Estatística 3 - Probabilidades

Exemplo 1 – Espaço Amostral ESPAÇO AMOSTRAL: S Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação EVENTO : A Sub-conjunto de resultados possíveis Experimento: Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior. Seja: x1 = número da face superior do 1º dado x2 = número da face superior do 2º dado. (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Espaço Amostral “S”:

Exemplo 1 – Operações B A S A B a) Intersecção de eventos: Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A S A B

Exemplo 1 – Operações B A S A B a) União de eventos: Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A S A B

Exemplo 1 – Operações B B S B a) Evento complementar: Consideremos o evento: B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B B S B

Exemplo 1 – Operações E F S E F a) Eventos excludentes: Consideremos os eventos: E= x1=x2 = 1 = {(1,1)} F = x1+x2 = 5 = {(1,4) , (2,3), (3,2), (4,1)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) E F S E F

Probabilidades ESPAÇO AMOSTRAL: S Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação EVENTO : A Sub-conjunto de resultados possíveis FUNÇÃO PROBABILIDADE: P P : S [ 0, 1 ] PROBABILIDADE: onde m = número de resultados favoráveis ao evento A n = número de resultados possíveis

Exemplo 1 – Propriedades a) Intersecção de eventos: Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A

Exemplo 1 – Propriedades a) União de eventos: Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A Propriedades:

Exemplo 1 – Propriedades a) União de eventos: Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A

Exemplo 1 – Propriedades a) Evento complementar: Consideremos o evento: B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B Propriedade:

Exemplo 1 – Operações E F Propriedades: a) Eventos excludentes: Consideremos os eventos: E= x1=x2 = 1 = {(1,1)} F = x1+x2 = 5 = {(1,4) , (2,3), (3,2)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) E F Propriedades:

Exercício A B B A C 9 14 16 21 8

Um escritório tem 70 projetos, dos quais 35 utilizam o software A 15 6 C 10 A 4 5 10 12 B Um escritório tem 70 projetos, dos quais   35 utilizam o software A 31 utilizam o software B 25 utilizam o software C

Exemplo 1 – Probabilidade Condicionada Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior: Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado. ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Consideremos os eventos: A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}={(4,6),(5,5),(6,4)} B = {(x1, x2) | x1 > x2} = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} B A P(A) = 3/36 P(B) = 15/36 P(A  B) = 1/36

Probabilidade Condicionada Experimento: Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior: Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado. A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x1, x2) | x1 > x2} ESPAÇO AMOSTRAL S A Ocorreu o evento B P(A/B)=? ESPAÇO AMOSTRAL S A Ocorreu o evento B P(A|B)=1/15

Probabilidade Condicionada A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36 B A P(A  B) = 1/36 Propriedade

Probabilidade Condicionada A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36 ESPAÇO AMOSTRAL S B Ocorreu o evento A P(B/A)=? B Ocorreu o evento A P(B|A)=1/3

Probabilidade Condicionada A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36 B A P(A  B) = 1/36 Propriedade

Eventos Independentes Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x1 , x2) | x1 é par} B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6} B A P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A  B)=6/36=1/6 Observação : A , B são eventos independentes, não relacionados “Saber que A ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocorrência de B ”

Eventos Independentes Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x1 , x2) | x1 é par} B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6} Ocorreu o evento A P(B/A)=? Ocorreu o evento A P(B|A)=6/18=1/3 P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A  B)=6/36=1/6

Eventos Independentes Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x1 , x2) | x1 é par} B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6} Ocorreu o evento B P(A/B)=? Ocorreu o evento B P(A|B)=6/12=1/2 P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A  B)=6/36=1/6

Eventos Independentes No exemplo : P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A  B)=6/36=1/6 Define-se : A , B são eventos independentes

Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada Num lote de 100 peças , temos : 20 Defeituosas 80 Não defeituosas Escolhemos 2 peças , ao acaso: com reposição sem reposição Consideremos os eventos : A={primeira peça é defeituosa} B={segunda peça é defeituosa} COM REPOSIÇÃO: Espaço amostral Probabilidade Evento DD 1/5*1/5=1/25 DN 1/5*4/5=4/25 ND 4/5*1/5=4/25 NN 4/5*4/5=16/25 Espaço amostral Probabilidade DD 1/5*1/5=1/25 DN 1/5*4/5=4/25 ND 4/5*1/5=4/25 NN 4/5*4/5=16/25

Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada Num lote de 100 peças , temos : 20 Defeituosas 80 Não defeituosas Consideremos os eventos : A={primeira peça é defeituosa} B={segunda peça é defeituosa} Pede-se : P(A) e P(B) COM REPOSIÇÃO:

Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada CASO SEM REPOSIÇÃO Espaço amostral Probabilidade Evento DD 20/100*19/99= =19/495 DN 20/100*80/99= =80/495 ND 80/100*20/99= NN 80/100*79/99= =316/495 A B

Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada CASO SEM REPOSIÇÃO Espaço amostral Probabilidade Evento DD 20/100*19/99= =19/495 DN 20/100*80/99= =80/495 ND 80/100*20/99= NN 80/100*79/99= =316/495 Eventos A e B não são independentes

Probabilidades Eventos: A, B são EXCLUDENTES ? NÃO: SIM: Eventos: A, B são INDEPENDENTES ?