Profa. Silvia Modesto Nassar ARITMÉTICA DIFUSA Números Difusos e Intervalos Difusos Operações Aritméticas Difusas método clássico princípio da extensão Operações binárias: MÍNIMO e MÁXIMO Modelos Difusos Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Profa. Silvia Modesto Nassar NÚMEROS DIFUSOS Seja A um conjunto difuso definido para o conjunto R dos números reais da seguinte forma: A : R  [0 ; 1] sob determinadas condições A é qualificado como um número difuso. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

NÚMEROS DIFUSOS: condições Seja o conjunto difuso A e R o conjunto dos números reais de tal forma que: A : R  [0 ; 1] Se A possuir as seguintes propriedades então A é qualificado como um número difuso: A deve ser um conjunto difuso NORMAL A deve ser um INTERVALO FECHADO para todo   (0 ; 1] O SUPORTE de A, 0+A, deve ser limitado. Propriedades: 1) A deve ser um conjunto normal : pretende-se trabalhar com o conceito de um conjunto de números reais proximo de r, onde r pertence totalmente ao conjunto ª 2) O suporte limitado de um número fuzzy e todos os seus -cuts para 0 devem ser intervalos fechados para permitir que sejam definidas operações aritméticas sobre números fuzzy em termos das operações aritméticas clássicas Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Números Difusos: exemplos A(x) 1 a R A(x) 1 a1 a a2 A = {número real crisp} A = {APROXIMADAMENTE a} Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Números Difusos: exemplos A(x) 1 a R A(x) 1 a Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Número Difuso: Função de Pertinência A é um número difuso SSE existe um intervalo fechado [a ; b]   tal que: 1 para x  [a ; b] s(x) para x  (- ; a) r(x) para x  (b ;) A(x) = Onde: s é uma função de (-; a) para [0; 1] monotonicamente crescente contínua à direita s(x)=0 para x (-; a1) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Números Difusos: convexidade Se A é um número difuso então A é um conjunto difuso convexo. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Intervalos Difusos: exemplos A(x) 1 a b R A(x) 1 a1 a b b1 Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Intervalos Difusos: exemplos A(x) A(x) 1 1 a b R a b R Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Intervalos Difusos: Variáveis Lingüísticas Variáveis Difusas Quantitativas Variáveis Lingüísticas classes de uma VDQ conceitos lingüísticos Intervalos Difusos Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Intervalos Difusos: variáveis lingüísticas Baixo Médio Alto Altura(cm) a1 a2 a3 a4 1 Grau de Pertinência Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Números Difusos: propriedades Cada conjunto difuso, e em conseqüência cada número difuso, pode ser unicamente e totalmente representado por seus -cuts -cuts de números difusos são intervalos fechados para todo  (0 ; 1] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas : métodos Há dois métodos para operações aritméticas em números difusos: aritmética de intervalos clássica princípio da extensão Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas Difusas: definição Suposição: os números difusos são representados por funções de pertinência contínuas. Sejam A e B números difusos e  alguma das quatro operações aritméticas básicas então: o conjunto difuso resultante da operação A*B é definido por seus -cuts da seguinte forma:  (A*B) = A*  B para    (0;1] Quando *=/ supõe-se ainda que 0B   (0;1] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas: A*B O conjunto difuso resultante da operação A*B pode ser expresso da seguinte forma: Método Clássico: UNIÃO FUZZY PADRÃO A*B =   (A* B)   (0;1] Princípio da Extensão: onde a FUNÇÃO DE PERTINÊNCIA é definida por (A*B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ] z = x*y Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas: exemplo Seja A um número difuso definido por A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2} calcule (A+A). Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas Clássicas:intervalos Sejam os intervalos [a,b] e [c,d] então: [a,b]+[c,d] = [a+c , b+d] [a,b]-[c,d] = [a-d , b-c] [a,b].[c,d] = [min (ac,ad,bc,bd), max (ac,ad,bc,bd)] [a,b]/[c,d] = [min (a/c,a/d,b/c,b/d), max (a/c,a/d,b/c,b/d)] para 0  [c,d] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operação Aritmética - Adição: exemplo Calcule a soma dos números difusos, A e B, definidos por: (x+2)/2 para -2 x 0 (2-x)/2 para 0 x 2 0 para outros valores A(x) = (x-2)/2 para 2 x 4 (6-x)/2 para 4 x 6 0 para outros valores B(x) = Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas Clássicas:intervalos Sejam os intervalos A=[a1,a2] ; B=[b1,b2] ; C=[c1,c2] e 1=[1,1] então: Comutatividade: A+B=B+A e A . B=B . A Associatividade: (A+B)+C=A+(B+C) e (A.B).C=A.(B.C) Identidade: A=0+A=A+0 e A.1=1.A Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas Clássicas: intervalos Subdistributividade: A.(B+C)  A.B+A.C Distributividade: se b.c  0 para  b  B e  c  C então A.(B+C)  A.B+A.C 0  A-A e 1  A/A Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas Clássicas Se AC e BD A+B  C+D A-B  C-D A.B  C.D A/B  C/D (monotonicamente inclusive) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações Aritméticas : função de pertinência Existem algoritmos para obter a função de pertinência: algoritmo DSW (Dong, Shah e Wong, 1985) algoritmo DSW Modificado (Givens a Tahani, 1987) Ross, TJ. Fuzzy Logic with Engineering Applications. McGraw-Hill, 1995. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações de MÍNIMO e MÁXIMO Números Reais Números Difusos Notação: min max Números Reais MIN MAX Números Difusos Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações de MÍNIMO e MÁXIMO: clássica Números Reais: para todo par (x,y)  R x se x  y y se y  x min (x, y) = y se x  y x se y  x max (x, y) = Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operações de MÍNIMO e MÁXIMO: Difusa Números Difusos: a função de pertinência é definida por MIN (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ] z = min( x, y) MAX (A , B) (z) = sup min [ A(x) , B(y) ] z = max( x, y) Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Operação MÍNIMO: exemplo Sejam A e B números difusos definidos por A = { 0.2/ 0 + 1/1 + 0.2/2} B = { 0.1/ 1 + 1/2 + 0.1/3} calcule MIN(A,B). Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO: propriedades Comutatividade MIN (A,B) = MIN(B,A) e MAX (A,B) = MAX(B,A) Associatividade MIN[MIN (A,B), C] = MIN[A, MIN(B,C)] MAX[MAX (A,B), C] = MAX[A, MAX(B,C)] Distributividade MIN[A, MAX (B, C)]= MAX[MIN(A,B), MIN(B,C)] MAX[A, MIN (B, C)]=MIN[MAX(A,B), MAX(B,C)] Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

MÍNIMO e MÁXIMO DIFUSO: propriedades Idempotência MIN (A,A) = A MAX (A,A) = A Absorção MIN[A, MAX (A,B)] = A MAX[A, MIN (A,B)] = A Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Profa. Silvia Modesto Nassar Modelos Difusos os modelos são construídos com operações aritméticas difusas os coeficientes são números difusos desconhecidos Dr. Profa. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br