Unidade 6 – Estudo das Cônicas Ensino Superior Geometria Analítica Unidade 6 – Estudo das Cônicas Amintas Paiva Afonso

Geometria Analítica: Circunferência     Equações da circunferência - Equação reduzida     Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:    Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:    

Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio. Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² . Equação geral    Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:     Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.    A equação reduzida da circunferência é: ( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16    Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral    Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.    Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições: os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1; não deve existir o termo xy.    Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.    Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim: 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) ² + ( y + 1 ) ² = 16 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

b) P pertence à circunferência Posição de um ponto em relação a uma circunferência    Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições: a) P é exterior à circunferência   b) P pertence à circunferência  

c) P é interior à circunferência Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2 + ( y - b )2 - r2: se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência; se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 =    0, então P pertence à circunferência; se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência    Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e: Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência : (x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:

Assim: Condições de tangência entre reta e circunferência    Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos: a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

A figura obtida é uma elipse. Elipse    Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.    Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos: A figura obtida é uma elipse.

Observações: 1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.      A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento. 2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos. 3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. Elementos   Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:  

focos : os pontos F1 e F2  centro: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: c vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 eixo maior: eixo menor: distância focal: Relação fundamental     Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2

Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1. Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações    Vamos considerar os seguintes casos: a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal    Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0): Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical    Nessas condições, a equação da elipse é: Hipérbole    Considerando, num plano    , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano     tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.    Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:                                                                                                                                                      A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice: paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:                                                                                                                                                      A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos Observe a hipérbole representada a seguir   Elementos    Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: focos: os pontos F1 e F2 vértices: os pontos A1 e A2 centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c

Chamamos de excentricidade o número real e tal que: semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c distância focal: eixo real: eixo imaginário: Excentricidade         Chamamos de excentricidade o número real e tal que:     Como c > a, temos e > 1.  Equações    Vamos considerar os seguintes casos: a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

Aplicando a definição de hipérbole: Obtemos a equação da hipérbole: F1 (-c, 0) F2 ( c, 0) Aplicando a definição de hipérbole: Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy     Nessas condições, a equação da hipérbole é: Hipérbole eqüilátera     Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais: a = b

Equação     Vamos considerar os seguintes casos: a) eixo real horizontal e C(0, 0)     As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: b) eixo vertical e C(0, 0)     As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: Parábola     Dados uma reta d e um ponto F               , de um plano    , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano     eqüidistantes de F e d.    Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano     e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações: 1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. 4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica. Elementos    Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

foco: o ponto F diretriz: a reta d vértice: o ponto V parâmetro: p                 Então, temos que: o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.                 Assim, sempre temos . DF =p V é o ponto médio de                                    Equações    Vamos considerar os seguintes casos: a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

y2 = 2px Como a reta d tem equação e na parábola temos: ; P(x, y); dPF = dPd ( definição);         obtemos, então, a equação da parábola: y2 = 2px

Nessas condições, a equação da parábola é: y² = -2px                                                                                                                                                                                     b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal Nessas condições, a equação da parábola é: y² = -2px c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical, a equação é: x²=2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical x²= - 2py