de Abril de 2004 x(n/L), se n é múltiplo inteiro de L 0, outros casos c(n)= © AJF/FJR

A análise no domínio da transformada em z será: quando concretizado na circunferência unitária, este resultado traduz-se em C(ej)=X(ejL), ou seja, há uma compressão do espectro tal como se exemplifica com L=4: • • •  2  X(ej) - 1 -/2 • • •  2  C(ej) - /2 1 -/2 /L FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

De modo a eliminar imagens espectrais redundantes (>/L) num período da representação espectral do sinal discreto, usa-se um filtro digital interpolador, passa-baixo e com ganho L, depois da sobre-amostragem: note-se que dado o par de Fourier: será:  L x(n) c(n) F(z) y(n) F(e j) /L  L L, |  |< /L 0, outros casos F(ej )= f(n)= sin(n /L) n /L F FEUP, 1 de Abril de 2004 NOTA: na gíria este filtro é conhecido por “L-band filter” e verifica a propriedade : f(n)=0, para n0 e múltiplo de L © AJF/FJR

O resultado anterior indica que o efeito do filtro interpolador é substituir os “zeros” resultantes da sobre-amostragem por valores interpolados com base em todos as restantes amostras não nulas, por exemplo se L=2 : • • • -1 1 n x(n) -2 2 c(n) y(n) FEUP, 1 de Abril de 2004 NOTA FINAL : os operadores de decimação e interpolação são lineares mas variantes no tempo ! © AJF/FJR

Alteração fraccionária da cadência quando se pretende alterar (aumentar ou diminuir) a cadência por um factor inteiro, basta usar um decimador ou interpolador apropriado, quando se pretende alterar a cadência por um factor fraccionário, deve-se usar uma combinação adequada de decimação com interpolação, de modo a minimizar a perda de largura de banda do sinal. Isto é conseguido efectuando em primeiro lugar a operação que não sacrifica largura de banda, isto é, a interpolação.  L x(n) F(z)  M y(n) H(z) F(z) H(z) FEUP, 1 de Abril de 2004 Este filtro combinado é o principal responsável pela QUALIDADE de todo o processo. Frequência de corte global: MIN(/L, /M). © AJF/FJR

Exemplo: ilustra-se a alteração da cadência em 3/2 que se aplica por exemplo quando se convertem os registos de áudio de difusão (fa=32kHz) em registos de áudio profissional (fa=48KHz). • • • 2 4  -2  - original fa=32kHz • • • 2 4  -2  - /3 após sobre- -amostragem fa=96kHz • • • 2 4  -2  - /3 após filtro interpolador fa=96kHz • • • 2 4  -2  - 2/3 após sub- -amostragem fa=48kHz FEUP, 1 de Abril de 2004 Questão 1 : qual seria o resultado se a ordem de operações fosse a inversa ? Questão 2 : se o espectro do sinal original tivesse conteúdo só até 2/3, qual seria a maior redução possível de cadência e qual seria a sequência correspondente de operações ? NOTA : como se verá mais à frente, há formas eficientes (decomposição polifásica de filtros) de efectuar estas operações, por exemplo, não calculando valores que serão depois ignorados na fase de sub-amostragem. © AJF/FJR

Caracterização temporal de sistemas multidébito A análise anterior pode ser tratada no domínio dos tempos interpolação por L : decimação por M : à saída do filtro decimador ter-se-á: pelo que após a sub-amostragem será: conjugando os dois casos, teremos que a alteração do débito por um factor de L/M caracteriza-se por: só há c()0 quando  é múltiplo de L FEUP, 1 de Abril de 2004 Note que este h(k) difere do das expressões anteriores ! NOTA : nesta disciplina não faremos uso desta notação. © AJF/FJR

Interligação de blocos multidébito Há situações de interligação e equivalências que devem ser claramente entendidas e dominadas (desde já …) casos simples válidos para interpolação e decimação :  ou  a  ou  a  ou  x1(n) x2(n) x1(n)  ou  x2(n) FEUP, 1 de Abril de 2004  ou  x1(n) x2(n)  ou  x1(n) x2(n) IMPORTANTE : isto é multiplicação, não é válido para convolução ! © AJF/FJR

Cascata de decimadores com interpoladores estando prevenida a ocorrência de sobreposição espectral (aliasing), a seguinte equivalência : é válida somente quando M e L são primos relativos, isto é, quando o seu maior divisor comum é a unidade. Prova:  M x(n) y1(n)  L y2(n) Exemplo para M=3 e L=2 : k: 0, 1, 2  2/3 kL: 0, 2, 4  2/3 1 2 4  se L e M são primos relativos FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Identidades Nobres (muito importantes na implementação de sistemas multidébito) sendo G(z) racional (i.e. uma fracção de polinómios em Z ou Z-1), então : NOTA : estas identidades não são válidas para G(z) irracional, como por exemplo: G(z)=Z -1/2.  M x(n) y1(n) G(z) G(zM) x(n) y1(n)  M  G(z) x(n) y2(n)  L  L x(n) y2(n) G(zL)  FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD Problema admitindo que as amostras áudio gravadas num CD são obtidas por amostragem ideal de um sinal contínuo xc(t) a uma cadência de amostragem de 44100 amostras por segundo, especificar o filtro analógico de reconstrução real e compensado (filtro analógico anti-imagem) que recupera o sinal áudio após reconstrução de ordem zero, em duas circunstâncias: sem interpolação discreta e com interpolação por 4. reconstrução sem interpolação: reconstrução com interpolação por 4 ( “4-times oversampling” ): x(n) D/A sT(t) pT(t) filtro real compensado hc(t) S/H xDA(t) xr(t) xc(t) FEUP, 1 de Abril de 2004 x(n) D/A sT/4(t) pT/4(t) filtro real compensado hc(t) S/H  L /L  L xi(n) xif(n) xDA(t) xr(t) xc(t) © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD reconstrução sem interpolação a sequência dos sinais é: e sendo: n x(n) 1 2 3 t xDA(t) T 2T 3T t xr(t) T 2T 3T t xc(t) T 2T 3T FEUP, 1 de Abril de 2004 F © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD reconstrução sem interpolação (cont. ) ter-se-á, sucessivamente: de modo a recuperar, sem distorção, a banda base de X(ejT), o filtro real deverá ter a seguinte especificação: banda base: 0    MAX = 220000 rad. : Hc() = [T/2]/sin(T/2) banda de transição: MAX <  < 2/T-MAX = 224100 rad. banda de corte:   2/T-MAX : Hc() = 0 (ou a melhor atenuação possível) as conclusões deste ‘slide’ são ilustradas nos dois ‘slides’ seguintes. F FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD • • •  2  -2 - X(ej) Max • • • /T 2/T  -2/T -/T XDA() Max PT() • • • /T 2/T  -2/T -/T Xr() Max FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD reconstrução sem interpolação (cont. ) conclui-se dos resultados e ilustrações anteriores que: o esforço de compensação do filtro analógico na banda base é assinalável, devendo o ganho variar entre 1.0 para DC e 1.44 para a frequência de 20000 Hz, este esforço de compensação pode, em alternativa ser assegurado por um filtro discreto, com precisão matemática mas consumindo recursos computacionais, a banda de transição do filtro anti-imagem é muito estreita (uma medida típica da exigência do filtro é dada pela relação entre banda de transição / banda de passagem, que neste caso é muito pequena: 0.205) o que indicia a necessidade de um filtro de ordem elevada para remover de forma efectiva as imagens espectrais, com custos elevados para a implementação do filtro e com prejuízo claro para outros parâmetros de qualidade como o seu atraso de grupo. • • • /T 2/T  -2/T -/T Xc() Max 1 1,44 Hc() FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD reconstrução com interpolação a sequência dos sinais é: n x(n) 1 2 3 n xi(n) 1 2 3 4 8 12 t xDA(t) T/2 T 2T 3T n xif(n) 1 2 3 4 8 12 t xr(t) T/2 T 2T 3T t xc(t) T 2T 3T FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD reconstrução com interpolação considerando à partida a seguinte definição e pares de Fourier : tem-se, sucessivamente: F F FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD reconstrução com interpolação e também : de modo a recuperar, sem distorção, a banda base de X(ejT), o filtro real deverá ter a seguinte especificação: banda base: 0    MAX = 220000 rad. : Hc() = [T/8]/sin(T/8) banda de transição: MAX <  < 8/T-MAX = 2156400 rad. banda de corte:   8/T-MAX : Hc() = 0 (ou a melhor atenuação possível) as conclusões deste ‘slide’ são ilustradas nos três ‘slides’ seguintes. F FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD • • •  2  -2 - X(ej) Max Xi(ej) • • •  2  - Max/4 -2 Xif(ej) • • •  2  - Max/4 -2 FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD XDA() • • • 4/T 8/T  -4/T Max -8/T PT/4() Xr() • • • 4/T 8/T  -4/T Max -8/T FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR

Caso Real: o “oversampling” nos leitores de CD reconstrução com interpolação (cont. ) conclui-se dos resultados e ilustrações anteriores que: o esforço de compensação do filtro analógico na banda base é modesto, devendo o ganho variar somente entre 1.0 para DC e 1.02 para a frequência de 20000 Hz, de tão modesto, este esforço de compensação pode inclusivamente ser ignorado, a banda de transição do filtro anti-imagem é muito confortável (a relação entre banda de transição / banda de passagem é neste caso 6.82) sendo 33.3 vezes a largura da banda de transição disponível no caso anterior, o que sugere que um filtro simples de 1ª ou 2ª ordem será suficiente para remover de forma efectiva as imagens espectrais. De modo a não penalizar o atraso de grupo é habitual em áudio usar um filtro de Bessel de 3ª ordem. Xc() • • • 4/T 8/T  -4/T Max -8/T Hc() FEUP, 1 de Abril de 2004 © AJF/FJR