BCC 101 – Matemática Discreta I 11/28/06 BCC 101 – Matemática Discreta I Indução / Recursão BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Introdução Como podemos calcular de 1+2+3+…+n, dado o valor de n? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Proque precisamos de uma prova? 1 + 2 + 3 + … + n Alguns resultados são mostrados na tabela: Será que podemos garantir que, para qualquer n∈N 1 + 2 + 3 + … + n = n (n+1)/2 ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Indução Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações formular esse padrão como uma conjectura testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Porque precisamos de uma prova? Se uma afirmação é verdadeira para todos os valores que testamos, será que podemos concluir que ela é verdadeira sempre? Considere a seguinte proposição: Proposição 3. Se p é primo, 2p − 1 também é primo. Testando alguns casos: Entretanto… 211 −1 = 2047 = 23×89. A proposição 3 é falsa! BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Prova por Indução Uma prova por indução tem a seguinte estrutura: Prova: Vamos provar que P(n) vale para todo n ∈ N, n ≥ a, usando indução sobre n. Base: Devemos provar que P (a) é true. Indução: Suponha que P(k) é true, para todo inteiro a ≤ k < n. Devemos mostrar que P (n) é true. Hipótese de Indução Indução Base P(a) n. (a ≤ k < n. P(k))  P(n) _____________________________{Ind} n. P(n) Indução BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Exemplo 1 Proposição1. Base: Se n = 1, a soma é 1 = 1(1+1)/2. Indução: Hipótese Indução: 1+2+3+···+k = k(k+1)/2, p/ 1≤k<n (1) Queremos provar: 1+2+3+···+(n-1)+n= n(n+1)/2 (2) Como podemos usar (1) para obter (2) ? Note que: 1+2+3+···+(n-1)+n = (1+2+3+···+(n-1)) + n = (n-1)(n-1+1)/2 + n (de 1) = n(n+1) /2 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Exemplo 2 Proposição 2. Em um polígono convexo com n vértices, o maior número de diagonais que podem ser traçadas é n(n−3)/2, para n ≥ 4. polígono convexo polígono não convexo BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Exemplo 2 (continuação) Base: Se n = 4, o polígono é um quadrilátero, que tem 2 diagonais; e n(n − 3)/2=(4)(1)/2 = 2. Indução: Hipótese de indução: o no. de diagonais de um polígono de 4≤k<n vértices é k(k−3)/2. (1) Queremos provar que o no. de diagonais de um polígono com n vértices é n(n-3)/2. (2) Como obter (2) a partir de (1)? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Exemplo 2 (continuação) A resposta é “adicione mais um vértice”. Quantas diagonais podem ser traçadas agora? Quando adicionamos 1 vértice, todas as diagonais do polígono original são ainda diagonais do novo polígono, mas há ainda outras diagonais. poligono com k vérices poligono com k+1 vérices BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Exemplo 2 (continuação) A hipótese de indução nos dá que o no. de diagonais do polígono original é k(k-3)/2. Novas diagonais podem ser traçadas, do vértice extra Pk+1 a cada um dos outros vértices não adjacentes (P1 e Pk), dando (k−2) diagonais extras. Isso dá um total de k(k−3)/2+(k−2) diagonais. Mas, k(k−3)/2+(k−2) = [k(k−3)+2k−2]/2 = (k+1)((k+1)-3)/2 Isso completa o passo indutivo (já que n=k+1). Portanto, a proposição é true para todo n ≥ 4. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Exercícios Prove que a soma dos n primeiros números inteiros positivos ímpares é n2. Prove que para todo n∈N. Prove que n! < nn para todo inteiro n>1. Prove que n3 – n é divisível por 3, para todo n≥0. Prove que (1+x)m > 1 + mx, para todo inteiro m≥2. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Triominós Considere um tabuleiro com tamanho 2n x 2n no qual exatamente um quadrado está coberto. um triominó de formato L é feito de 3 quadrados: Mostre que é possível cobrir os quadrados restantes com triominós de formato L, sem que triominós se sobreponham. Quantos triominós são necessários? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Triominós - solução para 23 x 23 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Triominós Caso base (n=0): O tabuleiro tem dimensão 20x20 = 1x1, isto é, exatamente 1 quadrado, que já está coberto. Portanto, são necessários 0 triominós para cobrir os quadrados restantes. Passo indutivo: Considere um tabuleiro de dimensões 2n+1x2n+1 Suponha que é possível cobrir qq tabuleiro de dimensões 2nx2n com triominós HI Devemos mostrar como explorar essa hipótese para obter a solução para o caso 2n+1x2n+1 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Triominós Um tabuleiro 2n+1x2n+1 pode ser subdividido em 4 tabuleiros 2nx2n, traçando-se uma linha horizontal e uma vertical que se cruzam no meio. Em uma desses 4 tabuleiros, há um quadrado que já está coberto. Pela hipótese de indução, os demais quadrados desse tabuleiro podem ser combertos com triominós. Nenhum dos 3 outros tabuleiros 2nx2n tem um quadrado coberto. Como aplicar a hipótese de indução aos 3 outros tabuleiros? A idéia é colocar um triominó na junção desses 3 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Triominós Agora a hipótese de indução pode ser aplicada para cobrir os quadrados restantes de cada uma dos 3 outros sub-tabuleiros, completando o processo. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11/28/06 Indução matemática Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações formular esse padrão como uma conjectura testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas. Comentar sobre o significado de “raciocínio indutivo” em ciências físicas: conclusão de novos fatos a partir de obserção de padrões. Comentar sobre raciocício dedutivo: obter novas leis a partir de outras leis ou axiomas. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP