Linguagens Livre de Contexto <stmt>::=<if-stmt>|<while-stmt>| <begin-stmt>|<assg-stmt> <if-stmt>::=if <bool-expr> then <stmt> else <stmt> <while-stmt>::=while <bool-expr> do <stmt> <begin-stmt>::=begin <stmt-list> end <stmt-list>::=<stmt>;<stmt-list>|<stmt> <assg_stmt>::=<var>:=<arith-expr>

<bool-expr>::= <arith-expr><comp-op><arith-expr> <comp.-op>::=<|>|≤|≥|≠|=| <arith-expr>::=<var>|<const>| (<arith-expr><arith-op><arith-expr>) <arith-op>::=+ | - | *| / <const>::=0|1|2|3|4|5|6|7|8|9 <var>::=a|b|c|…|x|y|z BNF (Backus-Naur form)dando a definição formal de uma linguagem de “programação”.

Mais Exemplos L = {anbn|n0} é livre de contexto. Se em L substituirmos ‘a’ por ‘(‘ e ‘b’ por ‘)’, cadeias de parênte-ses tais como ( ( ) ) e ( ( ( ) ) ) estarão em L. L descreve uma estrutura aninhada comum em linguagens de progra-mação.

Gramáticas Livre De Contexto As produções numa gramática regu-lar são restritas de duas formas: o lado esquerdo deve conter uma única variável, enquanto o lado direito tem uma forma especial. Para criar uma gramática “mais poderosa”, devemos relaxar algumas dessas condições .

Mantemos a restrição sobre o lado esquerdo, mas permitimos qualquer coisa no lado direito. Definição: Uma gramática G=<V,T,S,P> é livre de contexto se todas as produções em P tem a forma Ax, onde AV e x(VT)*.

A linguagem L é livre de contexto sss existe uma gramática livre de contexto G tal que L = L(G). Obs: Toda linguagem regular é livre de contexto.

Exemplos G=<{S},{a,b},S,P>, com produ-ções SaSa; SbSb, S Uma derivação típica nessa gramática é SaSaaaSaaaabSbaaaaabbaa Isto torna claro que L(G)={WWR|W{a, b}*}

G=<{S, A, B}, {a, b}, S, P>, Mais Exemplos A gramática G=<{S, A, B}, {a, b}, S, P>, onde P é SabB; AaaBb; BbbAa; A L(G)={ab (bbaa)n bba (ba)n |n0}

Derivação Mais à Esquerda e Mais à Direita G=<{A,B,S},{a,b},S,P> com produções: 1. SAB; 2. AaaA; 3. A; 4. BBb; 5. B. L(G)={a2nbm|n0, m0} S1AB2aaAB3aaB4aaBb5aab S1AB4ABb 2aaABb5aaAb 3aab

Definição: Uma derivação diz-se mais à esquerda se em cada etapa a variável mais a esquerda é trocada na forma sentencial. Se em cada etapa a variável mais a direita é trocada, dizemos que a derivação é mais à direita.

Exemplos Considere a gramática com produ-ções SaAB, AbBb, BA| uma derivação mais à esquerda da cadeia abbbb: SaABabBbBabAbBabbBbbBabbbBabbbb uma derivação mais à direita: SaABaAabBbabAbabbBbbabbbb.

Árvores de Derivação Mostra derivações independente da ordem em que as produções são usadas. Uma árvore de derivação é uma árvore ordenada onde: os nodos são rotulados com os lados esquerdos das produções e o filho de cada nodo representa seus correspondentes lados direitos.

Exemplo Aa b A B c A a b B c

Definição Seja G=<V, T, S, P> uma gramática livre de contexto. Uma árvore ordenada é uma árvore de derivação para G se e somente se ela tem as seguintes propriedades: 1. A raiz tem rótulo S 2. Toda folha tem rótulo de T{} 3. Todo vértice interior tem um rótulo de V.

4. Se um vértice tem rótulo A  V, e seus filhos são rotulados(da es-querda para direita) a1, a2, …,an, então P deve conter uma produção da forma Aa1a2…an 5. Uma folha rotulada  o seu pai não tem nenhum filho além dàquele rótulado .

árvore de derivação parcial: Uma árvore que tem as proprieda-des 3, 4 e 5 mas não necessaria-mente 1 e a propriedade 2 é trocada por: 2a.Toda folha tem rótulo em VT{}

cadeia gerada A cadeia de símbolos obtida lendo-se, da esquerda para à direita, omitindo qualquer  encontrado, diz-se gerada pela árvore. Exemplo: Considere a gramática G, com produções SaAB AbBb BA | 

Exemplo (a) S a B A b a) ( A árvore (a) é uma ár-vore de derivação par-cial para G. A cadeia abBbB, gera-da pela árvore, é uma forma sentencial de G.

Exemplo (b) a árvore (b) é uma árvore de derivação. A cadeia gerada, abbbb é uma sentença de L(G). (b) S a A b B 

Relação entre Formas Sentenciais e Árvores de Derivações Árvores de derivação dão uma des-crição explícita e compreensível de derivações. Assim como grafo de transições para autômatos finitos, elas são úteis nos argumentos.

Teorema Seja G=<V, T,S, P> uma gramática livre de contexto. Então pra todo wL(G) existe uma árvore de derivação G cuja cadeia gerada é w. Inversamente a cadeia gerada por qual-quer árvore de derivação está em G. Além disso, se tG é qualquer árvore de derivação parcial para G cuja raiz é rotulada S, então tG gera uma forma sentencial de G.

Prova Primeiramente, mostraremos que para toda forma sentencial de G existe uma árvore de derivação parcial. Faremos isso por indução no número de etapas da derivação.

Prova (cont.): base Como base, observemos que a afir-mação é verdadeira pra toda forma sentencial derivada em uma etapa. Como Su implica que existe uma produção Su, isto segue imediata-mente da definição da árvore de derivação.

Prova(cont.): passo Suponhamos que para toda forma sentencial derivável em n etapas, existem uma árvore de derivação parcial correspondente.

Prova(cont.): passo Agora qualquer w derivável em n+1 etapas deve ser tal que S*x A y, x, y  (V U T)*, A V em n etapas, e x A yx a1, a2…amy = w, ai  VT.

mas por hipótese de indução existe uma árvore de derivação parcial que gera x A y. como G deve ter produção Aa1a2…am, expandindo as folhas rotuladas A, obtemos uma árvore de derivação parcial que gera w. Logo, por indução, o resultado é verdadeiro para toda forma senten-cial.

Usando um argumento análogo, podemos mostrar que toda árvore de derivação parcial representa alguma forma sentencial. Uma árvore de derivação é uma árvore de derivação parcial cujas folhas são terminais. Logo toda sentença em L(G) é gerada por alguma árvore de deri-vação de G e toda árvore de derivação gerada está em L(G). q.e.d

Árvores de derivação mostram quais produções são usadas para se obter uma sentença, mas não dá a ordem de suas aplicações. Árvores de derivações são capazes de representar qualquer derivação, refletindo o fato de que esta ordem é irrelevante, uma observação que nos permite fechar o buraco na discussão anterior.

Por definição, qualquer wL(G) tem uma derivação mais a esquerda e uma mais a direita. dada uma árvore de derivação, po-demos sempre obter uma derivação mais a esquerda pensando na árvore como tendo sido construída de tal modo que a variável mais a esquerda foi sempre expandida primeiro. Todo w  L(G) tem pelo menosuma derivação mais a esquerda e uma mais a direita.