Capitulo 5: Simplex Voltando ao exemplo da confecção da D. Maria, e modificando um pouco os valores apenas para facilitar nossos cálculos e o entendimento, teríamos a seguinte situação: D. Maria possui uma confecção que produz agora outros dois tipos de roupas, calças e vestidos. O lucro sobre a venda da calça é de R$ 4,00 e na sua fabricação, são gastos 2m em tecido (matéria prima) por dia. Já o lucro do vestido é de R$1,00 e o gasto com tecido é de 3m. D. Maria recebe apenas 12m de tecido por dia. D. Maria também já calculou o custo relativo à Mão de Obra. Para a calça, é utilizada 2h de Mão de Obra e para o vestido, apenas 1h. D. Maria tem disponível 8h de MO/dia. Variáveis de decisão: X1: Quantidade de calças X2: Quantidade de vestidos Função Objetivo Max Z= 4X1+1X2 3) Restrições 2X1+3X2≤12 2X1+1X2≤8 X1≥0 e X2≥0 Resumo: Sujeito a 2X1+3X2 ≤12 2X1+1X2 ≤8 X1 ≥0 X2 ≥0

Capitulo 5: Simplex Para usarmos o simplex, as seguintes regras tem que ser respeitadas: As restrições são sempre ≤ uma constante (bi) Todas essas constantes (bi) são ≥ 0 Estaremos maximizando Z (para minimizar, algumas adaptações serão feitas) Solução usando o método Simplex Passo 1) Transformar as desigualdades lineares em equações lineares. Como? Introduzindo variáveis de folgas, sempre positivas (tantas quanto forem necessárias) Maximizar Z= 4X1+1X2 Z - 4X1-1X2 = 0 Sujeito a 2X1+3X2 ≤12 2X1+3X2+1X3 =12 2X1+1X2 ≤8 2X1+1X2+ 1X4 =8 X1 e X2 ≥0 X1, X2, X3 e X4 ≥0 Passo 2) Montar quadro com Z na ultima linha e as variáveis de folga na base (≠ 0). Nota: As variáveis que não estão na base são iguais a “zero” Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1

Capitulo 5: Simplex Esse é um processo iterativo. Assim, já teríamos a primeira solução onde: X1=0 X2=0 X3=12 X4=8 Z=0 Obviamente, essa solução não é a ótima. Continuaremos o processo até encontrar a solução ótima Passo 3) Colocar uma variável não-básica (nesse caso X1 ou X2) na base e retirar uma variável básica (X3 ou X4) da base. Qual variável não-básica escolher? A de maior contribuição para a função Z (o maior valor negativo, podendo até ser zero) e que tenha pelo menos um coeficiente positivo na sua coluna: No caso X1=-4 Qual variável básica tirar? Para isso, basta dividir a coluna “b” pela coluna que vai entrar na base (X1) e escolher o menor resultado não negativo Importante: Esse “cruzamento” é chamado de Pivô. Nesse caso: Pivô=2 Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1 b/X1=> 12/2=6 b/X1=> 8/2=4 Maior valor negativo é o da variável X1. É quem vai entrar na base. Menor quociente é o da variável X4. É quem vai sair da base

Capitulo 5: Simplex Continuando o desenvolvimento da tabela: 1ª Operação: divida a linha que sai (X4) pelo Pivô (2) e inclua na nova tabela Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1 2/2=1 ½= 0,5 0/2=0 ½=0,5 8/2=4 Base X1 X2 X3 X4 b X1 1 0,5 0 0,5 4

Capitulo 5: Simplex Nova Linha 2ª Operação: Multiplique a nova linha pelo oposto do pivô da próxima linha da tabela e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1 -2+2=0 -1+3=2 0+1=1 -1+0=-1 -8+12=4 Base X1 X2 X3 X4 b X3 0 2 1 -1 4 X1 1 0,5 0 0,5 4 Nova Linha Pivô=2=> Oposto=-2 1*(-2)=-2 ½*(-2)=-1 0*(-2)=0 ½*(-2)=-1 4*(-2)=-8

Capitulo 5: Simplex Nova Linha 3ª Operação: Novamente, multiplique a nova linha pelo oposto do pivô da linha da tabela que ainda não foi modificada e e some com ela própria Base X1 X2 X3 X4 b 2 3 1 12 8 Z -4 -1 -4+4=0 2+(-1)=1 0+0=0 2+0=2 16+0=16 Base X1 X2 X3 X4 b X3 0 2 1 -1 4 X1 1 0,5 0 0,5 4 Nova Linha Z 0 1 0 2 16 Pivô=-4=> Oposto=4 1*4=4 ½*4=2 0*4=0 ½*4=2 4*4=16

Capitulo 5: Simplex Repita essas operações até que na linha “Z” não tenha mais nenhum coeficiente negativo. Como isso acaba de acontecer, concluímos que chegamos na solução ótima, onde X3=4 (coluna “b”) X1=4 (coluna “b”) Z=16 (coluna “b”) E conseqüentemente (variáveis não-básicas): X2=0 X4=0 Base X1 X2 X3 X4 b X3 0 2 1 -1 4 X1 1 0,5 0 0,5 4 Z 0 1 0 2 16

Capitulo 5: Simplex Interpretação Econômica dos Resultados: Voltando ao inicio do problema, temos que: Max Z = 4X1+1X2 Sujeito a 2X1+3X2+1X3 =12 (recurso tecido) 2X1+1X2+ 1X4 =8 (recurso mão de obra) Onde as variáveis devem ser interpretadas da seguinte maneira: X1: Quantidade de calças X2: Quantidade de vestidos X3: Folga na utilização do recurso tecido X4: Folga na utilização do recurso mão de obra Como vimos que o resultado do Simplex foi Z=16 X1=4 X2=0 X3=4 X4=0 Concluímos que foram produzidos 4 calças(X1) e 0 vestidos (X2), dando um lucro de $16 (Z), sendo que todo o recurso de mão de obra foi utilizado (X4=0), mas sobraram 4m do recurso tecido (X3)

Capitulo 5: Simplex Exercício 5.1 Resolva utilizando o Simplex: Maximizar Z= 3X1+5X2 Sujeito a X1≤4 X2≤6 3X1+2X2≤18 X1≥0 e X2≥0 Solução: Passo 1) Transformar em equações lineares: -3X1-5X2+0X3+0X4+0X5 =0 1X1 +1X3 =4 1X2 +1X4 =6 3X1+2X2 +1X5 =18

Capitulo 5: Simplex Passo 2) Criar tabela Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 6 4 6 3 2 18 Z -3 -5 Passo 3) Qual variável entra para a base e qual sai da base? Entra: X2=-5 (maior valor negativo em Z) Sai: X4=3 Menor relação b/X2 não negativo Base X1 X2 X3 X4 X5 b 1 4 6 3 2 18 Z -3 -5 4/0=Indeterm. 6/1=6 18/2=9