Conjuntos Livremente Gerados Luiz Carlos d´Oleron lcadb@cin.ufpe.br http://www.cin.ufpe.br/~lcadb
Assuntos base – O que você já deve saber... Conjuntos indutivos Fecho Indutivo Aridade de função
Definição: Conjunto Livremente Gerado Sejam: A → um conjunto X → um sub-conjunto próprio de A F → conjunto de funções que podem ser definidas num domínio A, com suas respectivas aridades X+ →Fecho indutivo de X sob F
Definição: Conjunto Livremente Gerado (cont) X+ é livremente gerado se: Todas f de F são injetoras: Para toda f E F, com aridade n, se α e β são n-uplas de elementos de X+,se α ≠ β então f(α) ≠ f(β)
Definição: Conjunto Livremente Gerado (cont) Todas f de F tem imagens disjuntas: Se f ≠ g, com f E F e g E F, então f(X+) ≠ g (X+) Obs.: Não importa se f e g possuem aridades diferentes
Definição: Conjunto Livremente Gerado (cont) Nenhum elemento do conjunto base X pode ser gerado por qualquer f E F. Estas 3 condições são suficientes para definir um conjunto livremente gerado. Vamos para mais um exemplinho.
Exemplinho: cadeias de bits Vamos considerar o conjunto ‘Bits’ das cadeias de bits definido da seguinte forma: 1. ε Ε Bits; (“ε” é a cadeia vazia) 2. se ω Ε Bits então 0ω0 Ε Bits; 3. se ω Ε Bits então 1ω1 Ε Bits; 4. nada mais está em Bits. Bits é livremente gerado?
Solução F = {f0,f1}, onde F0(x) = ‘0’ + x + ‘0’ F1(x) = ‘1’ + x + ‘1’ ‘+’ é a operação de concatenação de caracteres Base X = {ε} Bits é o fecho indutivo de X sob F
Solução (continuação) f0 e f1 são ambas injetoras: Dado ω1 ≠ ω2, f0(ω1) ≠ f0(ω2) e f1(ω1) ≠ f1(ω2) As imagens de f0 e f1 são conjuntos dijuntos: Obviamente, todos o elementos formados por f0 começam e terminam com ‘0’ e os de f1 começam e terminam com ‘1’
Solução (continuação) A base X não pode ser formada pelas funções de F: A base contém apenas uma cadeia, ε, que é a cadeia vazia e portanto, tem tamanho zero. Todas as cadeias formadas por f0 ou f1 tem tamanho no mínimo 2. Assim, é impossível representar a base através de F. Logo, Bits é livremente gerado.
Fim