Análise de Sensibilidade

Conteúdos do Capítulo Análise de Sensibilidade Caso Motorela Celulares Interpretação Econômica do Problema Dual Preço de Sombra – Shadow Price Custo Reduzido – Reduced Cost Caso Motorela Celulares Caso Agropecuária Coelho Observação: Poderia relacionar neste slide os pontos abordados na Interpretação ....., conforme topo dos demais slides.

Conteúdos do Capítulo Continuação Intervalos de validação Preço Sombra ( Shadow Price ou Dual Price ) Custo Reduzido (Reduced Cost) Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Solução Gráfica Análise dos Coeficientes da Função Objetivo A Análise do Lindo A análise do Excel Observação: Redimensionar a aula. Muito conteúdo a ser trabalhado.

Conteúdos do Capítulo Continuação O Limite dos coeficientes das Restrições Lindo Excel Analisando todas as respostas do Excel Answer Report Análise Econômica Sensitivity Report Limits Report Solução Degenerada

Interpretação Econômica do Problema Dual Cada variável yi do Dual está diretamente relacionada com a restrição i do problema Primal; O valor ótimo desta variável, yi* recebe diversas denominações, entre elas: Preço-Sombra (Shadow Price); Preço-Dual (Dual Price); Portanto, cada restrição i possui um preço-sombra yi* 14

Preço de Sombra O preço-sombra para o recurso i (yi*) mede o valor marginal deste recurso em relação ao lucro total; Isto é, a quantidade que o Lucro Total (Z) seria melhorado, caso a quantidade do recurso i (bi) fosse aumentado de uma quantidade igual à unidade.

Preço de Sombra Solução Gráfica , 21 5 20 s.r. 30 40 Max 2 1 10 3 ³ £ + = x Z Solução Ótima (0;25) (18,75;25) (25;20) (0;0) (35;0) Vamos medir o efeito de aumentar essa constante em 3 unidades, até 24?

Preço de Sombra Solução Gráfica Max Z = 40 x + 30 x Max Z = 40 x + 30 x 1 2 1 2 s.r. s.r. x + 2 1 x £ 20 x + £ 2 1 x 20 5 1 2 2 5 1 2 2 £ 1 x 5 1 x £ 5 5 2 5 2 3 x + 3 x £ 21 x + 3 3 x £ 24 5 1 10 2 5 1 10 2 x , x ³ x , x ³ 1 2 1 2

Preço de Sombra Solução Gráfica O conjunto de soluções viáveis foi alterado A solução ótima também foi alterada , 24 5 20 s.r. 30 40 Max 2 1 10 3 ³ £ + = x Z Solução Ótima (18,75;25) (0;25) (25;20) (0;0) (35;0) (40;0)

Preço de Sombra Solução Gráfica Na primeira situação tínhamos Dado o acréscimo de 3 unidades na segunda restrição obtivemos: Portanto: Alteração da Função-objetivo: Logo, preço de sombra : 3 400 1600 5200 = - 44 , 3 400 =

Preço de Sombra Solução Gráfica Max Z = 40 x + 30 x , 21 6 20 s.r. 30 40 Max 2 1 10 3 5 ³ £ + = x Z 1 2 s.r. x + £ 2 1 x 20 5 1 2 2 x £ 1 5 5 2 x + £ 3 3 x 21 5 1 10 2 x , x ³ 1 2

Preço de Sombra Solução Gráfica , 21 6 20 s.r. 30 40 Max 2 1 10 3 5 ³ £ + = x Z (0;25) (0;0) (18,75;25) (35;0) Solução Ótima (25;20) (0;30) O conjunto de soluções viáveis foi alterado Essa restrição não limitava à solução ótima inicial, que não foi alterada. Qual é o preço de sombra desta restrição? ZERO

Interpretação Econômica do Problema Dual Custo Reduzido Cada variável de folga/excesso do Dual está diretamente relacionada a uma determinada variável original do problema Primal; Esse valor é chamado de Custo Reduzido ou Reduced Cost; Portanto, cada variável do problema original possui um determinado custo reduzido. 14

Custo Reduzido O custo reduzido de uma variável é: o total que o seu coeficiente na função-objetivo deve melhorar para que ela deixe de ser zero na solução ótima; quanto a função-objetivo irá piorar para cada unidade que a variável aumente a partir de zero; O custo reduzido só se aplica a variáveis que, na solução ótima, assumem o valor zero.

Exemplo A tabela abaixo sintetiza o problema de um pecuarista: São três alimentos diferentes que contribuem com alguns nutrientes para a alimentação do gado. Qual é o custo mínimo diário para estabelecer uma dieta com o requerimento mínimo? Ingrediente Nutritivo Quilo de milho ração alfafa Requerimento mínimo diário carboidratos 90mg 20mg 40mg 200mg proteínas 30mg 80mg 60mg 180mg vitaminas 10mg 150mg custo ($/kg) 21 18 15

Modelagem no Lindo Default, , 3 2 1 ³ x

A resposta A ração é muito cara! Estou fornecendo mais vitamina que o mínimo

Modelagem no Excel

Os Parâmetros do Solver

Resultado do Excel Mesmo resultado apresentado pelo Lindo

A Análise do Excel Os Reduced Costs têm os mesmos valores que os do LINDO Os preços de sombra não são negativos,como no LINDO.

Análise de Sensibilidade Interpretação no Excel Para o Excel, os conceitos de Preço-Sombra estão relacionados ao valor nominal do efeito na função-objetivo, isto é, quanto a função-objetivo aumenta ou diminui.

Análise de Sensibilidade Interpretação no Lindo Para o Lindo, o conceitos de Shadow Price indica o quanto a função-objetivo melhora ou piora. Melhorar Numa Maximização significa aumentar o valor da função-objetivo Numa Minimização significa diminuir o valor da função-objetivo Piorar

Análise de Sensibilidade As quantidades informadas pelas grandezas Preço-Sombra e Custo Reduzido refletem as conseqüências de alterações unitárias; Alterações diferentes da unidade provocaram conseqüências proporcionais. Entretanto, estes valores só podem ser garantidos dentro de intervalos apontados nos relatórios, se a solução ótima não for degenerada.

Preço de Sombra Limite Partindo do problema: 30 40 Max + = x Z s.r. 20 Solução Ótima 30 40 Max 2 1 + = x Z s.r. (0;25) 20 2 1 5 £ + x (18,75;25) 5 2 1 £ x (25;20) 21 2 10 3 1 5 £ + x , 2 1 ³ x (0;0) (35;0)

Preço de Sombra Limite Z = 40 x + 30 x s.r. 20 £ + x 5 £ x 21 £ + x , Max Z = 40 x + 30 x = + Max Z 40 x 30 x 1 2 1 2 s.r. s.r. 20 2 1 5 £ + x 20 2 1 5 £ + x 5 2 1 £ x 5 2 1 £ x 21 2 10 3 1 5 £ + x 24 2 10 3 1 5 £ x + x , 2 1 ³ x , ³ x 1 2

Alteração da Função= Objetivo: Preço de Sombra Limite Solução Ótima Solução Ótima (0;25) (18,75;25) (0;25) (18,75;25) (25;20) (25;20) (0;0) (35;0) (0;0) (35;0) (40;0) Alteração da Função= Objetivo: Logo, preço de sombra :

Preço Sombra: Limite no Excel Problema Original Problema Alterado

Preço Sombra: Limite no Excel Problema Original Problema Alterado Mesmo Preço-Sombra

Preço de Sombra Limite 30 40 Max + = x Z s.r. 20 £ + x 5 £ x 21 £ + x 10 3 1 5 £ + x x + £ 30 3 3 x 5 1 10 2 , 2 1 ³ x , 2 1 ³ x

Preço de Sombra: Limite Solução Ótima Solução Ótima (0;25) (0;25) (18,75;25) (18,75;25) (25;20) (25;20) (35;0) (0;0) (35;0) (50;0) Alteração da Função- Objetivo: Logo, preço de sombra : O valor do preço de sombra permaneceu constante

Preço Sombra: Limite no Excel Problema Original Problema Alterado

Preço Sombra: Limite no Excel Problema Original Problema Alterado Mesmo Preço-Sombra

Caso Motorela Celulares Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes, o de montagem, a configuração e a verificação. Para fabricar o celular Multi-Tics, são necessárias 0,1 h de montagem, 0,2 h de configuração e 0,1 h de verificação. O mais popular Star Tic Tac requer 0,3 h de montagem, 0,1 h de configuração e 0,1 h de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 h de montagem, 0,3 h para configuração, porém, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. A fábrica dispõe de capacidade de 290 hs/mês na linha de montagem, 250 hs/mês na linha de configuração e 110 hs/mês na linha de verificação. Os lucros unitários dos produtos Multi-Tics, Star Tic-Tac e Vulcano são R$ 100, R$ 210 e R$ 250, respectivamente e a Motorela consegue vender tudo o que produz. Sabe-se ainda que o presidente da Motorela exige que cada um dos três modelos tenha produção mínima de 100 unidades e quer lucrar pelo menos R$ 25.200/mês com o modelo Star Tic-Tac. O presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic-Tac. Resolva utilizando o Solver do Excel: Observação: Fazer o caso no computador a planilha está anexa. Cada nova pergunta deve ser feita sem apresentar a resposta.

Caso Motorela Celulares Variáveis de Decisão x1- Número de celulares Multi-Tics produzidos mensalmente. x2- Número de celulares Star Tic-Tacs produzidos mensalmente. x3- Número de celulares Vulcanos produzidos mensalmente.

Caso Motorela Celulares: Função-Objetiva Maximizar o Lucro da Motorela 3 2 1 250 210 100 x Max +

Caso Motorela Celulares: Restrições Produção Linha de Montagem Linha de Configuração Linha de Verificação 290 4 , 3 1 2 £ + x 250 3 , 1 2 £ + x 110 1 , 2 £ + x

Caso Motorela Celulares: Restrições Produção Mínima Lucro Mínimo Star Tic-Tac Produção Vulcano Não Negatividade 100 ; 3 2 1 ³ x 25200 210 2 ³ x 2 3 x ³ ; 3 2 1 ³ x

Caso Motorela Celulares: Modelo ; 2 25200 210 100 110 1 , 250 3 290 4 ³ £ + x st Max

Caso Motorela Celulares: Modelo no Excel

Caso Motorela Celulares: Parametrização do Solver

Caso Motorela Celulares: Relatórios Marcar os Relatórios Desejados

Caso Motorela Celulares: Solução

Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios Que restrições limitam a solução ótima?

Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios Quanto deve ser melhorado no lucro unitário para que se produza o modelo Star Tic-Tac?

Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios Até quanto você pagaria por uma hora de verificação terceirizada?

Alterando o Problema Para Verificar Resultado Problema Alterado - Mesmo Valor Ótimo

Caso Motorela Celulares Análise dos Relatórios Até quanto você pagaria por uma hora de montagem terceirizada?

Alterando o Problema Para Verificar Resultado =204200+480

Caso Motorela Celulares: análise dos Relatórios O que significa o shadow price de -20 na última restrição? Cada unidade adicional de Vulcano provoca perda de lucratividade de R$20,00, isto é, a função-objetivo diminui de 20.

Alterando o Problema Para Verificar Resultado =204200-20

Caso Agropecuária Coelho O Sr. Coelho possui uma fazenda de criação de porcos para abate, e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requerimentos básicos diários de nutrientes: 200 u.m. de carboidratos, 250 u.m. de proteínas e 120 u.m. vitaminas. Considere que os alimentos disponíveis do mercado são milho, ração e alfafa, ao custo por quilo de R$20,00, R$30,00 e R$35,00, respectivamente. A tabela abaixo resume a quantidade de cada nutriente (u.m.) presente em um quilo de cada alimento: Observação: Poderia a partir deste slide elaborar outra aula? O caso não poderia ser apresentado em texto pré-impresso? Milho Ração Alfafa Carboidratos 10 20 Proteínas 40 Vitaminas 30

Caso Agropecuária Coelho: Variáveis de Decisão x1 – quantidade de quilos de milho na alimentação diária x2 – quantidade de quilos de ração na alimentação diária x3 – quantidade de quilos de alfafa na alimentação diária Função-objetivo: minimizar custos da alimentação diária Min 20x1 + 30x2 + 35x3 Restrições do modelo: Carboidratos: 10x1 + 20x2 + 20x3 ³ 200 Proteínas: 10x1 + 20x2 + 40x3 ³ 250 Vitaminas: 40x1 + 30x2 + 20x3 ³ 120

Caso Agropecuária Coelho: Modelo ; 120 20 30 40 250 10 200 35 3 2 1 ³ + x st Min

Caso Agropecuária Coelho: Modelo no Excel

Caso Agropecuária Coelho: Solução no Excel

Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios Que tipos de nutrientes são limitantes da dieta básica? Carboidratos e Proteínas

Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios Quanto deveríamos exigir de redução no custo do milho para que ele participasse como matéria prima da alimentação diária?

Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios Qual o custo marginal que uma 1 u.m. adicional de vitaminas traria à agropecuária?

Caso Agropecuária Coelho: Análise dos Relatórios Qual a variação de custo que uma exigência de 1 u.m. adicional de carboidratos na dieta diária? O custo adicional é de R$ 1,25 (valor positivo)

Intervalos de Validação do Preço-Sombra e do Custo Reduzido A análise de sensibilidade determina os intervalos em que o Custo Reduzido e o Preço-Sombra são válidos Uma razão para se estabelecer esses intervalos está ligada a hipótese de certeza assumida em modelos de programação linear.

Análise de Sensibilidade Solução Degenerada A solução de um problema de Programação Linear algumas vezes apresenta uma anomalia conhecida como degeneração. Uma solução de uma PL é dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero. A presença de degeneração altera a interpretação da análise de sensibilidade em um certo número de maneiras.

Análise de Sensibilidade A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes e constantes. Em uma análise de sensibilidade queremos responder basicamente a duas perguntas: Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função- objetivo? Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição?

Análise de Sensibilidade Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade: Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da função-objetivo e constantes das restrições: Lindo/Excel; Hipótese de uma alteração a cada momento; Verifica se uma ou mais mudanças em um problema alteram a sua solução ótima: Mais Complicado Pode ser feito através da alteração do problema e sua nova resolução.

A Análise de Sensibilidade Através de Limites Vamos nos dedicar ao primeiro tipo de análise. A análise dos limites dos coeficientes da função-objetivo e das constantes das restrições do problema. Vamos entender o processo da análise dos coeficientes da função-objetivo primeiro.

Análise de Sensibilidade Solução Gráfica x2 Max Z x = + 40 30 1 2 ³ , 21 5 20 10 3 £ Solução Ótima (0;25) (18,75;25) (25;20) x1 (0;0) (35;0)

Análise de Sensibilidade Solução Gráfica Função- Objetivo 2 Max Z x = + 40 30 1 ³ , 21 5 20 10 3 £ (25;20) (0;25) (18,75;25) (0;0) (35;0)

Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo As três retas pertencem a uma mesma família de retas, pois têm o ponto (25;20) em comum. Uma diferença entre elas é no coeficiente angular. A mudança de um coeficiente da função objetivo causará uma alteração no coeficiente angular da função-objetivo. Função- Objetivo (0;25) (25;20) (18,75;25) (0;0) (35;0)

Análise dos Coeficientes da Função Objetivo Portanto, enquanto o coeficiente angular da função-objetivo estiver entre os das retas limites a solução ótima não se alterará. A B (0;25) (25;20) (18,75;25) (0;0) (35;0)

Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo Declividade da reta B Declividade da reta A -2 < Declividade da Função-Objetivo < -0,8

Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo A forma geral da função objetivo é dada por: Que na Forma declividade-Interseção é dada por

Análise dos Coeficientes da Função-Objetivo Estudaremos uma variação por vez, portanto manteremos constante primeiramente c2=30. Logo, podemos dizer que:

Análise dos Coeficientes da Função Objetivo Para estudarmos as variações possíveis de c2, manteremos c1 =40. Logo, temos:

Análise dos Coeficientes da Função Objetivo Poderíamos então criar uma tabela resumindo os limites dos coeficientes das variáveis na função-objetivo: Mantendo esses limites, podemos garantir que a solução ótima (não degenerada) será a mesma! 50 30 20 x2 60 40 24 x1 Máximo Atual Mínimo

A Análise do Lindo Variações permitidas 50=30+20 30 20=30-10 x2 60=40+20 40 24=40-16 x1 Máximo Atual Mínimo

A Análise do Excel Esta resposta é idêntica à do Lindo, a menos de erros de aproximação. 50=30+20 30 20=30-10 x2 60=40+20 40 24=40-16 x1 Máximo Atual Mínimo

Caso Especial Um caso especial de limite de crescimento acontece quando a rotação da função-objetivo em torno do extremo ótimo passa pela reta vertical; Isso significará que não existirá (será infinito) ou o limite superior ou inferior para a declividade; Observemos isso graficamente

Caso Especial Suponhamos que a situação ótima seja a seguinte: x2 Função Objetivo B Esta reta possui declividade indeterminada! (25;20) (0;0) (35;0) x1

Explicação Matemática A declividade de uma reta é a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo das abcissas, e a tangente de uma reta vertical (90o) não existe, e tende para o infinito(+/-) Coef.Angular =Tan(q) Ângulo em radianos Declividade da função objetivo estudada

Análise de Sensibilidade Constantes das Restrições As constantes das restrições também estão submetidas a limites; Esses limites dizem respeito aos Preços-Sombra, e não à solução ótima; Veja que os Preços-Sombra equivalem à solução ótima do Dual, onde as constantes das restrições são os coeficientes da Função-objetivo; O estudo dos limites é feito de maneira similar.

O Limite dos Coeficientes das Restrições Lindo Variações permitidas às constantes das restrições!

O Limite dos Coeficientes das Restrições Excel Variações permitidas às constantes das restrições! = infinito

Analisando Todas as Respostas do Excel Modelo Max Z x = + 40 30 1 2 ³ , 21 5 20 10 3 £

Solicitando os Relatórios Marcar os relatórios desejados

Análise de Sensibilidade Excel Valor das variáveis na solução ótima Valor máximo da função-objetivo

Relatório de Respostas Agrupar => LHS=RHS Sem Agrupar => LHSRHS, quando a variável de folga for básica e diferente de zero. Variáveis de Folga

Relatório de Respostas Observação Importante O Excel determina que a restrição tem status “Sem Agrupar" quando a variável de folga daquela restrição é básica. Geralmente, isto significa que existe folga, e portanto LHS (diferente) RHS . Entretanto, é possível acontecer da variável de folga ser básica e igual a zero. Neste caso, a restrição terá status Agrupar e LHS = RHS.

Análise Econômica do Excel Valores ligados ao Problema Dual

Análise Econômica do Excel As interpretações para o Preço-Sombra são as seguintes: A quantidade pela qual a função-objetivo será modificada (valor nominal) dado um incremento de uma unidade na constante de uma restrição. Quanto estaríamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de um recurso.

Análise Econômica do Excel Existem duas interpretações para o Custo Reduzido: A quantidade que o coeficiente da função- objetivo de uma variável original deve ser modificada antes dessa variável se tornar básica. A quantidade de penalização que será paga se quisermos tornar uma variável básica.

Análise de Sensibilidade Excel Variações de incremento e decremento, aos quais cada coeficiente da Função-Objetivo, isoladamente, pode ter sem que a solução ótima (valores ótimos das variáveis) se altere.

Análise de Sensibilidade Excel Variações de incremento e decremento, ao qual a constante de uma Restrição, isoladamente, pode ter sem que o seu Preço-Sombra (Dual Price) se altere.

Relatório de Limites A coluna Inferior Limite indica o menor valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

Análise de Sensibilidade Excel – Limits Report A coluna Superior Limite indica o maior valor que cada variável pode assumir, considerando, que todas as outras não se alterem, para que a solução continue viável. A coluna ao lado mostra o valor que a função-objetivo assume nessa solução.

Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Quando a solução ótima é degenerada O valor do Custo Reduzido pode não ser único. O valor de incremento e decremento dos coeficientes da função-objetivo permanecem válidos. De fato, os valores podem se alterar substancialmente acima desse valores, sem que a solução ótima se altere. O valor do Preço-Sombra e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem não ser únicos. Observação: Propor atividade de fixação e indicar leitura básica e complementar. Aula muito extensa. Redimensionar.