Funções exponenciais Prof. Jorge

As aparências enganam Mateus e Hugo são colegas de turma. Outro dia, Hugo, o melhor aluno da sala em Matemática, fez a Mateus uma proposta estranha: ou melhor, as potências Durante 10 dias, a partir de hoje, vou lhe dar 10000 reais por dia. Em compensação, você me dará 10 reais hoje e, a cada dia até o último dia, o triplo do dia anterior. Prof. Jorge

A operação potenciação Se a, b e x são números reais, define-se a operação potenciação, expressa pela igualdade: a é a base ax = b x é o expoente b é a potência De acordo com o tipo de expoente, a potenciação apresenta restrições quanto ao valor da base. Prof. Jorge

A operação potenciação Potência de expoente natural Se a é real e n é natural, definimos: a0 = 1 (a ≠ 0) a1 = a an = a.a.a. ... .a (n ≥ 2) n fatores Prof. Jorge

Exemplos 60 = 1 (√5)1 = √5 (–2)5 = (–2).(–2).(–2).(–2).(–2) = –32 Prof. Jorge

A operação potenciação Potência de expoente inteiro negativo Se a e n são números reais, com a ≠ 0, define-se: 1 n 1 a–n = = a an Prof. Jorge

Exemplos 1 1 5–1 = = 51 5 –8 -1 –3 1 –3 = = . 3 8 8 Prof. Jorge

A operação potenciação Potência de expoente inteiro fracionário racional Se a é real, m e n são números inteiros, com n > 0, define-se: a = m n √am Prof. Jorge

Exemplos √4 √25 √16 41/2 = = 2 251/2 = = 5 161/3 = 3 = 2√2 3 . 41/2 = √4 = 2 251/2 = √25 = 5 161/3 = √16 3 = 2√2 3 . Prof. Jorge

Propriedades da potenciação Prof. Jorge

Propriedades operatórias ax . ay = ax+y (a.b)x = ax.bx ax = ax–y a x ax ay = b bx (ax)y = ax.y Prof. Jorge

Exemplos 40,3. 40,2 = 40,3+0,2 = 40,5 = 41/2 = √4 = 2 32x (3x)2 40,3. 40,2 = 40,3+0,2 = 40,5 = 41/2 = √4 = 2 32x (3x)2 32x – 1 = = 31 3 33.32 33.32 . = = 33 + 2 – 1/2 = 39/2 √3 31/2 x x 2x.32x 2x.(32)x 2x.9x 2.9 18 . = = = = 5x 5x 5x 5 5 Prof. Jorge

Crescimento e decrescimento exponencial Prof. Jorge

Crescimento exponencial Vamos imaginar o seguinte experimento. A temperatura de um líquido, inicialmente a 10 ºC, aumenta em 30% a cada minuto. Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 1,3. (100% + 30% = 1 + 0,3 = 1,3). Prof. Jorge

Crescimento exponencial Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento. Temperatura inicial: T0 = 10 1 minuto: T1 = 10.(1,3)1 = 10.(1,3) = 13 2 minutos: T2 = 10.(1,3)2 = 10.(1,69) = 16,9 3 minutos: T3 = 10.(1,3)3 = 10.(2,2) = 22 4 minutos: T4 = 10.(1,3)4 = 10.(2,86) = 28,6 6 minutos: T6 = 10.(1,3)6 = 10.(4,83) = 48,3 t minutos: T = 10.(1,3)t Prof. Jorge

Crescimento exponencial Veja o gráfico de T em função do tempo t. T(oC) t(min) T(oC) 10 1 13 2 16,9 3 22 4 28,6 6 48,3 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 t(min) Prof. Jorge

Decrescimento exponencial Vamos supor agora a seguinte situação. A temperatura de um líquido, inicialmente a 70 ºC, diminui em 20% a cada minuto. Isso significa que, a cada minuto, sua temperatura T é multiplicada por 0,8. (100% – 20% = 1 – 0,2 = 0,8). Prof. Jorge

Decrescimento exponencial Vamos obter as temperaturas em oC, em alguns instantes do experimento. Temperatura inicial: T0 = 70 1 minuto: T1 = 70.(0,8)1 = 70.(0,8) = 56 2 minutos: T2 = 70.(0,8)2 = 70.(0,64) = 44,8 3 minutos: T3 = 70.(0,8)3 = 70.(0,512) = 35,8 4 minutos: T4 = 70.(0,8)4 = 70.(0,41) = 28,7 6 minutos: T6 = 70.(0,8)6 = 70.(0,262) = 18,3 t minutos: T = 70.(0,8)t Prof. Jorge

Decrescimento exponencial Veja o gráfico de T em função do tempo t. T(oC) t(min) T(oC) 70 1 56 2 44,8 3 35,8 4 28,7 6 18,3 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 t(min) Prof. Jorge

Funções exponenciais Funções como a que acabamos de analisar são chamadas de funções exponenciais. Nos dois casos a variável t é expoente de uma potência de base constante. T = 10.(1,3)t base (1,3) ⇒ Crescente. T = 70.(0,8)t base (0,8) ⇒ Decrescente. Prof. Jorge

Funções exponenciais elementares Prof. Jorge

Funções exponenciais De modo geral, se a é uma constante real (a > 0 e a ≠ 1), chamamos de função exponencial elementar de base a a função definida por: y = f(x) = ax Prof. Jorge

Exemplos y = 5x → base 5 y = (0,3)x → base 0,3 x 1 y = 2–x ou y = Prof. Jorge

Exemplos Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = 2x. y x y = 2x 4 –2 ¼ –1 ½ 1 2 1 2 1 2 4 –2 –1 1 2 x D = R e Im = R+* → função é crescente Prof. Jorge

Exemplos Traçar o gráfico da função exponencial elementar y = f(x) = (1/2)x. y x y = (1/2)x 4 –2 4 –1 2 2 1 1 ½ 1 2 ¼ –2 –1 1 2 x D = R e Im = R+* → função é decrescente Prof. Jorge

Funções exponenciais - Resumo Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função exponencial elementar y = ax (a > 0 e a ≠ 1): O domínio é os Reais; O conjunto imagem é os Reais positivos; Ela é crescente em todo o seu domínio para a > 1. Ela é decrescente em todo o seu domínio para 0 < a < 1. Prof. Jorge

Propriedades da função exponencial elementar Prof. Jorge

Propriedades operatórias A função exponencial y = ax (a > 0 e a ≠ 1), é injetora. Isso significa que potências de mesma base só são iguais se os expoentes forem iguais. x y –1 1 2 4 –2 y = 2x am = an ⇔ m = n Prof. Jorge

Exemplos 5x = 53 ⇔ x = 3 3x – 1 = 32 ⇔ x – 1 = 2 ⇒ x = 3 Prof. Jorge

Propriedades operatórias Os gráficos de todas as função exponenciais têm apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa que potências de bases diferentes só são iguais apenas se o expoente comum é 0. y y = 2–x y = 4x y = 2x am = bm ⇔ m = 0 1 x Prof. Jorge

Exemplos 3x = 7x ⇔ x = 0 2x + 1 = 5x + 1 ⇔ x + 1 = 0 ⇒ x = –1 Prof. Jorge

Propriedades operatórias A função exponencial y = ax é crescente em todo o seu domínio, se a > 1. y y = 2x Quanto maior o expoente x maior é a potência ax. 4 2 am > an ⇔ m > n 1 Mesmo sentido –2 –1 1 2 x Prof. Jorge

Propriedades operatórias A função exponencial y = ax é decrescente em todo o seu domínio, se 0 < a < 1. y = 2–x y Quanto maior o expoente x menor é a potência ax. 4 2 am > an ⇔ m < n 1 Sentidos contrários –2 –1 1 2 x Prof. Jorge

Exemplos 32 < 35 ⇔ 2 < 5 (0,7)3 < (0,7)–2 ⇔ 3 > –2 ⇔ 2 < 5 base > 1, sinal mantido (0,7)3 < (0,7)–2 ⇔ 3 > –2 0 < a < 1, sinal invertido 2x > 2–3 ⇒ x > –3 a > 1, sinal mantido Prof. Jorge

Equações e inequções exponenciais Prof. Jorge

Equacões exponenciais Chama-se equação exponencial toda equação cuja incognita aparece no expoente. A resolução de uma equação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. am = an ⇔ m = n P1 am = bm ⇔ m = 0 P2 Prof. Jorge

Exemplos Resolver as equações exponenciais. a) 3x = 27 3x = 27 b) 52x – 1 = 125 52x – 1 = 125 ⇒ 52x – 1 = 53 ⇒ 2x – 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 Prof. Jorge

Exemplos Resolver as equações exponenciais. 22x.2x+7 c) = 1 23 – x ⇒ 22x + x + 7 – (3 – x) = 20 23 – x ⇒ 24x + 4 = 20 ⇒ 4x + 4 = 0 ⇒ 4x = –4 ⇒ x = –1 Prof. Jorge

Exemplos Resolver as equações exponenciais. d) ⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3 9 d) = 3 4 x + 1 2 x + 1 –2 2 3 2 2 = ⇒ = 3 2 3 3 ⇒ x + 1 = –2 ⇒ x = –3 Prof. Jorge

Exemplos Resolver as equações exponenciais. e) 2x + 1 – 2x + 3.2x – 2 = 14 Vamos isolar em toda equação a potência 2x. 2x.21 – 2x + 3.2x.2–2 = 14 Fazendo 2x = y. y 2y – y + 3. = 14 ⇒ 8y – 4y + 3y = 56 4 ⇒ 7y = 56 ⇒ y = 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3 Prof. Jorge

Exemplos Resolver as equações exponenciais. f) 9x + 3x + 1 = 4 Vamos isolar em toda equação a potência 3x. (32)x + 3x.3 = 4 ⇒ (3x)2 + 3x.3 = 4 Fazendo 3x = y. ⇒ y2 + 3y – 4 = 0 ⇒ y’ = –4 e y” = 1 ⇒ 3x = –4 (impossível) ⇒ 3x = 1 ⇒ 3x = 30 ⇒ x = 0 Prof. Jorge

Inequacões exponenciais Chama-se inequação exponencial toda inequação cuja incognita aparece no expoente. A resolução de uma inequação exponencial se baseia nas propriedades abaixo. am > an ⇔ m > n P3 ⇒ para a > 1 Mesmo sentido am > an ⇔ m < n P4 ⇒ para 0 < a < 1 Sentidos contrários Prof. Jorge

Exemplos Resolver as inequações exponenciais. a) 53x – 1 > 25x + 2 base > 1, mantém-se o sentido ⇒ 3x – 2x > 4 – 1 ⇒ x > 3 Prof. Jorge

Exemplos Resolver as inequações exponenciais. b) (0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 2 (0,9)2x – 1 ≤ (0,9)x + 3 ⇒ 2x – 1 ≥ x + 3 base < 1, inverte-se o sentido ⇒ 2x – x ≥ 3 + 1 ⇒ x ≥ 4 Prof. Jorge

Exemplos Resolver as inequações exponenciais. c) 9x – 3x + 1 – 3x + 3 ≤ 0 Vamos isolar em toda equação a potência 3x. (32)x – 3x.31 – 3x + 3 ≤ 0 Fazendo 3x = y. ⇒ (3x)2 – 3x.3 – 3x + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 3y – y + 3 ≤ 0 ⇒ y2 – 4y + 3 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ y ≤ 3 ⇒ 1 ≤ 3x ≤ 3 ⇒ 30 ≤ 3x ≤ 31 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1 Prof. Jorge

Calculando juros compostos ou capitalizados Prof. Jorge

Exemplos Cláudia tomou um empréstimo de R$ 1 000,00, pagando juros a uma taxa de 5% a.m. Mas no final de cada mês sua dívida é acrescida dos juros relativos o mês. Qual será o montante M da dívida após t meses? 100% + 5% = 105% (1 + i) = 1,05 1º mês: M1 = 1 000.1,05 2º mês: M2 = M1.1,05 = 1 000.(1,05)2 3º mês: M3 = M2.1,05 = 1 000.(1,05)3 4º mês: M4 = M3.1,05 = 1 000.(1,05)4 ............................................................... t meses: M = 1 000.(1,05)t Prof. Jorge

Calculando juros compostos Para um capital inicial C e uma taxa mensal i, o fator de aumento é (1 + i). O montante M, após t meses, no sistema de juros compostos é calculado pela fórmula: M = C.(1 + i)t Nessa fórmula, é importante que a taxa i e o tempo t estejam expressos na mesma unidade de tempo. Prof. Jorge

Exemplos Um agiota emprestou R$ 6 000,00 a Paulo, a uma taxa fixa de 5% ao mês. Qual foi o rendimento do agiota, após 4 meses? C = 6 000 Dados: i = 5 % a.m = 0,05 t = 4 meses M = C.(1 + i)t = 6 000 . (1 + 0,05)4 M = 6 000 . 1,2155 ⇒ M = 7 293 M = C + j ⇒ 7 293 = 6 000 + j ⇒ j = 1 293,00 Prof. Jorge

Exemplos Marcos tomou um empréstimo de R$ 2 000,00 em um banco, a juros compostos, com taxa de 2% ao mês. De quanto tempo foi o empréstimo, se ele pagou R$ 438,00 de juros? 1,026 ≈ 1,126 1,027 ≈ 1,148 1,028 ≈ 1,171 1,029 ≈ 1,195 1,0210 ≈ 1,219 C = 2 000 Dados: i = 2 % a.m = 0,02 M = 2 000 + 438 = 2 438 M = C.(1 + i)t ⇒ 2 438 = 2000 . (1,02)t ⇒ 1,02t = 1,219 ⇒ t = 10 ⇒ t = 10 meses Prof. Jorge

Crescimento e decrescimento exponencial Prof. Jorge

Crescimento e decrescimento exponencial Há muitas situações práticas em que uma variável cresce ou decresce, segundo taxas percentuais fixas, na unidade de tempo. Nesses casos, usamos raciocínio semelhante ao dos juros compostos. Suponhamos que uma variável V, de valor inicial V0, seja função do tempo t. Se V cresce segundo uma taxa fixa i, temos: V = V0 . (1 + i)t Se V decresce segundo uma taxa fixa i, temos: V = V0 . (1 – i)t Prof. Jorge

Exemplos O valor atual de um lote é de R$ 30 000,00. Estima-se que, nos próximos anos, ele valorize 8% ao ano. Quanto ele valerá daqui a 6 anos? V = V0 .(1 + i)t = 30 000 . (1,08)6 ⇒ V = 30 000 . 1,59 ⇒ V = 47 700 ⇒ O lote valerá R$ 47 700,00 Prof. Jorge

Exemplos O valor atual de uma máquina é de R$ 2 500,00, e ela se desvaloriza segundo uma taxa anual fixa. Obter essa taxa, sabendo-se que, daqui a 2 anos, a máquina valerá R$ 2 0 25,00. V = V0 .(1 – i)t = 2 500 .(1 – i)t Para t = 2, V = 2 0 25. ⇒ 2 025 = 2 500 . (1 – i)2 ⇒ (1 – i)2 = 0,81 ⇒ (1 – i)2 = √0,81 ⇒ 1 – i = 0,9 ⇒ i = 0,1 ⇒ i = 10 % a.a. Prof. Jorge

Veja os cálculos Prof. Jorge 1º dia (hoje): V1 = 10 2º dia: = 10.(3) = 30 3º dia: V3 = 10.(3)2 = 10.(9) = 90 4º dia: V4 = 10.(3)3 = 10.(27) = 270 5º dia: V5 = 10.(3)4 = 10.(81) = 810 6º dia: V6 = 10.(3)5 = 10.(243) = 2 430 7º dia: V7 = 10.(3)6 = 10.(729) = 7 290 8º dia: V8 = 10.(3)7 = 10.(2 187) = 21 870 9º dia: V9 = 10.(3)8 = 10.(6 561) = 65 610 10º dia: V10 = 10.(3)9 = 10.(19 683) = 196 830 Total ................................................... = 295 230 Prof. Jorge