Números Complexos 2 Prof. Marlon

Números Complexos Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b2 - 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C. Esquematicamente, temos: R C

Números Complexos Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja: z = (x, y), onde x pertence a R e y pertence a R. z= x + y.i (forma algébrica) , em que i = √-1 z = (x, y) Afixo

Exemplos: A (5, 3) = 5 + 3i B(2, 1) = 2 + i C(-1, 3) = -1 + 3i ... y 5 3 A Exemplos: A (5, 3) = 5 + 3i B(2, 1) = 2 + i C(-1, 3) = -1 + 3i ... Dessa forma, todo número complexo z = (x,y) pode ser escrito na forma z = x + y.i, conhecido como forma algébrica, onde temos: x = Re(z), parte real de z (termo independente) y = Im(z), parte imaginária de z (coeficiente do i)

Igualdade entre números complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que: z1 = z2 ↔ a = c e b = d

Adição de números complexos Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i Subtração de números complexos Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que: z1 – z2 = (a - c) + (b - d)i

Multiplicação de números complexos Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que: z1 .z2 = (a + bi).(c + di ) z1 .z2 = a.c + adi + bci + bdi2 z1 .z2 = a.c + bdi2 = adi + bci z1 .z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i2= -1

A) z1= 2  w1 = i.z1 = 2i B) z2 = 5  w2 = i.z2 = 5i Exemplo: Qual a área do triângulo cuja representação sobre o plano cartesiano são os afixos do números complexos w1, w2 e w3 abaixo? A) z1= 2  w1 = i.z1 = 2i B) z2 = 5  w2 = i.z2 = 5i C) z3 = 6 + 2i  w3 = 2i.z3 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i 4 2 5 12 -4 3

Conjugado de um número complexo Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z ) → z = a - bi Exemplo: z= 3 - 5i → z = 3 + 5i z = 7i → z = - 7i z = 3 → z = 3

Divisão de números complexos Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que: z1 / z2 = [z1 . z2] / [z2 . z2] = [(a + bi).(c - di)] / [(c + di).(c - di)]

Exemplo: Calcule: (7+4i)/(1+2i).

Se a parte imaginária é zero, então:  - 4 = 0   = 4 Exemplo: (FUVEST) Determine o valor de a, para que a parte imaginária de (2 + i)/(a + 2i) seja nula. Se a parte imaginária é zero, então:  - 4 = 0   = 4

Potências de i Se, por definição, temos que i = √-1, então: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2 .i = (-1).i = -i i4 = i2 .i2 = (-1).(-1)=1 i5 = i4 .1= 1.i = i i6 = i5 .i = i.i = i2 = -1 i7 = i6 .i = (-1).i = -i ...... Soma = 0

Potências de i Observamos que no desenvolvimento de in n pertencente a N, os valores se repetem de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4. Exemplo: Calcule i63 63 : 4 dá resto 3, Logo: i63 = i3 = -i

Exemplo: Obtenha o valor de: a) i2007 + i2009 + i1006 + i1008 = i3 + i1+ i2 + i0 = - i + i – 1 + 1 = 0 18 b)  in n=5 12 parcelas têm soma zero

Módulo de um número complexo Dado z = a + bi, chama-se módulo de z a sentença: |z| = √a2 + b2 , conhecido como ρ Interpretação (forma) geométrica Como dissemos anteriormente, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a + bi da seguinte maneira:

Forma Geométrica Representação do número complexo z = a + bi y (Im.) Representação do número complexo z = a + bi no plano cartesiano (plano de Argand/Gauss) P(a,b) b |z| x (Real) a Perceba que: |z| = √a2 + b2

Forma Geométrica a b |z| Agora observe apenas o triângulo da figura anterior, nele temos que:  é chamado argumento de z. 

Da interpretação geométrica, temos que: Logo: que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12 - 5i Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12 - 5i. Calcule |z1|, |z2|, z1.z2, |z1. z2|, z1/z2 e |z1/z2|. Obs.: como se pode perceber o módulo do produto é igual ao produto dos módulos, o mesmo vale para o quociente

Exemplo: Considere o número complexo z = -3√3 + 3i e calcule: Módulo de z: b) O argumento principal de z:

z = 6.(cos150º + i.sen 150º) ou z = 6.(cos5/6 + i.sen5/6) c) A forma trigonométrica: z = ρ.(cos + i. sen) z = 6.(cos150º + i.sen 150º) ou z = 6.(cos5/6 + i.sen5/6)

Exemplo: Escreva na forma trigonométrica Exemplo: Obtenha a forma algébrica de

Possibilidades de se trabalhar com números complexos: Forma algébrica Afixo geométrica trigonométrica

MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométrica Sejam dados dois números z e w tais que: Vejamos o que acontece quando fazemos z . w:

MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométrica Conclusão: na multiplicação de dois números z e w na forma trigonométrica: O módulo do produto é O PRODUTO DOS MÓDULOS; O argumento do produto é A SOMA DOS ARGUMENTOS.

Exemplo: Dados os números: Calcule z1 . z2: Observação: O produto de n números complexos z1 z2 ...zn ,pode ser generalizado por:

DIVISÃO na forma trigonométrica Sendo dados dois números z e w tais que: Na divisão de z por w, dizemos que:’ O módulo da quociente é O QUOCIENTE DOS MÓDULOS; O argumento do quociente é A DIFERENÇA DOS ARGUMENTOS.

Exemplo: Sejam os números complexos: Calcule: z1/z2 e z1.z2.z3: Resolução:

POTENCIAÇÃO na forma trigonométrica Primeira fórmula de De Moivre Vamos primeiro lembrar que: POTENCIAÇÃO É UMA MULTIPLICAÇÃO DE FATORES IGUAIS. Deste modo, sendo dado um número z: Para calcularmos zn fazemos:

POTENCIAÇÃO na forma trigonométrica Primeira fórmula de De Moivre Conclusão: na potenciação de dois números z e w na forma trigonométrica: O módulo da potência é A POTÊNCIA DO MÓDULO; O argumento da potência é O PRODUTO DO EXPOENTE PELO ARGUMENTO.

Exemplo: Calcule z5 onde z = 2 + 2i3. Exemplo: Dado z = 2(cos30º + isen30º), obtenha a forma trigonométrica de z3: Resolução: Exemplo: Calcule z5 onde z = 2 + 2i3. Resolução:

RADICIAÇÃO na forma trigonométrica Segunda fórmula de Moivre Vamos primeiro lembrar que: RADICIAÇÃO É A OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO. Deste modo, sendo dado um número z: No cálculo das raízes n-ésimas de z, dizemos que: O módulo de cada uma das raízes é A RAIZ DO MÓDULO; O argumento de cada uma das raizes é O QUOCIENTE DO ARGUMENTO, ESCRITO NA SUA FORMA GERAL, PELO ÍNDICE DA RAIZ. Neste caso, devemos atribuir valores para k a fim de obtermos valores particulares para as raízes.

RADICIAÇÃO na forma trigonométrica Segunda fórmula de Moivre

RADICIAÇÃO – explicando melhor Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zon = z. Se considerarmos: wk = |wk|(cos 0 + isen 0) Então de: wkn = z Teremos: |wk|n[cos(no) + isen (n0)] = |z|(cos + i sen) Se os ângulos são dados em radianos,

Portanto, existem exatamente n raízes distintas quando z  0, a saber, encontradas por meio expressão: wk = |wk|(cos 0 + isen 0) Onde k = 0, 1, ...(n - 1)  Z. Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8. Primeiro vamos escrever z = 8 na forma trigonométrica:

Agora, vamos extrair as raízes cúbicas de z = 8, sabendo que: |z| = 8, n=3,  = 0. Agora é só atribuir valores para k, com k = 0, 1 e 2

Vamos representar as raízes cúbicas de z = 8 no plano de Argand-Gauss. 3 -1 2 -3

Observações: 1. Perceba que quando representamos no plano de Argand-Gauss as raízes n- ésimas de z, os afixos destas raízes representarão pontos da circunferência trigonométrica; 2. Perceba ainda que basta achar o argumento da 1ª raiz (para k = 0), as demais posicionam-se a 360/n graus uma da outra. 3 -1 2 -3 3. No exemplo que resolvemos o argumento da 1ª raiz é 0 ( = 0) e o argumento das demais é 120º e 240º, pois 360º/3 = 120º; 4. As raízes n-ésimas de z formarão no plano de Argand-Gauss um polígono regular de n lados.

Exercícios Resolvidos 01. Sejam os complexos z1 = (2x + 1) + yi e z2 = -y + 2i Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0 Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 - y) + (y +2)i = 0 logo, é preciso que: 2x + 1 - y = 0 e y + 2 = 0 Resolvendo, temos que: y = -2 e x = -3/2

02. Determine x, de modo que z = (x + 2i).(1 + i) seja imaginário puro. Efetuando a multiplicação, temos que: z = x + xi + 2i + 2i2 z = x + (x + 2)i – 2 z = (x - 2) + (x + 2)i Para z ser imaginário puro é necessário que: (x - 2) = 0 Logo: x = 2

03. Qual é o conjugado de z = (2 + i)/(7 - 3i)? Efetuando a divisão, temos que: O conjugado de Z seria, então:

04. Os módulos de z1 = x + 20 i e z2 = (x - 2) + 6i são iguais, qual o valor de x? Então, |z1| = x2 + 20 e |z2|= (x - 2)2 + 36 Em decorrência, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36 20 = - 4x + 40 4x = 20 Logo: x = 5

05. Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1 + i)/i. Efetuando-se a divisão, temos: Para a forma trigonométrica, temos que: Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que:  = 315º Logo que a forma trigonométrica é dada por: