PARTIÇÃO DE BENDERS Secundino Soares Filho Unicamp

INTRODUÇÃO Método para otimização de problemas mistos e de grande dimensão Minimizar s.a. variáveis reais variáveis “cri-cri” (zero – um, inteira, etc)

INTRODUÇÃO Idéia Particionar (decompor) (1) em dois problemas independentes

Hipótese: (1) tem solução ótima finita PROJEÇÂO: Vamos projetar (1) sobre as variáveis Y MIN O mínimo é dado pelo PL: (MIN) PRIMAL

Note que para algum é possível que (3) seja infactível Vamos procurar uma condição em que (3) seja sempre factível Vamos tomar o dual de (3). Seja a variável dual (MAX) SUBPROBLEMA

Devido a hipótese (1), esta forma dual do subproblema é sempre factível, como garante a teoria da Dualidade em Programação Linear: O primal (dual) é factível se o seu dual (primal) tem solução ótima finita dual (MAX) primal (MIN) ótimo

Sejam os pontos extremos e os raios extremos de Então, como RESULTADO da teoria de dualidade, o primal (3) é factível se o dual (4) tem solução ótima finita, ou seja, se A condição (5) assegura que o dual (4) é sempre finito o primal (3) é sempre factível

EXEMPLO

A restrição garante solução ótima finita para o dual (4). Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DA DUALIDADE (1), o dual (4) e o primal (3) têm solução ótimas iguais Então MIN

é equivalente a MIN Sujeito a:

O problema (6) é equivalente a MIN Sujeito a: Pois o MÁXIMO é o menor limite superior. Note que (7) é equivalente a (1)

RESOLUÇÃO DE (7) (7) tem um grande número de restrições que não são conhecidas a priori IDÉIA: Usar RELAXAÇÃO. Ou seja, construir um problema mestre relaxado com somente algumas restrições, e aplicar a estratégia da RELAXAÇÃO. PROBLEMA MESTRE RELAXADO MIN s.a.

Seja uma solução ótima de (8). Dois casos são possíveis: Se satisfaz todas as restrições de (7), então é solução ótima de (7), e portanto solução de (MIN) são a solução ótima de (1).

2) Se viola alguma restrição de (7), então a solução não é ótima. Violação:

A restrição mais violada é aquela que (MAX) (9) é equivalente a (4) (MAX) SUBPROBLEMA

Seja uma solução ótima finita do subproblema (4). Então, a restrição mais violada a ser acrescentada ao programa mestre é: Caso (4) seja ilimitado, a restrição mais violada é do tipo raio extremo Com sendo um raio extremo de (4).

CONCLUSÃO: O sub-problema serve para testar a factibilidade/otimalidade de uma proposta do problema mestre.

ESQUEMA DA DECOMPOSIÇÃO Gera propostas de PROBLEMA MESTRE PROBLEMA NA VARIÁVEL SUB-PROBLEMA PROBLEMA NA VARIÁVEL Testa as propostas do mestre

ESQUEMA DA DECOMPOSIÇÃO ALGORITMO • Note que a resolução de um problema mestre relaxado (8) fornece um valor ótimo que é um limitante inferior (LI) do problema original (1). Por quê? (Note que a seqüência é monótona não decrescente). • Note que o valor ótimo fornecido pela resolução de um subproblema (4) para um fixo e adicionado do valor fornece um limitante superior (LS) do problema original (1) (se for melhor que a “incumbente” – melhor solução até o momento)

RESOLVA O SUBPROBLEMA (4) PARA OBTER LS =  LI = -  SELECIONE UM VALOR INICIAL PARA INÍCIO RESOLVA O SUBPROBLEMA (4) PARA OBTER MELHOROU LS? SE SIM, CORRIJA O VALOR DE LS GERE UMA NOVA RESTRIÇÃO PARA O PROBLEMA MESTRE: — DE PONTO EXTREMO — DE RAIO EXTREMO RESOLVA UM PROBLEMA MESTRE PARA OBTER NOVO LI NÃO LS=LI SIM RESOLVA O SUBPROBLEMA PARA E OBTENHA FIM

BIBLIOGRAFIA [1] Benders, J. F., “Partitionning Procedures for Solving Mixed-Variables Programming Problems”, Numerische Mathematik, 4, 238-252, 1962. [2] Salkin, H. N., “Integer Programming”, Addison Wesley Publ. Co., 1975. [3] Hu, T. C., “Integer Programming and Network Flows”, Addison Wesley Publ. Co., 1969. [4] Geoffrion, A. M., “Generalized Benders Decomposition”, Journal of Optimization Theory and Application, 10, 237-260, 1972.

ED-15 Resolver o problema abaixo aplicando o método de Benders Minimizar s.a. (P1) Solução: Projetando P1 sobre a variável , temos:

ED-15 Minimizar s.a. (P2) Temos o seguinte sub-problema primal (SPP)

ED-15 O dual (SPP) é: Maximizar s.a. (SPP) 4 pontos extremos O politopo das restrições do dual é limitado e, portanto, não possui raio extremo.

ED-15 O problema P2 pode ser reescrito como: Minimizar s.a. (P3) Escrevendo o sub-problema em função dos pontos extremos do politopo do dual, temos: (P4) np = número total de pontos extremos

ED-15 P4 é equivalente ao problema Minimizar s.a. Problema mestre Supondo que não conhecemos os pontos extremos, vamos aplicar a estratégia de relaxação: Minimizar s.a.

ED-15 Inicialização: Iteração 1: Problema mestre 1: (irrestrito) Minimizar A solução é:

ED-15 Sub-problema 1 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

ED-15 Calculando o valor da função objetivo da solução: A restrição mais violada do problema mestre é: (1) Note que a solução viola (1)

ED-15 Iteração 1: Problema mestre 2: Minimizar s.a. (1) A solução é:

ED-15 Sub-problema 2 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

ED-15 Calculando o valor da função objetivo da solução: A restrição mais violada do problema mestre é: (2) Note novamente que a solução viola (2)

ED-15 Iteração 3: Problema mestre 3: Minimizar (2) s.a. (1) A solução é:

ED-15 Sub-problema 3 Minimizar s.a. Resolvendo pelo método simplex:

ED-15 Calculando o valor da função objetivo da solução: A solução ótima é: