FUNÇÃO MODULAR

1. MÓDULO – Definição Considerando a reta orientada que representa todos os números reais, conhecida como eixo real, com origem no ponto O, que é onde representamos o número real 0 (zero).          -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Dizemos que módulo de um número real x é a “distância” do ponto que representa x no eixo (afixo) à origem do eixo real. (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 3) (Comprimento do segmento de reta entre 0 e -4) (Comprimento do segmento de reta entre 0 e 0)

1. MÓDULO – Definição Deste modo, podemos dizer que: Perceba que se o número é positivo o módulo é ele mesmo, se é zero, o módulo é zero, se é negativo, o módulo é o oposto do número. Deste modo, podemos dizer que: Sendo x ϵ R, temos:

1. MÓDULO – Definição Exemplo 1) defina os módulos a seguir. a) b) c) Exemplo 2) Dê o valor da expressão: Cuidado! é negativo!

1. MÓDULO – Definição Exemplo 3) defina o módulo a seguir:

1. MÓDULO – Definição Sendo x ϵ R, temos: Exemplo 4) Aplique a definição de módulo para a sentença: + + + + + + – – – – – –

1. MÓDULO – Definição Agora que sabemos a parte positiva e a parte negativa da sentença estudada, temos: De modo resumido podemos dizer:

Chamamos de função modular toda função definida pela forma: O que aplicando a definição de módulo se reduz a: Observe a função:

3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico EX.1) Construa o gráfico da função: I. Vamos, primeiro, definir o módulo: II. Agora, na função dada, substitua o módulo por essas duas sentenças, lembrando que cada uma delas tem uma condição, e ainda, que esta condição deverá ser submetida à condição inicial dada:

3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico III. Agora, para construir o gráfico da função, basta atribuir valores à variável x e calcular o y correspondente:

3. FUNÇÃO MODULAR – Gráfico Ex.2) Construa o gráfico da função: I. Vamos primeiro lembrar que: II. Então, temos:

III. Vamos agora aplicar a definição de módulo: Então, temos:

IV. Finalmente, vamos construir o gráfico:

e apresente os valores reais de x para os quais: EX.3) Esboce, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções definidas por e e apresente os valores reais de x para os quais: I. Vamos aplicar a definição de módulo para os dois casos:

II. Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos um QUADRO:

III. Agora, basta encontrar o valor de x em cada uma das três sentenças obtidas:

IV. E por fim, vamos construir os gráficos das funções f(x) e g(x): Então, ficará:

Então, ficará:

Esboce o gráfico e determine o domínio e o conjunto imagem da função: . I. Vamos aplicar a definição de módulo para os dois casos: Então, ficará:

Retomando:

4. PROPRIEDADES DOS MÓDULOS

5. EQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo: Quais são os números que têm módulo igual a 2? (neste caso queremos saber quais os números cuja distância até o zero é 2)          -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Quais são os números que têm módulo menor que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2)          -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

5. EQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma equação modular vamos observar a situação abaixo: Quais são os números que têm módulo maior que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)          -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Chamamos de equação modular toda equação definida pela forma: O que aplicando a definição de módulo se reduz a: Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: ou

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 1) Resolva a equação Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: ou

Perceba o seguinte, a equação: 5. EQUAÇÃO MODULAR Perceba o seguinte, a equação: Acabou se reduzindo a outras duas equações: ou Assim podemos simplificar o processo, mas neste caso, não podemos deixar de observar se as respostas encontradas em cada equação verificam a condição de existência de cada uma delas (ou seja, se estão dentro do intervalo no qual elas estão definidas).

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 2) Resolva a equação Substituindo essas sentenças na equação, teremos, duas equações: ou

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 3) Resolva a equação Para resolver este tipo de equação modular vamos primeiro lembrar de uma das propriedades estudadas anteriormente: Aplicando este conceito na nossa equação teremos: ou

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 4) Resolva a equação Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro efetuar a seguinte substituição: Deste modo a equação se reduzirá a: Agora basta fazer: ou

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão: Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMA:

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) (UFT-2010) Resolva a equação Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: Resp.: Resp.: Resp.: Cond.: Cond.: Cond.: CONCLUSÃO: a resposta NÃO atende a condição. CONCLUSÃO: a resposta ATENDE a condição. CONCLUSÃO: a resposta NÃO atende a condição

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a equação Para resolver este tipo de equação modular, vamos primeiro aplicar a definição de módulo para cada uma das sentenças modulares que aparecem na expressão: Vamos agora, definir que sentença utilizar para cada intervalo de variação dos valores de x. Para isso construímos o quadro a seguir, chamado de QUADRO SOMA:

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a equação

5. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a equação Perceba que a equação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: Resp.: Resp.: Resp.: Cond.: Cond.: Cond.: CONCLUSÃO: não existe valor de x. CONCLUSÃO: a resposta ATENDE atende a condição CONCLUSÃO: a resposta ATENDE atende a condição.

6. INEQUAÇÃO MODULAR Para entender o que é uma inequação modular vamos observar as situações abaixo: Quais são os números que têm módulo menor que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é menor que 2)          -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Quais são os números que têm módulo maior que 2? (neste caso queremos saber que números cuja distância até o zero é maior que 2)          -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

6. INEQUAÇÃO MODULAR Podemos enunciar o que vimos através de duas propriedades que já estudamos: P7. P8.

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 1) Resolva a inequação Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo menor que 7, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: -7 0 7

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 2) Resolva a inequação Neste caso, estamos nos perguntando quem tem módulo maior ou igual a 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: -3 0 3

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 3) Resolva a inequação Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 5, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Esta sentença é uma inequação simultânea (sistema de inequações) do 1º grau, que pode se resolvida de modo direto: Soma-se 3 a todos os membros. divide-se todos os membros por 2

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 4) Resolva a inequação Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 1, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 1º grau:

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) Resolva a inequação Neste caso, nos interessa que o módulo seja maior ou igual a 2, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau: Raízes: Raízes: + + + + + + – – – Est. do sinal: Est. do sinal: + + + + + +

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 5) Resolva a inequação Pronto, agora basta fazer a UNIÃO das duas respostas encontradas (união por causa do “ou”):

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a inequação Neste caso, nos interessa que o módulo seja menor que 3, o que aplicando a propriedades estudada, resulta: Perceba que são duas sentenças, ambas inequações do 2º grau: + + + + + + Raízes: Raízes: – – – Est. do sinal: Est. do sinal: - - - - - -

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 6) Resolva a inequação Pronto, agora basta fazer a INTERSECÇÃO das duas respostas encontradas (intersecção por causa do “e”):

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 7) Resolva a inequação Neste caso, primeiro devemos definir cada um dos módulos: Agora, vamos construir um QUADRO SOMA para que possamos obter a sentença resultante da soma dos módulos.

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 7) Resolva a inequação

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 7) Resolva a inequação Perceba que a inequação dada se transformou em outras três, e cada uma delas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x). Vamos rever os resultados encontrados e estas condições: Resp.: Resp.: Resp.: Cond.: Cond.: Cond.: CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é: CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que resposta é: CONCLUSÃO: faça a interseção dos dois intervalos, e perceba que a resposta é VAZIO (conjunto vazio).

6. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 7) Resolva a inequação Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados.

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 8) Resolva a inequação Neste caso, primeiro devemos definir o módulo: Agora, substitua na expressão original o módulo por cada uma das sentenças obtidas, gerando assim duas inequações, cada uma delas com seu respectivo intervalo de variação (condição).

6. INEQUAÇÃO MODULAR Exemplo 8) Resolva a inequação Perceba que a inequação dada se transformou em duas, e que você já resolveu cada uma delas. E AGORA? Agora você precisa perceber que cada uma dessas respostas possui uma condição (intervalo de variação dos valores de x) e que você precisa “cruzar” os dois: Cond.: Cond.: CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos: CONCLUSÃO: fazendo a interseção dos dois intervalos:

6. EQUAÇÃO MODULAR Exemplo 8) Resolva a inequação Agora basta fazer a UNIÃO dos intervalos encontrados.