Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof. Rogério Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof. Rogério 3o. Encontro 03/06/06 Empréstimos e financiamentos bancários Sistemas de Amortização de Empréstimos

JUROS DE CHEQUE ESPECIAL Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira JUROS DE CHEQUE ESPECIAL Método Hamburguês Utilizado inicialmente pelos bancos para cálculo de juros sobre depósitos à vista; Posteriormente, cálculo de juros sobre contas garantidas (cheque especial) Para o cálculo dos juros pelo Método Hamburguês, leva-se em conta o saldo médio do correntista.

J = i . ∑ Ck . nk Método Hamburguês Fórmulas Com k variando de 1 até n, onde os valores de C e de n são os números do método Hamburguês

Método Hamburguês Cálculo do Saldo Médio Sm = n1 + n2 + n3 + …+ nn C1.n1 + C2.n2 + C3.n3+…+Cn.nn Sm = n1 + n2 + n3 + …+ nn A fórmula para o cálculo do saldo médio é a fórmula da média ponderada.

Método Hamburguês Sm = 339.666,67 Exemplo (1): Cálculo do Saldo Médio O extrato bancário de uma empresa apresentou ou seguintes saldos credores em determinado mês. Saldo Dias $ 600.000,00 5 $ 710.000,00 4 $ 280.000,00 12 $ 110.000,00 9 Cálculo do Saldo Médio (600.000*5) + (710.000*4) + (280.000*12) + (110.000*9) Sm = 5 + 4 + 12 + 9 Sm = 339.666,67

Método Hamburguês Exemplo (2): Calcular os juros pagos por um cliente à taxa de 15% ao mês, que apresentou o seguinte extrato de conta corrente no mês de maio/06 Data Histórico Valor Saldo D/C Dias Dias x Saldo Devedor Postec Antec Postecipado Antecipado - Inicial 2.000,00 D 3 2 6.000,00 4.000,00 03 Cheque 8.000,00 7 56.000,00 10 3.000,00 11.000,00 110.000,00 20 Depósito 15.000,00 C 23 5 10.000,00 28 5.000,00 4 20.000,00 TOTAL 197.000,00 200.000,00 Observação: É possível realizar a contagem dos dias de 02 formas

Método Hamburguês Exemplo (2): … continuação Postecipado: o prazo é contado a partir do dia seguinte (data 1) até a data da alteração do saldo; J = C.i.n C  197.000,00 * (0,15/30)  J = 985,00 Antecipado: o prazo é contado a partir da alteração do saldo (data 0) até o dia anterior ao novo saldo. J = C.i.n C  200.000,00 * (0,15/30)  J = 1.000,00 Em ambos os casos, consideram-se o número total de dias do mês .

Método Hamburguês Outra forma de calcular os juros Exemplo (2): … continuação Outra forma de calcular os juros

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Único Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Único Consiste na devolução do principal, acrescido de juros , em um único pagamento ao final do período; Normalmente utilizada para cálculo de: Papeis de renda fixa, tais como: Letras de Câmbio e Certificados de Depósitos; Títulos descontados em bancos comerciais.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Único Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Único Exemplo: Quanto pagarei ao final de 12 meses, por um empréstimo de $ 120.000,00 a juros compostos de 3% a.m. capitalizados mensalmente. VF = VP*(1+i)n VF = 120.000*(1,03)12 VF = 171.091,31

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Periódico de Juros Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Periódico de Juros Neste sistema, o devedor paga periodicamente os juros e, o principal, é pago somente ao final do período. Sistema utilizado em Cálculos de; Penhor de Jóias (CEF). Dívida externa brasileira, Letras de câmbio de renda mensal; Planos de renda perpétua (Aposentadoria)

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Periódico de Juros Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Periódico de Juros Exemplo: Monte uma planilha demonstrando os juros e o saldo devedor correspondentes a um empréstimo de $ 1.000,00 durante 04 meses, a juros compostos de 8% ao mês.

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA (PRICE) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA (PRICE) Consiste o Sistema Price em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de séries postecipadas. Cada prestação é composta de 02 partes distintas, uma de juros e outra de amortização. A Taxa de Juros sempre deverá corresponder ao período de amortização Modalidade de Pagamento utilizada em: financiamentos imobiliários (SFH); Créditos direto ao consumidor como por exemplo: financiamento de carro ou eletrodomésticos.

Sistema Francês de Amortização - Price Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Sistema Francês de Amortização - Price 1) Um banco de desenvolvimento empresta $ 300.000, entregues no ato, sem prazo de carência para pagamento. Sabendo que o banco utiliza o Sistema Price à taxa de 12% a.a. e o principal deverá ser amortizado em 05 pagamentos iguais e anuais, determinar o valor das prestações e preencher a planilha a seguir: C = P * ( 1 + i)n – 1 i*(1 + i)n P = ( 1,12)5 – 1 0,12*(1,12)5 300.000 P = 0,76234 0,21148 300.000 P = 83.223,10

Sistema Francês de Amortização - Price Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Sistema Francês de Amortização - Price 1) Um banco de desenvolvimento empresta $ 300.000, entregues no ato, sem prazo de carência para pagamento. Sabendo que o banco utiliza o Sistema Price à taxa de 12% a.a. e o principal deverá ser amortizado em 05 pagamentos iguais e anuais, determinar o valor das prestações e preencher a planilha a seguir:

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS No Sistema Hamburguês as amortizações são todas iguais e constantes. Consiste no plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão aritmética. Portanto, os valores das parcelas não iguais, uma vez que a amortização é constante, porém os juros são decrescentes.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Exemplo: Um Banco empresta $ 300.000,00, sem carência de pagamento, a taxa de juros 12% ao ano. A restituição deverá ser feita em 05 parcelas pelo Sistema de Amortização Constante - SAC Amortização: a = V n a = 300.000 6 a = 60.000 Juros J=i . sd

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Da mesma como o Sistema Price, também no Sistema de Amortização Constante-SAC podemos pagar os juros durante a carência ou capitalizá-los. Exemplo: Um Banco empresta $ 300.000,00, será amortizado em 05 parcelas anuais, com a primeira amortização feita em 03 anos após o empréstimo a uma taxa de juros de 12% ao ano pelo Sistema de Amortização Constante – SAC. Os juros são capitalizados durante a carência e incorporados ao capital para o cálculo da amortização. Elaborar a planilha de cálculo

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS Exemplo: Um Banco empresta $ 300.000,00, será amortizado em 05 parcelas anuais, com a primeira amortização feita em 03 anos após o empréstimo a uma taxa de juros de 12% ao ano pelo Sistema de Amortização Constante – SAC. Os juros são capitalizados durante a carência e incorporados ao capital para o cálculo da amortização. Elaborar a planilha de cálculo

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Criado pelo extinto BNH (Banco Nacional de Habitação) em maio de 1979; Constitui-se num misto entre o SFA (Price) e o SAC; O SAM é um plano de pagamentos compostos por pagamentos cujos valores são resultantes da média aritmética das prestações no SFA e na SAC. Os valores de amortização e juros resultam da mesma regra.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) FÓRMULAS P SAM = PSAF + PSAC 2 Prestação A SAM = ASAF + ASAC 2 Amortização J SAM = JSAF + JSAC 2 Juros

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) FÓRMULAS P SAM = PSAF + PSAC 2 Prestação A SAM = ASAF + ASAC 2 Amortização J SAM = JSAF + JSA 2 Juros

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) RESUMINDO

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL Neste sistema, a devolução do principal é realizada em parcelas desiguais. As amortização são pré-fixadas e os juros calculados sobre o saldo devedor. Um banco emprestou $ 300.000 que serão amortizados da seguinte forma: 1o amortização = $ 30.000,00 2o amortização = $ 50.000,00 3o amortização = $ 70.000,00 4o amortização = $ 65.000,00 5o amortização = $ 85.000,00 Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL Um banco emprestou $ 300.000 que serão amortizados da seguinte forma: 1o amortização = $ 30.000,00 2o amortização = $ 50.000,00 3o amortização = $ 70.000,00 4o amortização = $ 65.000,00 5o amortização = $ 85.000,00 Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

Programação Linear - Solver Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Programação Linear - Solver Na qualidade de assessor de investimentos da FUNDABANC, uma fundação de empregados de determinado banco, estude a melhor forma de aplicar os recursos à disposição da fundação num montante de $ 250.000,00. Para tanto, deve-se levar em consideração as restrições impostas pela legislação e normas vigentes. A necessidade de minimizar os riscos limitam as aplicações a ações preferenciais, ações de companhia de utilidade pública e títulos da dívida pública.

Programação Linear - Solver Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira Programação Linear - Solver Na qualidade de assessor de investimentos da FUNDABANC, uma fundação de empregados de determinado banco, estude a melhor forma de aplicar os recursos à disposição da fundação num montante de $ 250.000,00. Para tanto, deve-se levar em consideração as restrições impostas pela legislação e normas vigentes. A necessidade de minimizar os riscos limitam as aplicações a ações preferenciais, ações de companhia de utilidade pública e títulos da dívida pública. As restrições adicionais que se apresentam para as aplicações são as seguintes: 1. Títulos Públicos não podem representar menos que 25% dos investimentos; 2. Ações preferenciais estão limitadas a até 20% dos investimentos; 3. Ações das Cias de Utilidade Pública devem contabilizar pelo mesno 40% dos investimentos; 4. Nenhum dos 03 tipos de investimentos podem receber mais do que 50% do valor do capital. PEDE-SE: Encontre a combinação que MAXIMIZE o resultado da operação.