Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas Método Gráfico

Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas Considere a seguinte situação: Fábio e João vão disputar uma partida de lançamento de dardos. Combinaram só valer ponto quando se acertasse o centro do alvo. Cada um lançaria dez vezes. Terminada a partida, os dois, juntos, haviam marcado 6 pontos. Fábio ganhou por uma diferença de 4 pontos. Quantos pontos fez cada um? Representemos por x o total de pontos de Fábio e por y os pontos de João. Os números x e y são naturais.

1ª Informação: A soma dos pontos obtidos foi 6. Podemos indicar essa informação por x + y = 6 Pontos Fábio x 1 2 3 4 5 6 João y Par (x, y) (0, 6) (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) (6, 0) A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados: (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0) 2ª Informação: A diferença entre os pontos obtidos por Fábio e por João é 4. Podemos indicar essa informação por x - y = 4 Pontos Fábio x 4 5 6 7 8 9 10 João y 1 2 3 Par (x, y) (4, 0) (5, 1) (6, 2) (7, 3) (8, 4) (9, 5) (10, 6) A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados: (4, 0), (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6)

A única solução comum às duas equações é o par ordenado (5, 1). Logo concluímos que Fábio fez 5 pontos e João, 1 ponto. X + Y = 6 X – Y = 4 As equações representadas constituem um exemplo de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas. O par ordenado (5, 1), que verifica simultaneamente as duas equações, é a solução do sistema.

Resolução de Sistemas

Método da Substituição Esse método consiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações e substituir a expressão encontrada na outra equação. Exemplo1: Resolver o sistema pelo método da substituição. Vamos escolher, por exemplo, a equação X + Y = 5 e isolar a incógnita X. X = 5 – Y X + Y = 5 X – Y = 3 Agora, substituindo x por (5 – Y) na equação X – Y = 3, temos: (5 – Y) – Y = 3. Resolvendo a equação achamos Y = 1 Substituindo Y por 1 na equação X + Y = 5, encontramos o valor de X = 4. Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 1)

Resolva estes sistemas pelo método da substituição: Exercício de Fixação Resolva estes sistemas pelo método da substituição:

Método da Adição Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da adição. Para resolver um sistema pelo método da adição, adicionamos membro a membro as equações de modo a anular uma das incógnitas. Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da adição. Para resolvê-lo, vamos adicionar membro a membro as duas equações. X + Y = 8 X – Y = 6 2X = 14, logo X = 7 X + Y = 8 X – Y = 6 Substituindo X por 7 na equação X + Y = 8, temos que Y = 1 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (7, 1)

Resolva estes sistemas pelo método da adição: Exercício de Fixação Resolva estes sistemas pelo método da adição:

Método da Comparação Para resolver um sistema pelo método da comparação, determinamos o valor de uma das incógnitas na equação 1 (por exemplo) , depois determinamos o valor da mesma incógnita na equação 2 e finalmente comparamos as igualdades das equações. Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da comparação. Iremos isolar a incógnita x em ambas as equações. X = 10 - Y X = 14 – 3Y 10 – y = 14 – 3 Y, logo Y = 2 X + Y = 10 X + 3Y = 14 Substituindo Y por 2 na equação X = 10 - Y, temos que Y = 8 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

Resolva estes sistemas pelo método da comparação: Exercício de Fixação Resolva estes sistemas pelo método da comparação: X + Y = 20 X – 3Y = -12 Y = 3X + 2 2X – Y = -4 X + Y = 5 X – Y = 1 (3, 2) (12, 8) (2, 8)

Estas balanças estão equilibradas Chame de x a massa da pêra e de y a massa da maçã. Determine o sistema de equações correspondente a essa situação. Resolva o sistema Quantos gramas têm a pêra e a maçã?