OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA Tópicos 1 a 6 27 de agosto de 2013

CONTEXTO DA DISCIPLINA

ENGENHARIA DE PROCESSOS Esta disciplina de Otimização em Engenharia Química se desenvolve no contexto da ENGENHARIA DE PROCESSOS Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

 PROJETO O conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto químico Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.   É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA Esse conjunto compreende três sub-conjuntos que interagem: PROJETO SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA    ANÁLISE SÍNTESE (a) previsão do desempenho do processo. (b) avaliação do desempenho do processo. (a) escolha de um equipamento para cada tarefa. (b) definição da fluxograma do processo. 5

Investigar a disponibilidade das matérias primas SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA Investigar mercado para o produto Investigar reagentes plausíveis Investigar a disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados SÍNTESE Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo

O PROJETO É CARACTERIZADO PELA MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor. Um problema com multiplicidade de soluções

Um número finito de soluções viáveis Na Síntese, as soluções são fluxogramas Um número finito de soluções viáveis

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Podendo ocorrer uma EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Cada par (x1,x2) é uma solução fisicamente viável rafinado x1 kgAB/kg A ? W1 kg B/h ? y1 kg AB/kg B ? extrato Q = 10.000 kgA/h y2 kg AB/kg B ? W2 kg B/h ? x2 kgAB/kgA ? Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A 1 2 alimentação Modelo 1. Q* (xo* - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização) Variáveis de Projeto: x1, x2

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Na Análise, as soluções são pares de valores x1,x2 Variáveis contínuas: uma infinidade de soluções viáveis

A multiplicidade de soluções de um problema acarreta o seguinte: Exige a busca da  Otimização Solução Ótima através de 

OTIMIZAÇÃO Ação de buscar a solução ótima de um problema Palavra com dois significados: Ação de buscar a solução ótima de um problema Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de métodos de busca da solução ótima de um problema

Otimização Tecnológica Otimização Estrutural O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização Fonte da complexidade multiplicidade de soluções nos três níveis Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química. Otimização Tecnológica Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo. Otimização Estrutural Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Otimização Numérica

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL COMO RESOLVER? MÉTODOS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL

Busca Orientada por Árvore de Estados Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? A+B P+C A,B P,C ?? D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? 1 P A B C x ? T D 2 P A B C x ? T P 3 D E F x ? M P F 4 D E x ? M Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x* Nível Numérico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro.

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? D+E P+F D,E P,F ?? Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? ? P 3 D E F x Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos) L x 4 10 Nível Numérico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Interesse deste capítulo Solução Ótima: Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4  demais dimensões.

INÍCIO DO CAPÍTULO

O seu contexto, na Engenharia de Processos é na Este Capítulo trata da ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA O seu contexto, na Engenharia de Processos é na Análise de Processos

OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.

Todo problema de Otimização encerra um conflito. A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes W kg B/h ? Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A (extrato) x kgB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Exemplo No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante. Com o aumento da vazão: 10 20 30 40 50 60 - aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita. R - aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional. C L,R,C $/a L = R - C Vazão ótima  Lucro máximo Lo=15,6 Wo = 1.973,6 1000 2000 3000 4000 5000 6000 W kg/h Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui. A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.

Problema de Dimensionamento Problema : quanto se deve fornecer de área de troca térmica e de água de resfriamento a um trocador de calor para resfriar a corrente 1 de 80oC a 25oC, utilizando água a 15oC e limitando a sua saída a 30oC. W4 = 60.000 kg/h A = 360 m2 W2 = 60.000 kg/h 1 3 2 4 W1*= 36.345 kg/h T1* = 80 oC T2* = 15oC W3 = 36.345 kg/h T3* = 25oC T4* = 30oC Este tipo de problema é chamado de Problema de Dimensionamento

Generalizando... W4 = 60.000 kg/h A = 360 m2 W2 = 60.000 kg/h 1 3 2 4 W1*= 36.345 kg/h T1* = 80 oC T2* = 15oC W3 = 36.345 kg/h T3* = 25oC T4* = 30oC 1 3 2 4 d Q3 C3* Q2 C2* Q1* C1* Q4 C4* As variáveis do problema podem ser classificadas em: Conhecidas: vazão e condição da corrente processada, condição da corrente auxiliar: W1* , T1* , T2* Metas (de projeto e operação): a serem atendidas à saída do equipamento: T3*, T4* Calculadas ou Incógnitas: calculadas para proporcionar as metas: dimensão e vazão da corrente auxiliar: A, W2

Ela decorre do fato de que um sistema de equações pode ser: Balanço de Informação O Balanço de Informação é uma análise prévia da consistência de um problema. Ela decorre do fato de que um sistema de equações pode ser: - inconsistente (sem solução) - consistente - determinado (solução única) - indeterminado (infinidade de soluções) Exemplo trivial: solução de um sistema de duas equações lineares y x y x coincidentes y x paralelas Inconsistente Consistente determinado Consistente indeterminado

O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema Os Graus de Liberdade (G) dependem dos seguintes elementos encontrados no sistema de equações: Número Total de Variáveis: V Número de Variáveis Especificadas: E = C + M C: Variáveis Conhecidas e M: Metas de Projeto Número de Incógnitas: I = V - E Número de equações independentes: N

Equações Independentes Não resultam da combinação das demais F,z1,z2 V,y1,y2 L,x1,x2 Ex.: em processos de separação: 1. F z1 = V y1 + L x1 2. F z2 = V y2 + L x2 3. z1 + z2 = 1 4. y1 + y2 = 1 5. x1 + x2 = 1 6. F = V + L Esse sistema é formado por 6 equações dependentes: qualquer uma pode ser obtida a partir das demais. Ex: Somando 1 + 2  F (z1 + z2) = V (y1 + y2) + L (x1 + x2). Usando 3, 4 e 5  F = V + L, que é a equação 6. As cinco primeiras formam um sistema de equações independentes. Elas são suficientes para resolver qualquer problema relativo ao sistema. A equação 6 torna-se supérflua para fins de resolução do problema, mas pode ser usada para conferir a solução obtida. É possível formar 6 conjuntos de 5 equações. Cada um deles constitui um sistema de equações independentes.

O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema . Os Graus de Liberdade (G) dependem dos seguintes elementos encontrados no sistema de equações: Número Total de Variáveis: V Número de Variáveis Especificadas: E = C + M C: Variáveis Conhecidas e M: Metas de Projeto Número de Incógnitas: I = V - E Número de equações independentes: N G = I – N = (V - E) – N = V - N - E

Explicando melhor através de alguns exemplos G = V - E - N Explicando melhor através de alguns exemplos

Sistema consistente determinado Exemplo 1 x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7m 1 2 3 C = 2 V = 7 E = 4 N = 3 M = 2 y x G = V - E - N = 7 - 4 - 3 = 0 Sistema consistente determinado Solução única

x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7m 1 2 3 y x

Metas insuficientes, incógnitas em excesso Exemplo 2 x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7 1 2 3 V = 7 C = 2 y x coincidentes E = 3 N = 3 M = 1 G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1 Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) (uma há que ser apresentada)

A variável escolhida é denominada variável de projeto. Para se obter uma das soluções, é preciso escolher uma das incógnitas e lhe atribuir um valor. x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7 1 2 3 Cabe ao projetista a liberdade de escolher essa incógnita e o seu valor. Por exemplo: x7. A variável escolhida é denominada variável de projeto. x4c x5c x1 x2 x3 x6m x7p 1 2 3 O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional.

A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado). x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7p 1 2 3 Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima). y x coincidentes Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima.

Sistema Inconsistente Excesso de metas ou de equações Não há solução Exemplo 3 1 2 3 x1 x2 x3m x4c x5c x6m x7m C = 2 y x paralelas V = 7 E = 5 M = 3 N = 3 G = V – E – N = 7 - 5 - 3 = - 1 Sistema Inconsistente Excesso de metas ou de equações Não há solução

Resumindo O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema: G = V – N - E (E = C + M). Em função dos Graus de Liberdade, o problema pode ser: - inconsistente (G < 0 : sem solução) - consistente - determinado (G = 0 : solução única) - indeterminado (G > 0 : infinidade de soluções  otimização) Problemas de dimensionamento podem ser determinados (G = 0) ou indeterminados (G > 0, otimização). Problemas de simulação são determinados (G = 0). (se impomos as entradas, a natureza não nos dá liberdade de escolha das saídas).

Insuficiência de metas gera graus de liberdade EM RESUMO Insuficiência de metas gera graus de liberdade Graus de liberdade geram multiplicidade de soluções A multiplicidade de soluções exige a busca da solução ótima A busca de solução ótima se dá por um processo de otimização

OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.

3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação. 3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável

3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos qualquer que seja a sua área de aplicação. 3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável

3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas) São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima. Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto. INCÓGNITAS L AVALIAÇÃO ECONÔMICA V d ,A e c r VARIÁVEIS DE PROJETO r,T 9 ,T 12 OTIMIZAÇÃO W 4 ,W 6 8 11 14 MODELO FÍSICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS 1 x ,x T 2 5 7 10 , t Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7 1 2 3 V = 7 C = 2 y x coincidentes E = 3 N = 3 M = 1 G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1 Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) Há que se escolher uma solução

x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7 1 2 3 x7p G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1 Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas. o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7 (variável de projeto). O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional e foi abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações).

Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto. A cada valor de x7p corresponde uma solução viável x1, x2, x3 e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado). x4c x5c x6m x7p 1 2 3 x1 x2 x3 Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima). x 7 m 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L p 100 200 300 400 500 Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima.

Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima ! x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7p 1 2 3 y x coincidentes

As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas. W kg B/h Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Exemplo: otimização do extrator Modelo Matemático 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, G = 1 (candidatas: x, y, W) W? x? y?

A solução ótima independe da variável de projeto escolhida Variável de Projeto: W 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo* 1 y x W 2 Q* xo* 1 y x W 2 Q* Wo = 1.972,3 xo = 0,01118 yo = 0,04472 Lo = 15,6 $/h xo = 0,01118 yo = 0,04472 Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h  0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 10 20 30 40 50 60 L,R,C $/a x kgAB/kg A L C R xo = 0, 01118 Lo = 15,6 R C 10 20 30 40 50 60 L,R,C $/a Lo=15,6 1000 2000 3000 4000 5000 6000 W kg/h Wo = 1.973,6 L = R - C

O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização Variável de Projeto: W 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo* 1 y x W 2 Q* xo* 1 y x W 2 Q* Escolha infeliz ! Sequência de cálculo cíclica Otimização com cálculo iterativo Escolha feliz ! Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y) Sequência de cálculo acíclica: 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

3 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 3.2 Critério Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução do problema

Minimização do Custo (produção fixa  Receita constante) 3.2 Critério A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério. O critério mais comum é econômico 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 Maximização do Lucro x7o 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 R C Minimização do Custo (produção fixa  Receita constante) x7o

Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade. A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo um outro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa. Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesos diferentes (otimização com objetivos múltiplos)

3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 3.3 Função Objetivo

3.3 Função Objetivo É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema. Pode assumir formas das mais simples às mais complexas. A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização. Pode ser classificada quanto à: (a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta. (b) Modalidade: unimodal, multimodal. (c ) Convexidade: côncava ou convexa.

3.3 Função Objetivo (a) Continuidade Função Contínua Função Contínua com descontinuidade na derivada Função Descontínua Função Discreta Os parâmetros da função dependem da faixa de x A função só existe para valores inteiros de x

Função Unimodal em 2 Dimensões Função Unimodal em 1 Dimensão 3.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Unimodal em 2 Dimensões Função Unimodal em 1 Dimensão

Incerteza quanto ao ótimo global 3.3 Função Objetivo (b) Modalidade B: mínimo local F: mínimo global C: ponto de sela C, E: máximos locais A: máximo global B, D: mínimos locais F: mínimo global Função Bimodal em 2 Dimensões Função Bimodal em 1 Dimensão Incerteza quanto ao ótimo global

x1 x2 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y y[(1-a) x1 + a x2] 0,5 0,4 (1-a) y(x1) + a y(x2) 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x1 x2 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 x Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)

limite inferior para o máximo 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y y[(1-a) x1 + a x2] 0,5 0,4 (1-a) y(x1) + a y(x2) limite inferior para o máximo 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x1 x2 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 x

limite superior para o mínimo 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y 0,5 0,4 0,3 (1-a) y(x1) + a y(x2) limite superior para o mínimo 0,2 0,1 y[(1-a) x1 + a x2] 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x2 x1 x 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada da função no ponto extremo.

Valores Característicos Equação Característica 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus Valores Característicos que são as raízes da sua Equação Característica

Os Valores Característicos são as raízes desta equação. Para uma função qualquer de duas variáveis para a qual existem as derivadas primeiras e segundas, existe uma Matriz Hessiana Equação Característica: 2 – (f11 + f22)  + (f11f22 – f12f22) = 0 Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Ilustração com Funções Quadráticas (simetria) Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes

1 > 0 : 2 > 0 1 < 0 : 2 < 0 1 < 0 : 2 < 0 estritamente convexa convexa estritamente côncava côncava ponto de sela  1 , 2 H ( x ) f ( > 0 , > 0 positiva definida = 0 positiva semi-definida < 0, < 0 negativa definida negativa semi-definida indefinida 1 > 0 : 2 > 0 1 < 0 : 2 < 0 1 < 0 : 2 < 0 1 > 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 = 0

Exemplo de uma função não quadrática

Dimensionamento de 2 extratores em série 1 2 Q = 10.000 kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Escrevendo o Lucro em função de x1 e x2 Variáveis de Projeto: x1 e x2 1 2 Q = 10.000 kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Escrevendo o Lucro em função de x1 e x2 x1 d cx2 b a L - = x2

Exemplo de Função Não-Quadrática (Lucro de 2 extratores em série) 1 x d cx b a L - =

3.3 Função Objetivo Função Bimodal em 2 Dimensões Ponto A: x1 = -1 : x2 = 1 : f = 0 1 = 10,6 : 2 = 3,4 Ponto B: x1 = 2 : x2 = 4 : f = 1.5 1 = 37 : 2 = 1 Ponto C : x1 = 0,6 : x2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3

3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 3.1 Variáveis de Decisão 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.5 Região Viável 3.4 Restrições

3.4 Restrições São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo. Há dois tipos de restrições: (a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático. (b) restrições de desigualdade: g (x)  0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto

Enunciado Formal de um Problema de Otimização Exemplo: otimização do extrator Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto s.a.: g(x)  0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade Max L(x) = R - C s.a.: g(x) = x - xo  0 h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0 h2 (x) = y - k x = 0 W kg B/h Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA

A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

(a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva) g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0 Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B

Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B C é um máximo local g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B (restrições compatíveis) g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

Solução irrestrita: A Solução restrita: impossível ( restrições incompatíveis) g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

(b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 1.0 0,8 0,6 0,4 B A g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : B g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : A 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 1.0 0,8 0,6 0,4 B A g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : A g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g (x) 2 1 B Solução irrestrita : A Solução restrita : B g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g (x) 1 2 C Solução irrestrita: A Solução restrita : C g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g (x) 1 2 Solução irrestrita: A Solução restrita : A g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g (x) 1 2 Solução impossível Restrições incompatíveis g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável

Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala 3.5 Região Viável Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima. h(x) = 0 g(x)  0 x1 x2 x3 Max f(x) s.a.: h(x) = 0 g(x)  0 Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x)  0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0) Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala

A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização 3.5 Região Viável Convexidade 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 1 g (x) 3 A B Região Convexa Qualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região. A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

É o maior desafio da otimização 3.5 Região Viável Convexidade 2 1 g (x) x (x 2) 4  = + - 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 1 g (x) 3 B A Região Não - Convexa A reta que une A e B não permanece contida na região A não-convexidade não garante a convergência dos métodos de otimização É o maior desafio da otimização

Restrições podem ser lineares: x1 – 0,02  0 x2 – x1  0

OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.

Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais 4. Localização da Solução Ótima Localização de valores extremos na faixa x1  x  x2 5 10 15 20 1 2 3 4 x f(x) m M x1 x2 Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo. Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais

OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.

5. PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podem ser classificados: (a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis (b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos Os métodos de resolução podem ser classificados: (a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas. (b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.

ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

Exemplo: dimensionamento do extrator 6. MÉTODO ANALÍTICO 6.1 Problemas univariáveis Exemplo: dimensionamento do extrator W kg B/h Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = pAB W y C = pB W pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Restrições de Igualdade !!! Sequência de Cálculo x y W 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o Variável de Projeto : x  Equações ordenadas 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y Restrições de Igualdade !!!

Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadas à Função Objetivo (viável em problemas simples) x 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y L = pAB W y - pB W y, W L L = a - b x - c/x x L a = Q (pAB xo + pB / k) = 105 b = pAB Q = 4.000 c = pB Q xo / k = 0,5

Busca do ponto estacionário: L = a - b x - c/x 60 Busca do ponto estacionário: x b dL dx c o = - + 2 01118 , 50 R Solução completa do problema: 40 yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h C L,R,C 30 $/a 20 L o = 15,6 L 10 x o =0, 01118 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 x kgAB/kg A

OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.

6. MÉTODO ANALÍTICO 6.2 Problemas multivariáveis Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série 1 2 Q = 10.000 kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Variáveis de Projeto: x1 e x2 W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * * 2 * * 3 * * * * 4 * * Modelo Matemático 1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Ordenação W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x 2 x o 3 x o x x 4 x o Equações Ordenadas 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 Variáveis de Projeto: x1 e x2

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 L = R – C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2 Buscando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o = (d/b) x12 = 0,00921 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 Solução completa: y1o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2o = 1.184 kgB/h Co = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

ALERTA!

DIMENSIONAMENTO ÓTIMO Resultado pelo Método Analítico: x1 e x2 manipuladas simultaneamente 1 2 Q = 10.000 kgA/h xo = 0,02 kgAB/kgA W1 = 1.184 kgB/h W2 = 1.184 kgB/h x1 = 0,01357 kgAB/kgA x2 = 0,00921 kgAB/kgA y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368 Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

Solução Ótima no Plano Fase 0,020 0,018 4,0 2,0 8,0 0,016 6,0 0,014 10 16 14 0,012 X 19,5 18 0,010 0,00921 2 0,008 0,006 12 0,004 0,01357 0,002 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 X 1

DIMENSIONAMENTO COM G = 0 Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A rafinado x1 * = 0,015 kgAB/kgA W1 kg B/h ? y1 kg AB/kg B ? extrato W1 kg B/h Q * = 10.000 kgA/h y2 kg AB/kg B ? W2 kg B/h x2 * = 0,008 kgAB/kg A W2 kg B/h ? 1 2 alimentação Modelo Físico 1. Q* (xo* - x1 *) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 * = 0 3. Q * (x1 * - x2 *) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 * = 0 Balanço de Informação V = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2* = 0,008 2,0 4,0 6,0 8,0 10 12 14 16 18 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,002 0,004 0,006 0,008 0,012 0,014 0,016 0,018 X 2 1 17,8 19,5

OTIMIZAÇÃO SEQUENCIAL Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois subproblemas univariáveis: otimizar o primeiro estágio  x1o utilizar o valor ótimo x1o na otimização do segundo estágio. Vejamos o resultado...

( ) ( ) imposição! L p kx a b c k 105 4. 000 5 0111803 15 56 = - + . , Q * x o W y ( ) L p kx a b c k ab 105 4. 000 5 0111803 15 56 = - + . , $ / Q * x W y 2 1 ( ) L p kx a b c k ab o 69 72 4 000 2795 008359 84 = - + , . $ / imposição! Solução ótima do Estágio 1 Solução ótima do Estágio 2

O segundo estágio foi otimizado para x1 = 0,01118 2 Q = 10.000 kgA/h xo = 0,02 kgAB/kgA W1 = 1.972 kgB/h W2 = 843 kgB/h y1 = 0,04472 kgAB/kgA y2 = 0,03344 kgAB/kgA x2 = 0,008359 kgAB/kgA x1 = 0,01118 kgAB/kgA Resultando: Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815 Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

A busca de x2o ficou restrita a x1 – 0,01118 = 0 Obviamente, não é a solução ótima

Comparando as duas soluções...

A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea Solução Simultânea Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368 Lucro $/a 13,87 5,61 19,48 Solução Seqüencial Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815 Lucro $/a 15,56 2,84 18,40 Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que consome menos solvente mas recupera menos soluto. A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea

EXERCÍCIOS