Circunferência e círculo

Circunferência Se O é um ponto do plano e r um número real positivo, chama-se circunferência de centro O e raio r o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância r do ponto O. A B P r r r C r O r r E D

Elementos P r r A B O O Q Corda PQ Diâmetro AB D = 2r C= 2r

Elementos B Arco AMB N M A Arco ANB

Arcos e ângulos A ≡ B A ≡ B arco completo arco nulo

Arcos e ângulos O B A Arco de meia volta (Semicircunferência)

Círculo O conjunto constituído por uma circunferência e pelos pontos interiores a ela é chamado círculo ou disco. O r

Posições relativas de ponto e circunferências O ponto A é interno à circunferência dOA < r O O ponto B pertence à circunferência dOB = r r A O ponto P é exterior à circunferência dOP > r B

Posições relativas de reta e circunferências r é tangente à circunferência dOP = r r O r ⇔ r e a circunferência têm um único ponto comum. P

Posições relativas de reta e circunferências B P s A s é secante à circunferência dOP < r O ⇔ s e a circunferência têm dois pontos comuns.

Posições relativas de reta e circunferências t é exterior à circunferência dOP > r O ⇔ P t e a circunferência não têm ponto comum. t

Propriedades da reta tangente à circunferência Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência. r O r Por um ponto de uma circunferência, pode- se traçar uma única tangente a essa circunferência. P

Propriedade da reta secante à circunferência Uma reta secante que passa pelo centro da circunferência é perpendicular a uma corda se, e somente se, divide essa corda ao meio. s B O M s ⊥ AB por O ⇔ AM = MB A

Conseqüência Um diâmetro perpendicular a uma corda divide essa corda ao meio. C B O M CD ⊥ AB por O ⇔ AM = MB D A

Posições relativas de duas circunferências B C1 é externa C2 Todos os pontos de C1 são externos a C2 ⇔ dAB > r + R

Posições relativas de duas circunferências B A r R P C1 e C2 são tangentes externamente em P C1 e C2 têm um só ponto comum e não têm ponto interior comum ⇔ dAB = r + R

Posições relativas de duas circunferências B A r R C1 e C2 são secantes Têm dois pontos comuns ⇔ R – r < dAB < R + r

Posições relativas de duas circunferências B P C1 e C2 são tangentes internamente em P Têm um só ponto comum e os demais pontos de C1 são interiores a C2 dAB = R – r ⇔

Posições relativas de duas circunferências B C1 é interna a C2 Todos os pontos de C1 são interiores a C2 ⇔ 0 ≤ dAB < R – r

Ângulos na circunferência

Ângulo central Chama-se de ângulo central de uma circunferência todo ângulo que tem como vértice o seu centro. B C A cada ângulo central corresponde um arco, interseção do ângulo com a circunferência.  O  D  A E F

Ângulo central Um ângulo central tem a mesma medida do arco correspondente. A AÔB é ângulo central  O m(AÔB) = m(AB) =  B

Unidade de ângulo e arco Representação Medida em graus Arco completo 360º Arco de meia volta 180º Arco de ¼ de volta 90º Arco nulo 0º

Ângulo Inscrito Chama-se ângulo em uma circunferência todo ângulo cujo vértice é um de seus pontos e cujos lados são secantes a ele. A APB é ângulo inscrito O B AB  m(APB) =  = 2 P

Ângulo Inscrito - Propriedade Ângulos inscritos em um mesmo arco são congruentes. Q P R Os ângulos inscritos de vértices P, Q e R são congruentes B A AB m(APB) = m(AQB) = m(ARB) = 2

Ângulo Inscrito - Propriedade Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. M N AB diâmetro da circunferência, os ângulos de vértices M, N e P são retos, porque o arco AB mede 180o. A B P

Ângulo Inscrito - Propriedade Todo triangulo inscrito numa semicircunferência e retângulo. M r Como conseqüência a mediana relativa a hipotenusa tem medida igual a metade da hipotenusa. A B r r