Matemática Discreta I BCC101 Introdução Lógica Proposicional 1

Bibliografia, Slides, Exercícios etc Rosen: Matemática Discreta e Aplicações Velemann: How to Prove it Slides, exercícios, avisos, notas: www.decom.ufop.br/lucilia/md1 2 2

Visão Geral Matemática Discreta lida com estruturas matemáticas discretas: constituídas de partes distinguíveis ou separadas. Discreto vs. Contínuo: Naturais vs Reais Como computadores operam de maneira descontínua (ou discreta), executando um passo a cada instante, Matemática Discreta é o arcabouço apropriado para descrever Computação. 3 3

Visão Geral O conceito central da computação é o de ALGORITMO. Matemática Discreta ajuda a entender… ferramentas para a construção de algoritmos ferramentas para a análise de complexidade de algoritmos métodos para a prova de correção de algoritmos 4 4

Matemática Discreta Lógica Formal e Técnicas de Prova Estruturas Discretas: conjuntos, relações, funções, árvores, grafos Indução e Recursão Teoria de números —propriedades de inteiros Combinatória—problemas de contagem Análise de algoritmos Computabilidade e decidibilidade 5 5

Aplicações Desenvolvimento de Software e Hardware Teoria da Computação Projeto de chips, especificação de software, geração automática de software, prova formal de correção de programas Teoria da Computação Métodos de prova para estudo de propriedades de modelos teóricos de computação Fundamentação para LPs Inteligência Artificial Bancos de Dados 6 6

O que é Lógica Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos sentenças declarativas tais como: Se eu dormir demais, vou chegar atrasado Eu dormi demais Eu não cheguei atrasado Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos obter conclusões: De i e ii podemos concluir... De i e iii podemos concluir... 7 7

Três Lógicos com chapéus Três lógicos A, B e C, estão usando chapéus. Os três sabem que cada chapéu é preto ou branco, e que não são todos os chapéus brancos. O lógico A pode ver os chapéus de B e C; B pode ver os chapéus de A e C; e C é cego. Pergunta-se a cada um, primeiro a A, depois a B, depois a C, se ele sabe a cor do seu próprio chapéu. As respostas são: A: ”Não". B: ”Não". C: "Sim". Qual é a cor do chapéu de C e como ele sabe isso? 8 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 8

Como ganhar 1 milhão usando lógica Lecture 1 - CS1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Como ganhar 1 milhão usando lógica 3 Portas Uma porta tem 1 milhão Uma porta tem uma caneta Uma porta tem uma pipoca A Caneta aqui B Pipoca na porta C C Caneta na porta A Questão extra: Onde está a caneta? D Adapted from Smullyan, The Lady or the Tiger, Times Books, 1982 It can’t be door A because the statement on the jackpot door is true, and door A says the Palm Pilot is behind it. So, the jackpot can’t be behind door A. It can’t be door B because if door B had the jackpot, it’s sign would be true, and the Popsicle would be behind C. But if the Popsicle were behind C, the statement on C would be false, but it can’t be because there’s nowhere else but door A for the Palm Pilot. So the jackpot can’t be behind door B. Inscrições nas portas Porta $$: inscrição verdadeira Porta da pipoca: inscrição falsa BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP O que é Lógica? Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos sentenças declarativas tais como: Amanhã vai chover ou vai nevar Nem hoje nem amanhã vai nevar Apenas nos interessa saber se uma asserção é verdadeira ou falsa, e como isso pode ser determinado (ou provado). BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Do que precisamos? Uma linguagem na qual expressar asserções sobre o mundo Uma interpretação para sentenças da linguagem: nos interessa apenas o valor-verdade de cada sentença Regras de raciocício para determinação da verdade ou falsidade de sentenças da linguagem. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Verdadeiro, Falso, Asserções Axioma: Falso é o oposto de Verdadeiro. Exemplos de asserções: Lula foi presidente do Brasil. Cruzeiro vai ganhar o Brasileiro de 2013. Os peixes voam. Esta sentença é falsa. Q: Quais dessas sentenças são verdadeiras? Falsas? Ambos? Nem falsas nem verdadeiras? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Proposições DEF: Uma proposição é uma asserção que é verdadeira (T) ou falsa (F). Para evitar dor de cabeça, excluímos as sentenças que não têm significado verdadeiro nem falso, limitando nossa lógica a sentenças às quais se pode atribuir um valor-verdade: BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Proposições Podemos ter asserções mais complexas: Se chover, eu não vou jogar futebol. Se x=2 então x+3=5. Vai fazer calor ou vai fazer frio. Como agrupar proposições simples para formar proposições mais complexas? Como determinar o valor-verdade de proposições complexas, em termos das proposições componentes? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Lógica Proposicional Supomos um conjunto de proposições atômicas representadas por: p, q, r, s… E também as constantes: true e false Proposições mais complexas são formadas a partir de proposições atômicas, usando conectivos lógicos (ou operadores lógicos). BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Conectivos Lógicos Operador Simbolo Negação (não)  Conjunção (ê)  Disjunção (ou)  Ou exclusivo  Condicional (implicação, se então) ➝ Equivalência (bi-implicação) = ⟷ BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lógica Proposicional: sintaxe formal 11/28/06 Lógica Proposicional: sintaxe formal Seja var uma variável de proposição. O conjunto prop de fórmulas pode ser definido pela seguinte gramática: prop := var |true | false |(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop ⇒ prop) |(prop = prop) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Fórmulas da Lógica Proposicional Quais das seguintes sentenças são fórmulas válidas da Lógica Proposicional? ((p ∨ q) ➝ p) ((p ∧ ∨ p) ➝ ¬)

Proposições - Exemplos Seja p = João é estudante q = João vai ao cinema r = João vai estudar Expresse cada sentença como uma proposição: João vai ao cinema ou vai estudar João é estudante mas não vai estudar Se João vai ao cinema então João não vai estudar João não vai ao cinema nem vai estudar João vai ao cinema somente se ele não vai estudar É necessário que João não vá ao cinema para que ele vá estudar BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Conectivos: precedência associatividade 11/28/06 Conectivos: precedência associatividade Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos: maior precedência ¬ ∧ ∨ ➝ = menor precedência ∧ e ∨ têm associatividade à esquerda ➝ tem associatividade à direita BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Conectivos: precedência associatividade 11/28/06 Conectivos: precedência associatividade Exemplos: ¬p ∧ q ➝ r = (((¬p) ∧ q) ➝ r) p ∧ q ∨ r = ((p ∧ q) ∨ r) p ∧ q ∧ r = ((p∧q)∧r) = (p∧(q∧r)) p ➝ q ➝ r = (p ➝ (q ➝ r)) ≠ ((p➝q) ➝ r) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Conectivos: precedência associatividade Elimine os parênteses desnecessários: ((p ∨ q) ∨ (r ∨ s)) (p ➝ (q ➝ (p ∧ q)) ¬ (p ∨(q ∧ r)) ¬ (p ∧(q ∨r))

Lógica Proposicional - semântica 11/28/06 Lógica Proposicional - semântica O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F O significado da constante true é T O significado da constante false é F Existem 2 possíveis interpretações para um símbolo de proposição p : T ou F Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((p˄q)  r) ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Negação p ¬ p T F Verdadeiro sse o operando é Falso Defina p = x < 0, q = x > 10 p é verdadeiro sse x é não negativo (p  q) é verdadeiro sse x entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Conjunção p q p ∧ q T F Verdadeiro sse ambos os operandos verdadeiros Defina p = x > 0, q = x < 10 pq é verdadeiro sse x está entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Disjunção p q p ∨ q T F Verdadeiro sse qualquer dos operandos é verdadeiro Defina p = x > 0, q = x < 10 p∨q é verdadeiro sse x está fora do intervalo fechado 0 a 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Ou Exclusivo p q p ⊕ q T F Verdadeiro sse os operandos tem valores diferentes Defina p = x > 0, q = y > 0 p⊕q é verdadeiro se (x,y) está no 2o. ou 4o. quadrante Quadrante 1 x > 0, y > 0 Quadrante 2 x < 0, y > 0 Quadrante 4 x > 0, y < 0 Quadrante 3 x < 0, y < 0 y x BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Implicação p q p ➝ q T F Falso sse 1o op. é verdadeiro e 2o é falso Defina p = x > 10, q = x > 0 Considere x = 15, x = 5, e x = -5 pq é verdadeiro para todo valor de x A terceira linha da tabela não ocorre qp é falso quando x está entre 0 e 10 Note que com p e q tal como definidos acima, a noção de que podemos inferir q se sabemos p e (p ->q) casa com a nossa intuição sobre o significado de inferência. Of course each possible value of x produces a different proposition P (and a different Q, too), but P->Q is true for all possible values of x, as we expect intuitively. On the other hand, Q->P does not match our intuition. That is, we don’t expect to be able to infer P, knowing Q, for all values of x. And sure enough, the third line in the table does apply, for some values of x, to the implication Q->P. That is Q->P is false sometimes, depending on x. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Equivalência ou Bi-implicação 11/28/06 Equivalência ou Bi-implicação p q p = q T F Verdadeiro sse ambos os operandos têm o mesmo valor p = q tem o mesmo valor que (p⇒q)(q⇒p) p = q tem o mesmo valor que (p  q) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Condicional Diversas maneiras de expressar p ➝ q : se p então q. p implica q. se p, q. p somente se q p é suficiente para q. Algumas maneiras invertem a ordem de p e q , mas têm a mesma conotação: q se p q sempre que p q é necessário para p Exemplos É suficiente que x>10 para que x>5 É necessário que x>5 para que x>10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Proposição: (p  q)  ( p q) 11/28/06 Tabela-verdade Proposição: (p  q)  ( p q) p q F F F T T F T T (p  q)  p (pq) (pq)  ( pq) Verdadeiro p/ alguma: Satisfatível F T F F T T T T Falso p/ todas : Contradição (não satisfazível) T F T T T F Verdadeiro p/ todas: Tautologia T T BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Proposição: ( pq)( p q) 11/28/06 Outra Tabela-verdade Proposição: ( pq)( p q) (pq) p q F F F T T F T T  p ( p  q) ( p  q)  ( p q) T F F F T T T T F F T F F F T F BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Sherlock Holms O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentes Ou o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocente Então ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo (M  C) L  C L   M BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Sherlock Holms (M  C) L  C L   M (M  C), L  C ⇒ L   M M C L (M  C) L  C L   M False False False True False True False False True True True True False True False True True True False True True True True True True False False True False False True False True True True True True True False False True False True True True False True True BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática? 11/28/06 O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática? É bom quando existem apenas 2 variáveis {T,F}  {T,F} = possíveis valores de variáveis 2  2 linhas na tabela-verdade Três variáveis — começa a ficar tedioso {T,F}  {T,F}  {T,F} = possíveis valores 2  2  2 linhas na tabela-verdade Vinte variáveis — impraticável! 2  2  …  2 linhas (220) Você gostaria de preencher um milhão de linhas? Nesse caso, como faria para evitar erros? Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!

Knights and Knaves (Raymond Smullyan) 11/28/06 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Em uma ilha hipotética, os habitantes ou são Knights, que sempre falam verdade, ou Knaves, que sempre mentem. Você pergunta a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: “Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight”. Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave? Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Knights and Knaves (Raymond Smullyan) 11/28/06 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Seja k = o nativo é um knight o = há ouro na ilha Temos: (k ∧ (k=o)) ∨ (¬k ∧ ¬(k=o)) = true Conclusão: há ouro na ilha não se pode saber se o nativo é knight ou knave k o k ∧ (k=o) ¬k ∧ ¬(k=o) true false BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP