O Problema de Corte de Estoque Características típicas: • problema de várias mochilas - seleção de objetos • muitos itens devem ser produzidos, porém, de poucos tipos (alta repetição) • muitos objetos (barras) dever ser cortados, porém, de poucos tipos. Muitos objetos serão igualmente cortados (padrões de corte)

Exemplo: Cortar barras de 240 cm (estoque) para a produção de 1000 itens de 30 cm (tipo 1) 1250 itens de 42 cm (tipo 2) 2000 itens de 45 cm (tipo 3) total de 4250 itens cortados de apenas 3 tipos (bin-packing?) muitas barras devem ser igualmente cortadas (padrão de corte = maneira particular de cortar uma barra, que deve ser repetida várias vezes) Qual o número mínimo necessário de barras ? Como devem ser cortadas as barras (padrões de corte) ?

A cada padrão de corte associamos um vetor m-dimensional que contabiliza os itens produzidos: onde i é o número de itens do tipo i no padrão. (1) (2) (4) L l1 l2 l4  a = ( 2 1 0 2 )T Um vetor (1 2 ...m ) corresponde a um padrão de corte se:

Restricões de processo Restrições adicionais de processo F = Número Máximo de Facas Facas (1) (3) (4) 2 Facas laterais para imperfeições! 5 Facas  4 itens!

Restricões de processo Restrições adicionais de processo: Cortagem em estágios O Problema da Mochila Compartimentada Compartimentos carregados com itens de mesma classe Ex. medicamentos, alimentos, roupas limpas, roupas sujas, etc. Os compartimentos têm tamanhos máximos e mínimos e cada novo compartimento inserido na mochila perde-se espaço L = 30 limites mínimo e máximo e perdas para os compartimentos Lkmax = 9 Lkmin = 5 Sk = 1 +

O Problema da Mochila Compartimentada fase 1 fase 2 A2 2 A2 2 A1 1 2 C2 6

 Padrões equivalentes Observações: Ao reconhecer um padrão de corte pelo seu vetor associado, não distinguimos entre padrões do tipo:  (2 1 2)T  Padrões equivalentes (1) (2) (3) (3) (1) (2)

Modelagem matemática: 1. Defina todas as possíveis maneiras de se cortar os objetos em estoque, isto é, todos os padrões de corte problema combinatório 2. Decida quantas vezes cada padrão de corte deve ser utilizado para atender a demanda

O Problema de Corte de Estoque Exemplo: Comprimento das barras em estoque: L = 120cm Comprimentos (demanda) dos itens: (m = 3) l1 = 30cm (d1= 1000) l2 = 42cm (d2=1250) l3 = 45cm (d3=2000)  a1 = (4 0 0)T 30 Padrão 1: 36 42 Padrão 2:  a2 = (0 2 0)T homogêneos 30 45 Padrão 3:  a3 = (0 0 2)T 30 45 Padrão 4:  a4 = (1 0 2)T

O Problema de Corte de Estoque Variáveis de decisão: xj : número de vezes que o padrão j é utilizado, j = 1,2,... Base inicial formada pelos padrões homogêneos

O Problema de Corte de Estoque Modelagem Matemática Apenas um tipo de barra em estoque em quantidade ilimitada. Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada. Diversos tipos de barra em estoque em quantidade limitada. Problemas de dimensão maiores que 1.

Apenas um tipo de barra em estoque O Problema de Corte de Estoque Apenas um tipo de barra em estoque Dados do problema: m : número de tipos de itens li : comprimento do item tipo i di : quantidade demandada do item tipo i L : comprimento (único) da barra em estoque c : custo de cada barra em estoque Objetivo: Atender a demanda ao custo mínimo.

O Problema de Corte de Estoque modelo básico Etapa 1: Defina todos os possíveis padrões de corte, ou seja, determine todas as soluções do sistema: Suponha que as soluções sejam: Padrão 1 Padrão 2 Padrão n

O Problema de Corte de Estoque Etapa 2: Seja xj o número de vezes que o objeto (barra) é cortado usando o padrão de corte j, j = 1,…,n. Resolva: Otimização linear método simplex – geração de colunas m equações – algumas dezenas n variáveis – centenas de milhares !

Alterações no modelo básico O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico Demanda com tolerância: di Ex: i = 0,05

Alterações no modelo básico O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico 2. Função “perda”: (1) (2) (m) L 1j l1 2j l2 mj lm cj Padrão j:

O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico 3. Unidade de demanda em toneladas (bobinas na indústria de papel, metalúrgica,…) Dados adicionais: T : peso (ton) de cada objeto L (i) li T/L = peso específico (ton/cm) = peso do item i = peso (ton) dos itens i no padrão j Número de bobinas cortadas usando o padrão j. Mudança de variável ton. no padrão j

O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico 4. Corte de retângulos (indústria de papel) fibra wi li fibra wi li Facas (1) (3) (4)

O Problema de Corte de Estoque Alterações no modelo básico Sentido da fibra irrelevante  bobina pode ser cortada nos comprimentos: Mochila com 2m itens Padrão j: mesmo item: retângulo l1  w1 1j + m+1,j = qde. do item 1 no padrão j

Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada O Problema de Corte de Estoque Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada Máquinas diferentes produzem os objetos (comp. diferentes) em quantidades suficientemente grandes para atender toda a demanda (indústria de papel). Objetos adquiridos no mercado, em tamanhos diferentes, onde a oferta é grande (construção civil).

O Problema de Corte de Estoque Barras ilimitadas em estoque Dados de demanda m : número de tipos de itens li : comprimento do item tipo i di : quantidade demandada do item tipo i Dados de estoque: N : número de tipos de objetos em estoque Lk : comprimento do objeto (barra) tipo k ck : custo da barra tipo k Padrões de corte para barra de comprimento Lk

O Problema de Corte de Estoque Barras ilimitadas em estoque Etapa 2: xij o número de vezes que o objeto j é cortado usando o padrão de corte i.

Diversos tipos de barra em estoque em quantidades limitadas O Problema de Corte de Estoque Diversos tipos de barra em estoque em quantidades limitadas Dado adicional: ej : quantidade disponível da barra j, j=1,…,N.

Problemas de dimensões maiores que 1 O Problema de Corte de Estoque Problemas de dimensões maiores que 1 A modelagem anterior ainda é válida: Etapa 1: definição dos padrões de corte (mais dificil) caso unidimensional: o número de itens no padrão descreve facilmente o padrão de corte. Caso bidimensional: arranjar uma quantidade de retângulos sobre uma placa, sem sobreposição, não é trivial. Regras de cortagem: cortes guilhotinados, estagiados, não guilhotinados guillotinados Etapa 2: quanto usar de cada padrão para atender a demanda (mesmo modelo de otimização linear)

O Problema de Corte de Estoque Bidimensional L  W (1) (2) (3) (5) li wi (4)

Definição. Um corte sobre uma placa retangular que produza dois novos retângulos é chamado corte guilhotinado ortogonal, ou simplesmente, corte guilhotinado. Uma sequência de cortes guilhotinados, aplicados sobre a placa e sobre os retângulos resultantes produz um padrão de corte guilhotinado a = (3, 1, 2, 0, 1)T.

Os cortes guilhotinados podem ser organizados em estágios da seguinte forma: Num primeiro estágio, cortes guilhotinados são feitos sobre a placa. Em seguida, num segundo estágio, os retângulos obtidos são cortados perpendicularmente ao cortes do estágio anterior, e assim por diante, são definidos estágios de corte. Definição Se o número permitido de estágios é limitado por k, dizemos que o padrão de corte resultante é um padrão de corte guilhotinado em k-estágios.

Itens que podem ser cortados na faixa k: Wk = { i tal que: wi  wk } O problema de corte bidimensional guilhotinado em 2-estágios i) Determinar os melhores padrões para as faixas: Lw1 , Lw2 … Lwm. L wk j k i Itens que podem ser cortados na faixa k: Wk = { i tal que: wi  wk } ik  0, inteiro, i=1,..,m sujeito a:

ii) Determinar quantas vezes cada faixa deve ser utilizada no padrão bidimensional. Como cada faixa k tem largura wk e a largura da placa é W, temos então de resolver o seguinte problema da mochila: V= Maximizar V11 + V22 + …+Vrr sujeito a: w11 + w22 + …+wrr  W 10, 2 0,…, r0 e inteiros.

Exemplo. Placa LW = 110110 m = 4 itens, comprimentos, larguras e valores de utilidade: i li  wi vi 1 20 30 6 2 30 40 12 3 50 60 30 4 60 60 36 Faixa 1: 11030 Faixa 2: 11040 Faixa 3: 11060 W1 = { 1 } W2 = { 1, 2 } W3 = { 1, 2, 3,4 } 1 L=110 1 2 L=110 4 3 L=110 V1 =30 V2 =42 V3 =66

V = Maximizar 30 1 + 42 2 + 663 sujeito a: 301 + 402 + 603 110 10, 2 0, 30 e inteiros. Solução: 1 =1, 2 = 1, 3 = 1, V = 138. 4 3 L=110 1 2 W=110

Heurísticas de arredondamento da solução O Problema de Corte de Estoque Inteiro Heurísticas de arredondamento da solução Arredondamento da solução ? geração de colunas Problema Residual: dd-Ay Repetir até que: heurísticas alternativas: Revisão do arredondamento