Estatística Básica Utilizando o Excel Delamaro e Marins 5a. Aula – Distribuições de Probabilidade - Contínuas Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Tópicos Distribuição Normal Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida Avaliando a Normalidade dos Dados Distribuição Exponential Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Variável Aleatória Contínua Uma Variável Aleatória Contínua é uma variável que pode assumir valores num intervalo definido. Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas Tempo para realizar uma tarefa Taxas Financeiras Pesos (volumes) de produtos Distância entre dois pontos Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Distribuição de Probabilidades Contínuas A Distribuição de Probabilidades de uma Variável Aleatória Contínua é representada por uma função densidade de probabilidade f(X) que define uma curva. Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Função Densidade de Probabilidade Propriedades f(X)  0, para todo X Contínuas Discretas 0  P(X=x)  1 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Distribuição de Probabilidades Discretas versus Contínuas (a) Distribuição de Probabilidades Discreta (b) Função Densidade de Probabilidade f(X) P(X) x x Valores possíveis de X Valores possíveis de X © 2002 Prentice-Hall, Inc. Maio/2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 6

Distribuição Normal “Em forma de Sino” Unimodal Simétrica 50% “Em forma de Sino” Unimodal Simétrica Média, mediana e moda são iguais Assintótica em relação ao Eixo X Amplitude Interquartil é 1,33 s f(X) X Q1  Q3 Média, Mediana Moda Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Modelo Matemático X: valores da variável aleatória ( ) F(X):função densidade probabilidade da variável aleatória X : média da população : desvio padrão da população Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Distribuição Normal Variando os parâmetros  e , obtém-se diferentes formas de distribuições normal Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Cálculo de Probabilidades Probabilidade é a área sob a curva! f(X) X c d Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Cálculo de Probabilidades P(- < X < + ) Qual a área total abaixo da curva? f(X) Área = 1 X Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Qual Tabela usar? Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par  e ! Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Solução: Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida Distribuição Normal Padronizada Tabela (Parte) .02 Z .00 .01 0,5478 0.0 .5000 .5040 .5080 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 Probabilidades Z = 0,12 0.3 .6179 .6217 .6255 Uma única Tabela basta! Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Distribuição Normal Padronizada Valor da V. A. Normal Z Padronizada: onde: x = valor da V. A. Normal X  = Desvio padrão da V. A. Normal X  = Média da V. A. Normal X z = valor padronizado de x (número de desvios padrão com relação à Média) © 2002 Prentice-Hall, Inc. Maio/2003 FEG/UNESP 7 CONFAB INDUSTRIAL 13

Z: Distribuição Normal Padronizada Exemplo Z: Distribuição Normal Padronizada X: Distribuição Normal Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Z: Distribuição Normal Padronizada Exemplo: Z: Distribuição Normal Padronizada X: Distribuição Normal Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Exemplo: (continuação) Distribuição Normal Tabela (Parte) Z .00 .01 .02 0,5832 0.0 .5000 .5040 .5080 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 Z = 0,21 0.3 .6179 .6217 .6255 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Exemplo: (continuação) Distribuição Normal Tabela (Parte) Z .00 .01 .02 0,4168 -03 .3821 .3783 .3745 -02 .4207 .4168 .4129 -0.1 .4602 .4562 .4522 Z = -0,21 0.0 .5000 .4960 .4920 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Distribuição Normal Padronizada Exemplo: Distribuição Normal Padronizada Distribuição Normal Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Exemplo: (continuação) Distribuição Normal Tabela (Parte) Z .00 .01 .02 0,6179 0.0 .5000 .5040 .5080 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 Z = 0,30 0.3 .6179 .6217 .6255 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Encontrando Valores de Z para Probabilidades conhecidas Distribuição Normal Tabela (Parte) Qual é Z associado à Probabilidade= 0,6217 ? .01 Z .00 0.2 0.0 .5000 .5040 .5080 0,6217 0.1 .5398 .5438 .5478 0.2 .5793 .5832 .5871 0.3 .6179 .6217 .6255 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Recuperando Valores de X para Probabilidades Conhecidas Distribuição Normal Padronizada Distribuição Normal Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Avaliando Normalidade Na prática é importante saber avaliar quanto (quão bem) um conjunto de dados pode ser adequadamente aproximado por uma distribuição normal Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Avaliando Normalidade (continuação) Construir gráficos Para conjuntos pequenos ou moderados de dados, o stem-and-leaf display e o box-and-whisker plot apresentam simetria? Para conjuntos com muitos dados, o histograma ou o polígono apresentam a forma de sino? Calcular medidas descritivas dos dados A média, mediana e moda têm valores similares? A amplitude interquartil é aproximadamente 1,33 s? Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Uniform Probability Distribution Distribuição de Probabilidades Uniforme A Distribuição Uniforme é uma distribuição de probabilidades na qual a probabilidade de ocorrer um valor entre dois pontos, a e b, é a mesma de ocorrer um valor entre dois outros pontos, c e d, se a distância entre a and b é igual a distância entre c e d. Uniform Probability Distribution © 2002 Prentice-Hall, Inc. Maio/2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 24

Distribuição de Probabilidades Uniforme onde: f(x) = Função Densidade de Probabilidade de X a = Limite Inferior de intervalo de definição de X b = Limite Superior de intervalo de definição de X Parâmetros:  = (a+b)/2 e 2 = (b – a)2/12 © 2002 Prentice-Hall, Inc. Maio/2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL 25

Distribuição de Probabilidades Uniforme para 3  x  8 para 2  x  5 f(x) f(x) 0,33 0,20 2 5 3 8 a b a b Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Cálculo de Probabilidades na Uniforme P(3  X  5) = ? para 2  x  5 f(x) P(3  X  5) = (5 – 3)/(6 – 1) = 2/5 = 0,4 0,50 0,25 1 6 3 5 a b Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Distribuição de Probabilidades Exponencial T: valores da variável aleatória contínua = intervalo entre chegadas, com e = 2,71828 P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e-t : taxa média de chegadas 1/ : intervalo médio entre chegadas Exemplos: Carros chegando num pedágio; Clientes chegando num caixa eletrônico Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Distribuição de Probabilidades Exponencial (continuação) Usada para estudos de Sistemas de Filas Função densidade de probabilidade Parâmetros Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Distribuição de Probabilidades Exponencial Lambda = 3,0 (Média = 0,333) f(x) Lambda = 2,0 (Média = 0,5) Lambda = 1,0 (Média = 1,0) Lambda = 0,50 (Média = 2,0) Valores of X Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL

Exemplo Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de Operários ser maior que 5’ ? = 30 e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas P(intervalo entre chegadas > t) = 1 – P(intervalo entre chegadas  t) = 1 – (1 – e-30.0,0833) = 0,0821 Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL