Sistemas lineares

Sistemas lineares A tabela abaixo mostra a classificação dos quatro candidatos a um emprego: Paulo, Carla, Sara e Ana. Haviam apenas três vagas. Port. Mat. Inf. Pontos Resultado Carla 8 6 3 47 Classif. Paulo 7 5 43 Sara 4 9 41 Ana 40 Desclassif. (17) (18) (21) (21)

Sistemas lineares Ana utilizou seus conhecimentos de matemática e imaginou os seguintes pesos. Português: x; Matemática: y; Informática: z 8x + 6y + 3z = 47 → Carlos 6x + 7y + 5z = 43 → Paulo 4x + 8y + 9z = 41 → Sara 4x + 9y + 8z = 40 → Ana

Equações Lineares 4x + 9y + 8z = 40 As equações que Ana obteve têm muitas coisas em comum. Vamos analisar por exemplo a equação 4x + 9y + 8z = 40 É uma equação de 1º grau. – Os três termos do 1º membro são de 1º grau. – O termo do segundo membro é de grau zero (independe de qualquer variável). Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.

Equações lineares a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo. a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas; a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes; b é o termo independente;

Equações lineares Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos. x, y e z são as incógnitas; 4, 9 e 8 são os coeficientes; 40 é o termo independente;

Equações lineares Para refletir. analise o grau das equações abaixo. Nenhuma das quatro é linear. Por quê? x2 + 3y = 5; xy – 3y + z = 12; √x + y + z = 1; 1 2x – = 0 y

Soluções de uma equação linear Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40 x = 1 y = 4 z = 0 4.1 + 9.4 + 8.0 = 40 (Verdadeira) x = 3 y = 2 z = 1 4.3 + 9.2 + 8.1 ≠ 40 (falsa)

Soluções de uma equação linear Solução de uma equação linear é toda seqüência de valores reais das incógnitas que tornam uma igualdade verdadeira.

Exemplo Calcular a constante real a, sabendo que a sequência (1, –3, 4) é solução da equação linear 2x + ay – z = 4. Substituindo x = 1; y = –3 e z = 4 na equação, temos 2.1 + a.(–3) – 4 = 4 → 2 –3a – 4 = 4 → –3a = 6 → a = –2

Número de soluções de uma equação linear 1ª. Equação: 2x = 8 2x = 8 → x = 4 Portanto a única solução da equação 2x = 8 é x = 4.

Número de soluções de uma equação linear 2ª. Equação: 0x = 3 Não existe número real que, multiplicado por 0, resulte 3. Logo, a equação não têm solução.

Número de soluções de uma equação linear 3ª. Equação: x + 3y = 8 Nessa equação o valor de uma incógnita depende do valor da outra (x = 8 – 3y). y = 3 → x = 8 – 3.3 → x = –1 → (–1, 3) y = 2 → x = 8 – 3.2 → x = 2 → (2, 2) y = 1 → x = 8 – 3.1 → x = 5 → (5, 1) Essa equação tem infinitas soluções.

Equação homogênea Uma equação linear em que o termo independente é 0 (zero) é chamada equação linear homogênea? 2x – y = 0 → é uma equação linear homogênea x + y – 5 = 0 → Não é equação linear homogênea → x + y = 5 → Toda equação linear homogênea admite uma solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas são iguais a 0.

Equação nula Uma equação linear que tem todos os coeficientes iguais a 0 (zero) é chamada equação linear nula? 0x + 0y + 0z = 0 → é uma equação linear nula → Toda sequência de n números reais é uma solução de uma equação nula, com n incógnitas.

Equação impossível ou incompatível Chama-se linear impossível ou incompatível aquela em que todos os coeficientes são iguais a 0. o termo independente é diferente de 0. 0x + 0y = 3 → é uma equação linear impossível

Equação com variáveis naturais Em certos problemas, aparecem equações lineares com restrições ao universo das variáveis. Nesses casos, o número de soluções da equação pode ser finito, mesmo que haja duas ou mais incógnitas.

Exemplo Tenho uma nota de 50 reais, e quero trocá-la por notas de 10 reais e 5 reais. Preciso de pelo menos uma de cada tipo. De quantas formas posso receber o troco? x, número de notas de 10 reais e y, número de notas de 5 reais. 10x + 5y = 50 → 2x + y = 10 x = 1 → y = 8 x = 3 → y = 4 x = 2 → y = 6 x = 4 → y = 2

Sistemas lineares

Sistemas lineares Um conjunto formado apenas por equações lineares é chamado de sistema linear. x + 2y = 3 Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y). x – y = 5 2x – y +z – t = 0 Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t). x – 2y + t = 0 3x + y – 2z = 0

Matriz dos coeficientes Matriz dos termos independentes Sistemas lineares Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial. 2x + y = 3 x – 2y = 0 5x + y = 0 2 1 –2 5 3 1 x Y A = X = B = Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas Matriz dos termos independentes

Sistemas lineares Veja a representação matricial do sistema abaixo. 2x + y = 3 x – 2y = 0 5x + y = 0 2 1 –2 5 3 1 x Y A.X = B → . =

Soluções de um sistema linear Se uma seqüência é solução de todas as equações de um sistema, dizemos que ela é uma solução do sistema.

Exemplos No sistema linear x + y = 5 2x – y = 1 2 + 3 = 5 (V) (2, 3) é solução → 2.2 – 3 = 1 (V) 3 + 2 = 5 (V) (3, 2) não é solução → 2.2 – 3 = 1 (F)

Exemplos Calcular a e b, para que a sequência (3, 1) seja solução do sistema linear x + ay = 1 ax – y = b + 3 Vamos fazer x = 3 e y = 1 nas duas equações. 1ª equação: 3 + a.1 = 1 → a = –2 2ª equação: –2.3 – 1 = b + 3 → –7 = b + 3 → b = –10

Soluções de um sistema linear homogêneo Num sistema linear homogêneo, todas as equações são homogêneas. Por isso admite a solução trivial, a sequência (0, 0, 0, ..., 0).

Exemplos O sistema linear abaixo é homogêneo. x – 2y = 0 –3x + 6y = 0 0 – 2.0 = 0 (V) (0, 0) é solução → –3.0 + 6.0 = 0 (V) (2, 1) também é solução → 2 – 2.1 = 0 (V) –3.2 + 6.1 = 0 (V)

Número de soluções de um sistema linear

Número de soluções de um sistema linear x – 3y = 4 –2x + 6y = 3 Na 1.ª equação, x = 4 + 3y. Subst. na 2.ª equação, –2(4 + 3y ) + 6y = 3 → –8 – 6y + 6y = 3 → 0y = 11 Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado sistema impossível (SI).

Número de soluções de um sistema linear Veja a análise geométrica do sistema x y O x – 3y = 4 –2x + 6y = 3 r2 r1

Número de soluções de um sistema linear 3x – y = 5 x + y = 7 Na 1.ª equação, y = 3x – 5. Subst. na 2.ª equação, → 4x = 12 → x = 3 x + 3x – 5 = 7 → y = 3.3 – 5 → y = 4 Solução (3, 4) Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é chamado sistema possível e determinado (SPD).

Número de soluções de um sistema linear Veja a análise geométrica do sistema x y O 3x – y = 5 r1 x + y = 7 4 3 r2

Número de soluções de um sistema linear x – 2y = –5 –2x + 4y = 10 Na 1.ª equação, x = 2y – 5. Subst. na 2.ª equação, → –4y + 10 + 4y = 10 –2(2y – 5) + 4y = 10 → 0y = 0 Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é chamado sistema possível e indeterminado (SPI).

Número de soluções de um sistema linear Veja a análise geométrica do sistema x – 2y = –5 x y O –2x + 4y = 10 r1≡ r2

Número de soluções de um sistema linear Sistema linear (S) Tem solução? Não Sim Impossível (SI) Possível (SP) Quantas? Apenas uma Infinitas Determinado (SPD) Indeterminado (SPI)

Sistemas escalonados

Sistemas Escalonados Observe os sistemas lineares abaixo. 2x – 3y + z – 5t = 3 2x + 5y = 4 0x + 5y – z + 3t = 1 0x – 3y = 6 0x + 0y + 0z – t = 2 Sistemas que aparecem dessa forma são chamados de sistemas escalonados

Exemplos Os sistemas a seguir são escalonados. Analisar se eles são possíveis ou impossíveis. x – 2y + z = 3 a) 0x + y – z = 2 → Sistema impossível (SI) 0x + 0y + 0z = 3 2x – y + z = 3 a) 0x + y – 3z = 1 → Sistema possível (SP) 0x + 0y + 0z = 0

Regras – sistemas escalonados Da análise dos sistemas vistos, tiramos as seguintes regras: Regra 1 Em um sistema escalonado, as equações nulas devem ser eliminadas, já que influenciam na resolução do sistema. Regra 2 Um sistema escalonado é impossível só quando apresenta uma equação impossível; caso contrário o sistema é possível.

Exemplos O sistema abaixo é escalonado e possível. Resolvê-lo e verificar se ele é determinado ou indeterminado. x – y + z = 4 Número de equações (3) é igual ao número de incógnitas (3) → SPD 0x + y – z = 2 0x + 0y + 3z = 3 3.ª equação: 3z = 3 → z = 1 2.ª equação: y – z = 2 → y – 1 = 2 → y = 3 1.ª equação: x – y + z = 4 → x – 3 + 1 = 4 → x = 6 → Solução (6, 3, 1)

Exemplos O sistema a seguir também é escalonado e possível. Resolvê-lo e analisar se ele é determinado ou indeterminado. x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3 0x + 0y + 0z = 0 A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada. O número de equações restantes (2) é menor que o número de incógnitas (3) → SPI x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3

Exemplos x – y + z = 3 0x + y – 2z = 3 Incógnita livre: z = k 2.ª equação: y – 2z = 2 → y – 2k = 3 → y = 2k + 3 1.ª equação: x – y + z = 3 → x – (2k + 3) + k = 3 → x – 2k – 3 + k = 3 → x = k + 6 Solução geral: k = 1 → (7, 5, 1) k = –1 → (5, 1, –1) ... (k + 6, 2k + 3, k)

Regras – sistemas escalonados Da análise dos dois últimos problemas, tiramos a seguinte regra: Regra 3 De um sistema possível, retiram-se as equações nulas. Se m é o número de equações restantes e n é o número de incógnitas, o sistema é → determinado, se m = n. → indeterminado, se m < n.

Discussão de um sistema escalonado Existe alguma equação do tipo impossível Sim Não Impossível (SI) Possível (SP) m = n? m < n? Determinado (SPD) Indeterminado (SPI)

Sistemas com coeficientes paramétricos

Exemplo Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema x – 2y + z = 3 0x + y – 5z = 7 0x + 0y + mz = n – 1 O sistema está escalonado. Para discuti-lo, vamos analisar as três hipóteses possíveis, a partir da última equação.

Exemplo Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema x – 2y + z = 3 0x + y – 5z = 7 0x + 0y + mz = n – 1 Sistema impossível (SI) A última equação deve ser impossível. m = 0 m = 0 → n – 1 ≠ 0 n ≠ 1

Exemplo Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema x – 2y + z = 3 0x + y – 5z = 7 0x + 0y + mz = n – 1 Sistema possível e determinado (SPD) Número de equações igual ao de incógnitas. m ≠ 0 n deve ser um número real qualquer.

Exemplo Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema x – 2y + z = 3 0x + y – 5z = 7 0x + 0y + mz = n – 1 Sistema possível e indeterminado (SPI) A última equação deverá ser nula. m = 0 m = 0 → n – 1 = 0 n = 1

Escalonamento de sistemas

Método de eliminação de Gauss Permite transformar um sistema linear qualquer em outro equivalente (de mesma solução), porém na forma escalonada. São feitas transformações no sistema linear, baseadas em alguns princípios de equivalência de sistemas.

Sistemas equivalentes Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções são chamados sistemas equivalentes. 2x + y = 5 x + y = 3 e x – y = 1 3x + y = 7 Ambos os sistemas são possíveis e determinados. A solução é a sequência (2, 1).

Princípios de equivalência de sistemas Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema. 2.º Princípio Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por uma constante não-nula.

Princípios de equivalência de sistemas Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real não-nula.

Exemplo Escalonar o sistema linear y – z = 5 4x + y + z = 15 y – z = 5 E3 + E1 –3y + 33z = 15

Exemplo Escalonar o sistema linear 4x + y + z = 15 y – z = 5 E3 +3.E2

Matriz completa de um sistema A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz completa do sistema. Veja x – 2y + 3z = 1 1x – 2y + 3z = 1 2y + z = 7 0x + 2y + 1z = 7 –x + z = 5 –1x + 0y + 1z = 5 1 –2 3 2 7 –1 5 Matriz completa:

Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y = 5 x + 3y = 1 3x – y = 4 2 –1 5 1 3 4 1 3 2 –1 5 4 -2 1 3 1 -3 1 3 1 –7 3 –7 3 10 3 –1 4 –10 1 7

Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y = 5 x + 3y = 1 3x – y = 4 1 3 1 1 3 1 –7 3 10 –70 30 -1 –10 1 7 –70 7 1 3 1 A matriz está escalonada. A última linha representa a equação 0x + 0y = –23 → SI –70 30 –23

Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema x – y + z = 1 2x + y – 3z = 5 x – 4y + 6z = –2 1 –1 2 –3 5 –4 6 –2 1 –1 1 1 L2 – 2L1 → 3 –5 3 L3 – L1 → –3 5 –3 5 –5 1 –3 3 –1 1 –1 1 1 3 –5 3 L3 + L2 →

Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema x – y + z = 1 2x + y – 3z = 5 x – 4y + 6z = –2 –5 1 3 –1 A matriz está escalonada. A última linha representa a equação 0x + 0y + 0z = 0 → SPI x – y + z = 1 3y – 5z = 3

Escalonamento pela matriz completa x – y + z = 1 Incógnita livre: z = k 3y – 5z = 3 2.ª equação: 3y – 5z = 3 → 3y – 5k = 3 3 + 5k → y = 3 1.ª equação: x – y + z = 1 → x = y – z + 1 3 + 5k 2k + 6 → x = – k + 1 → x = 3 3 2k + 6 3 + 5k , , k Solução geral: 3 3

Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5 3x + ay = b 1 –2 5 3 a b 1 –2 5 L2 – 3L1 → a + 6 b – 15 Sistema impossível (SI) a + 6 = 0 a = –6 → b – 15 ≠ 0 b ≠ 15

Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5 3x + ay = b 1 –2 5 3 a b 1 –2 5 L2 – 3L1 → a + 6 b – 15 Sistema possível e determinado (SPD) a + 6 ≠ 0 → a ≠ –6

Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5 3x + ay = b 1 –2 5 3 a b 1 –2 5 L2 – 3L1 → a + 6 b – 15 Sistema possível e indeterminado (SPI) a + 6 = 0 a = –6 → b – 15 = 0 b = 15

Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função do parâmetro m, o sistema x + my = 1 mx + y = 1 1 m 1 m 1 mL1 – L2 → m2 – 1 m – 1 Sistema impossível (SI) m2 – 1 = 0 m = ±1 → → m = –1 m – 1 ≠ 0 m ≠ 1

Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função do parâmetro m, o sistema x + my = 1 mx + y = 1 1 m 1 m 1 mL1 – L2 → m2 – 1 m – 1 Sistema possível e determinado (SPD) m2 – 1 ≠ 0 → m ≠ ± 1

Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função do parâmetro m, o sistema x + my = 1 mx + y = 1 1 m 1 m 1 mL1 – L2 → m2 – 1 m – 1 Sistema possível e indeterminado (SPI) m2 – 1 = 0 m = ±1 → → m = 1 m – 1 = 0 m = 1

Escalonamento pela matriz completa Discutir, em função do parâmetro k, o sistema homogêneo 2x – y + z = 0 x + y – 3z = 0 x + 4y + kz = 0 2 –1 1 –3 4 K 2 –1 1 2L2 – L1 → 3 –7 L3 – L2 → 3 k + 3 k + 3 –7 1 3 –1 2 2 –1 1 3 –7 L3 – L2 → k + 10

Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y + z = 0 x + y – 3z = 0 x + 4y + kz = 0 k+10 –7 1 3 –1 2 Sistema possível e determinado (SPD) k + 10 ≠ 0 → k ≠ 10

Escalonamento pela matriz completa Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y + z = 0 x + y – 3z = 0 x + 4y + kz = 0 k+10 –7 1 3 –1 2 Sistema possível e indeterminado (SPI) k + 10 = 0 → k = 10

Regra de Cramer

Regra de Cramer Processo de resolução de sistemas lineares por meio de determinantes. (Gabriel Cramer 1750) A Regra de Cramer é indicada para sistemas possíveis e determinados, com número de equações igual ao número de incógnitas.

Regra de Cramer Suponhamos o sistema linear abaixo com duas equações e duas incógnitas. a1x + b1y = m a2x +b2y = n a1 a2 b1 b2  = = a1.b2 – a2.b1 → x = x  → y = y m a2 n b2 x = = m.b2 – a2.n a1 m b1 n y = = a1.n – m.b1

Exemplo Resolver pela regra de Cramer o sistema 3x + y = 5 1 5 –2  = = 3.(–2) – 1.5 = –11 –22 → x = = 2 5 1 12 –2 –11 x = = 5.(–2) – 1.12 = –22 11 = –1 → y = –11 3 5 12 y = = 3.12 – 5.5 = 11