Modelo de Transporte com Baldeação Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia – Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br

Introdução Neste modelo de transporte mais geral há a possibilidade de um nó da rede não ser nem origem nem destino, ou seja, a demanda (ou produção) nele é nula (bi = 0). Esse tipo de nó recebe o nome de nó de transbordo. Apresenta-se a seguir um algoritmo proposto por Alex Orden que estende a abordagem feita para o modelo de transporte simples (“Stepping Stone Method”) de forma que seja permitida a ocorrência de baldeação do produto por qualquer nó da rede. A idéia do método consiste em admitir que em cada nó haja um “estoque fictício” do produto que seja capaz de viabilizar qualquer plano de entregas do produto na rede.  

Introdução Assim todo nó será subdividido em dois: um nó tipo origem e outro nó tipo destino, com um fluxo interno de produto entre eles.  

Modelo de Transporte com Baldeação Modelagem: transportar um produto a partir de m origens (com produções ai) para n destinos (com demandas bj).  Todo nó será considerado tanto como origem como por destino. Numerar de 1 até m as origens reais e de m + 1 até m + n os destinos reais.  Nas origens reais têm-se: (produto enviado) – (produto recebido) = produção local. Nos destinos reais têm-se: (produto recebido) – (produto enviado) = demanda local.  

Modelo de Transporte com Baldeação Admite-se que: Variáveis de decisão: Xij = Quantidade do produto enviada da origem i para o destino j. Função objetivo: Min Z= Sujeito a: Esse modelo não pode ser resolvido pelo “Stepping Stone Method”, pois há coeficientes negativos nas restrições.

Modelo de Transporte com Baldeação Desenvolvimento do algoritmo: Seja ti a quantidade do produto baldeada no nó i. Assim: Nas origens reais   Nos destinos reais: Tem-se portanto, as seguintes equivalências:  (1’):  (2’): Seja Ci o custo da baldeação do produto no nó i. Função objetivo: Min Z=

Modelo de Transporte com Baldeação Para cada nó: T = ti + Xii, onde Xii é o valor da baldeação interna nos nós. Substituindo T = ti + Xii em (1’) e (2’): para i = 1 até m+n e j = 1 até m+n. (1’’): (2’’):  

Modelo de Transporte com Baldeação Ou ainda, se Ci=Cii=0 tem-se: Min Z= Sujeito a: Observe que ai=bj= 0 para i=m+1 até m+n e j até m. Este modelo pode ser resolvido pelo “Stepping Stone Method”. Seja T = Limitante superior sobre todas as quantidades baldeadas nos nós = estoque fictício em cada nó suficientemente grande para assegurar a realização de qualquer plano de entregas do produto. Normalmente utiliza-se o valor de T = .

Modelo de Transporte com Baldeação Comentário: número de variáveis básicas = m’ + n’ – 1, onde m’ = nº total de origens = m + n, n’ = nº total de destinos = m + n. Tabela típica para a aplicação do “Stepping Stone Method” ao problema de transporte com baldeação com m origens e n destinos.

Modelo de Transporte com Baldeação Exemplo: admitindo a possibilidade de baldeação, determinar o programa de entregas de custo mínimo para os dados a seguir. Considere os seguintes custos de baldeação: O1O2= 1, O2O1 = 2, D1D2 = 2, D1D3 = 1 = D3D1, D2D3 = 2, D2D1 = 4, D1O1 = 3, D1O2 = 1, D3D2 = 5, D2O1 = 2, D2O2 = 3, D3O1 = 3, D3O2 = 2. Observação: se não fosse admitida a possibilidade de baldeação a solução ótima Z* = 56, com X*11 = X*13=X*21=0, X*12=5, X*21=2 e X*23=4. D1 D2 D3 Produção O1 6 4 5 O2 Demanda 2 11

Modelo de Transporte com Baldeação Tabela inicial. Custo da solução inicial= 119. Número de variáveis básicas= M’+N’-1=5+5-1=9. O1 O2 D1 D2 D3 Produção 11 5 1   6 4 16 2 8 17 3 9 7 Demanda 13 15

Modelo de Transporte com Baldeação Tabela ótima obtida após a aplicação do “Stepping Stone Method”: Custo da solução ótima= 52 O1 O2 D1 D2 D3 Produção 11   1 6 5 4 16 2 8 17 3 9 Demanda 13 15

Modelo de transporte com baldeação Quantidade de produto na rota O1D2 = 5  levar 5 unidades do produto da origem 1 ao destino 2; Quantidade de produto na rota O2D3 = 6  levar 6 unidades do produto da origem 2 ao destino 3, havendo uma baldeação de 2 unidades que irão ao destino 1; Quantidade de produto na rota D3D1 = 2  levar 2 unidades do produto do destino 3 (que vieram da origem 2) ao destino 1; Observe-se as quantidades de produto nas rotas fictícias O1O1, O2O2, D1D1, D2D2, D3D3, geradas pelo artifício de dividir cada nó em dois – uma origem e um destino, devem ser desconsideradas da solução ótima. Custo da solução ótima= 52.