Elsa Carvalho 49 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções Curried Vamos introduzir uma nova notação para definir funções de ordem superior. Suponhamos que temos uma função f que está definida como sendo do tipo int (int int), desta forma faz sentido escrever f 5 (uma aplicação de f a 5) que denota uma função do tipo int int. A aplicação desta função a 3 continua a fazer sentido e escreve- se (f 5) 3. Aqui temos um exemplo em que a função é representada por uma expressão composta em vez de um nome.

Elsa Carvalho 50 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções Curried Como esta notação irá ocorrer muito frequentemente quando trabalhamos com funções de ordem superior, vamos assumir associatividade à esquerda na aplicação de funções e eliminar os parêntesis. Assim f 5 3 é lido com (f 5) 3 e em geral E 1 E 2... E n é lido como (... (E 1 E 2 ) E 3...) E n )

Elsa Carvalho 51 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções Curried Com base nesta convenção introduz-se uma notação mais simples para definir funções como f - a notação curried. Assim nas definições fun soma m n = m + n fun vezes m n = m * n só a sintaxe das funções mudou, a semântica é a mesma. Por exemplo soma é uma função que tem como argumento um inteiro m e tem como resultado uma função, a qual tem como argumento um inteiro n e cujo resultado é m + n.

Elsa Carvalho 52 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções Curried Embora possa parecer que esta notação é apenas mais uma forma de escrever somas e multiplicações, na verdade temos mais do que isso. Podemos escrever expressões intermédias tais como vezes 3 que representa a função que multiplica os seus argumentos por 3. Esta expressão pode depois ser usada em qualquer contexto onde faça sentido. Por exemplo val triplo = vezes 3

Elsa Carvalho 53 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções Curried No exemplo anterior temos a definição de uma função (triplo: int int) que não faz uso de parâmetros. No entanto, da definição de triplo e vezes temos que para qualquer argumento inteiro x: triplo x = vezes 3 x = 3 * x

Elsa Carvalho 54 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções Curried Também podemos escrever expressões do tipo val funnyfun = dobro ° (soma 6) que descreve uma função do tipo int int e é a composição de uma função que adiciona 6 ao seu argumento e uma função que duplica o respectivo argumento. funnyfun 10 = dobro (soma 6 10) = dobro (6+10) = dobro 16 = 2*16 = 32

Elsa Carvalho 55 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções Curried De uma forma geral, para qualquer função da forma fun f (a 1, a 2,..., a n ) = b f: ( 1 x 2 x... x n ) a 1 : 1, a 2 : 2,..., a n : n, b: É possível definir a sua versão curried: fun curryf a 1, a 2,..., a n = b curryf: 1 ( 2 (... ( n )... )) Assume-se associatividade à direita para o operador. Assim podemos abreviar: curryf: n

Elsa Carvalho 56 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Listas Um conceito bastante importante em matemática é o de sequência ou lista de elementos. As listas também desempenham um papel preponderante na programação funcional, por isso vamos estudar as listas e operações sobre estas. A importância das listas advém do facto de estas providenciarem uma forma simples de agrupar elementos.

Elsa Carvalho 57 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Listas Podemos ver uma lista como um valor que consiste num número arbitrário e finito de elementos, todos do mesmo tipo. Se T é o tipo dos elementos da lista então escrevemos T list para representar o novo tipo. Assim, o novo operador sobre tipos - list - estende o nosso sistema de tipos, o que nos permite usar tipos tais como: int list(lista de inteiros) (bool x string) list(lista de pares booleanos-inteiros) (int list) list(lista de listas de inteiros) (int string) list(lista de funções de inteiros para strings) int (string list)(funções de inteiros para lista de strings) list(lista de elementos do tipo )

Elsa Carvalho 58 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Listas Iremos frequentemente escrever listas usando a seguinte notação: [5, 6, 3, 2, 8](um valor do tipo int list) [true, true, false](um valor do tipo bool list) Uma expressão da forma [not false, 3<5, 3 = 5] descreve um valor que é uma lista (bool list, neste caso) e este valor pode também ser representado pela sua forma simplificada [true, true, false]. Note-se que não são permitidas listas com elementos de tipos distintos, como por exemplo: [3, true, 5, 8]

Elsa Carvalho 59 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Listas A lista vazia (com zero elementos) é escrita simplesmente com [], que se pronuncia nil e temos que o seu tipo é: []: list uma vez que [] denota, polimorficamente, uma lista vazia de qualquer tipo de elementos. O extremo esquerdo da lista é visto como o início da lista e usa-se um operador infixo especial (denotado por :: e que se lê cons) para adicionar um novo elemento ao início da lista. Por exemplo: 5::[6, 3, 2, 8] = [5, 6, 3, 2, 8]

Elsa Carvalho 60 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Listas O tipo do operador :: é dado por x list list o que nos garante que apenas podemos adicionar um elemento à lista se este for do mesmo tipo que os elementos já existentes. Os construtores de listas, são pois o operador constante [] e o operador ::. De facto qualquer lista que tenhamos pode ser construída inteiramente através do uso de [] e de ::. Assim a notação anterior que usamos para listas é uma abreviatura da notação canónica (notação que recorre apenas às operações construtoras das listas), sendo que as seguintes listas são equivalentes: [1, 2, 3, 4] 1::2::3::4::[]

Elsa Carvalho 61 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Operações sobre listas Além dos construtores referidos atrás, podemos considerar algumas operações acessórias, que iremos introduzir através de ( list x list) list, operador infixo de concatenação de listas [1, 2, [4, 5] = [1, 2, 3, 4, 5] rev: list list, função que inverte listas rev [1, 2, 3, 4, 5] = [5, 4, 3, 2, 1] null: list bool, função que indica se uma lista é a lista vazia implode: string list string, função que concatena as strings que constam de uma lista de strings implode [isto, e, aquilo] = isto e aquilo

Elsa Carvalho 62 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Operações sobre listas link: ( list) list list, função que concatena as listas que constam de uma lista de listas link [[1, 2], [3, 4], [5, 6]] = [1, 2, 3, 4, 5, 6] length: list int, função que dá o comprimento de uma lista length [2, 4, 6, 9] = 4 hd: list, função que dá o elemento à cabeça da lista hd [1, 5, 8, 3] = 1 tl: list list, função que dá a cauda da lista tl [1, 5, 8, 3] = [5, 8, 3] member: = list = bool, função que testa se um dado elemento pertençe à lista member [3, 6, 2, 5, 2, 7] 5 = true

Elsa Carvalho 63 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Operações sobre listas upto: (int x int) int list, operador infixo que constrói a lista dos inteiros entre dois dados valores 1 upto 5 = [1, 2, 3, 4, 5] copy: int list, função que constrói uma lista com n cópias de um dado valor copy 6 10 = [10, 10, 10, 10, 10, 10] sumlist: int list int, função que retorna a soma dos inteiros da lista sumlist [1, 6, 2, 7, 9] = = 25 prodlist: int list int, funçãoque retorna o produto dos inteiros da lista prodlist [2, 6, 1, 4] = 2 * 6 * 1 * 4 = 48

Elsa Carvalho 64 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Pattern matching com listas Uma vez que todas as listas são ou [] ou da forma a::x, podemos definir funções sobre listas, descrevendo qual o seu comportamento em cada um dos casos do argumento. Muitas funções podem ser introduzidas utilizando apenas dois casos: aquele em que se trata da lista vazia (utilizamos como parâmetro o construtor []) e o outro em que temos uma lista com um ou mais elementos (utilizamos como parâmetro o construtor :: e variáveis para representarem a cabeça e a cauda da lista: a::x). Podemos também ter funções sobre listas que necessitem de ser definidas utilizando mais do que dois casos.

Elsa Carvalho 65 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Pattern matching com listas Por exemplo, a função alternate: list list retorna a lista composta por elemento não, elemento sim da lista recebida como argumento. A sua definição inclui casos separados para a lista vazia, para a lista com um único elemento e para listas com dois ou mais elementos: fun alternate(a::b::x) = b :: alternate x | alternate [a] = [] | alternate [] = [] o primeiro caso irá emparelhar com listas que tenham 2 ou mais elementos, sendo que a será ligado ao 1º elemento, b ao 2º e x à cauda da lista. O segundo caso apenas irá emparelhar com listas que tenham um único elemento e o terceiro com listas vazias.

Elsa Carvalho 66 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Pattern matching com listas Temos assim a definição das funções acima apresentadas, utilizando o pattern matching: fun rev [] = [] fun implode [] = | rev (a::x) = (rev [a] | implode (a::x) = a ^ implode x fun link [] = [] fun length [] = 0 | link (a::x) = link x| length (a::x) = 1 + length x fun hd [] = error hd de [] fun tl [] = error tl de [] | hd (a::x) = a| tl (a::x) = x fun member a [] = false | member a (b::x) = if a=b then true else member a x

Elsa Carvalho 67 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Pattern matching com listas fun null (a::x) = false | null [] = true fun sumlist (a::x) = a + sumlist x | sumlist [] = 0 fun prodlist (a::x) = a * prodlist x | prodlist [] = 1 fun y = y) | y = y

Elsa Carvalho 68 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções de ordem superior com listas As funções de ordem superior que são apresentadas de seguida têm um maior grau de generalidade e podem servir de base a uma redefinição mais simples de algumas operações já apresentadas. Além disso, permitem encapsular o processamento recursivo das listas. A função map aplica uma função f a todos os elementos de uma lista e retorna a lista das imagens por f desses elementos. A função filter aplica um predicado p aos elementos de uma lista e retorna a lista dos elementos que satisfazem p. A função exists aplica um predicado p aos elementos de uma lista e retorna true se existe algum elemento que satisfaça p e false caso contrário.

Elsa Carvalho 69 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções de ordem superior com listas A função all aplica um predicado p aos elementos de uma lista e retorna true se todos os elementos satisfazem p e false caso contrário. A função zip aplica uma função binária e curried f a duas listas, elemento a elemento, e retorna como resultado a lista das imagens por f desses elementos. As funções accumulate e reduce: accumulate f a [a 1, a 2, a 3,..., a n ] = f (... f (f (f a a 1 ) a 2 ) a 3...) a n reduce f a [a 1, a 2, a 3,..., a n ] = f a 1 (f a 2 (f a 3 (... (f a n a)...))) Assim, accumulate calcula em primeiro lugar f a a 1 e depois este valor e a 2 entram como argumento para a invocação seguinte, etc. A função reduce aplica f aos seus argumentos pela ordem inversa.

Elsa Carvalho 70 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções de ordem superior com listas fun map f [] = [] ( ) list list | map f (a::x) = f a :: map f x val doublelist = map (times 2) fun filter p [] = [] ( bool) list list | filter p (a::x) = if p a then a :: filter p x val onlyeven = filter even else filter p x fun exists p [] = false | exists p (a::x) = if p a then true ( bool) list bool else exists p x val anyeven = exists even fun all p [] = true ( bool) list bool | all p (a::x) = if p a then all p x val alleven = all even else false

Elsa Carvalho 71 Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Funções de ordem superior com listas fun zip f [] [] = [] ( ) list list list | zip f (a::x) (b::y)= f a b :: zip f x y | zip f x y error listas com tamanhos diferentes fun accumulate f a [] = a ( ) list | accumulate f a (b::x) = accumulate f (f a b) x fun reduce f a [] = a ( ) list | reduce f a (b::x) = f b (reduce f a x)