Matemática e Criptografia Severino Collier Coutinho UFRJ

Criptos = escondido em grego Criptologia Criptos = escondido em grego Criptografia arte de esconder mensagens Criptoanálise arte de quebrar mensagens

História César foi o primeiro a utilizar criptografia como meio de esconder informações secretas.

Código de César Exemplo ESSES ROMANOS SÃO UNS NEURÓTICOS A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z A B Exemplo ESSES ROMANOS SÃO UNS NEURÓTICOS GUUGU TQOCPQU UCQ XPU PGXTQVLEQU

O mesmo se aplica a outros códigos semelhantes Problemas É fácil decodificar verificando a freqüência das letras na mensagem. Saber codificar implica em saber decodificar. Precisa de canal seguro. O mesmo se aplica a outros códigos semelhantes

Exemplos: hieróglifos, linear B Outras aplicações O método de contagem de freqüência e técnicas semelhantes de criptografia também são usadas na decifração de escritas antigas. Exemplos: hieróglifos, linear B

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Hieróglifos egípcios Conhecimento da leitura esquecido desde, pelo menos, 500 d.C. Horapolo de Nilópolis: caracteres seriam ideográficos.

Renascença Athanasius Kircher (1602-1680). Segue Horapollo. Língua copta.

A chave Pedra de Rosetta. Descoberta em 1799. Mesmo texto escri-to em hieróglifos, de-mótico e grego.

O decifrador J.-F. Champollion (1799-1832). Língua derivada do copta. Escrita: caracteres ideo-gráficos, alfabéticos e determinativos.

O alfabeto

Determinativos = htr = cavalo O determinativo é o desenho do cavalo. E preciso acrescentá-lo porque htr também significa taxa.

Linear B Descoberta em Creta. Decifrado por M. Ventris em 1953. Contagem de freqüência: língua é grego.

Vale do Indo Ainda não decifrada. Inscrições curtas dificultam a contagem de freqüência.

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Tipos de Códigos Chave secreta: Saber codificar implica em saber decodificar. Precisa de canal seguro. Chave pública: Saber codificar não implica saber decodificar. Não precisa de canal seguro. Inventado na década de 1970.

Chave Pública Imagem: armadi-lha para lagosta. Idéia: problema fácil de resolver por um lado e difícil por outro.

RSA  Inven-tado em 1976  Chave públicamais popular Rivest Shamir Adleman

Número Primo Número divisível somente por ele mesmo e pela unidade. Exemplos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..., 41, 43, 47, .... 213466917-1 tem 4.053.946 algarismos

Escolha dois números primos p e q. RSA Escolha dois números primos p e q. Calcule n = pq. Chave de codificação: n = pq. Pode ser tornada pública. Chave de decodificação são p e q. Tem que ser mantida secreta.

Como quebrar o RSA? n = pq é público Preciso conhecer p e q para decodificar a mensagem. Logo: basta fatorar n para achar p e q.

Fatorando 120. 120  2 = 60 60  2 = 30 30  2 = 15 15  3 = 5, que é primo. Logo: 120 = 2·2 ·2 ·3 ·5.

Fatorar tem alto custo! Se n = pq e p, q ~ 1050. Começo de 2 e avanço até ~ 1050 Computador executa 1010 divisões/s. Logo preciso esperar 1040s ~ 1031 anos!

Porém ... O universo só tem 1011 anos!

Portanto... Achar p e q conhecendo apenas n = pq é muito difícil.

RSA-129 Mensagem codificada em 1976 usando uma chave pública n com 129 algaris-mos. Com os recursos da época (computado-res e algoritmos) deveriam ser necessá-rios quadrilhões de anos para decodificá-la.

Entretanto... Decodificada em 1994: “The magic words are squeamish ossifrage”

Como foi feito 600 computadores de voluntários Em 25 países Dados reunidos usando um supercom-putador Tempo total: oito meses!

O que fez a diferença Novos algoritmos (crivo quadrático). Computadores mais rápidos. Popularização dos computadores. A internet para interligar tudo.

RSA-160 2152741102718889701896015201312825429257773588 84567598017049767677813314521885913567301105 9773491059602497907111585214302079314665202840 140619946994927570407753 Fatores 45427892858481394071686190649738831656137145778469793250959984709250004157335359 e 47388090603832016196633832303788951973268922921040957944741354648812028493909367

Dúvida Se é difícil fatorar números grandes... E se um número primo é o que não tem fatores... ...Então como obter dois primos grandes para construir a chave pública n do RSA?

Primalidade Não é preciso fatorar para descobrir se um número é primo ou composto! Por exemplo: se n e b são inteiros positivos tais que n não divide bn-1-1, então n tem que ser composto.

Algoritmo AKS Método eficiente (tempo polinomial) para determinar se um número é primo sem fatorá-lo. Descoberto em agosto de 2002 por M. Agrawal, N. Kayal e N. Saxena.

O Futuro Próximo Sistema usa curvas elípticas.

Grupo da curva elíptica Podemos somar pontos em uma curva elíptica. Isto torna a curva em um grupo.

ECC Fixe uma curva E e P  E. Chave secreta: inteiro positivo k. Chave pública: Q = kP.

Suponha... ...que Alice quer mandar uma mensagem para Bernardo...

ECC: codificando Alice conhece a curva E, o ponto P  E e a chave pública Q. Para codificar M  E : escolha r aleatoriamente e calcule (rP, rQ+M).

(rQ+M) - k(rP) = r(kP) + M - k(rP) = M. ECC: decodificando Bernardo conhece a curva E, o ponto P  E e a chave secreta k. Decodifica (rP, rQ+M) calculando: (rQ+M) - k(rP) = r(kP) + M - k(rP) = M.

ECC: quebrando Calcular k conhecendo Q = kP. Problema do Logaritmo Discreto

O Futuro Distante Peter Shor (1994): algoritmo quântico de fatoração. Criptografia quântica.

As perguntas finais...

Quão próximo, ou distante?

Assim...?

Não!

Assim! A criptografia quântica já chegou até nós

Que outras surpresas nos aguardam?

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