PROGRESSÃO ARITMÉTICA P.A. Matemática Discreta

Observe as seqüências numéricas: 2 4 6 8 ... 12 9 6 3 ... 5 5 5 5 ...

Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante.

Observe a construção da primeira seqüência: Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência: 2 Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior: +2 +2 +2

Seqüências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas. Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P.A.

Assim na progressão aritmética, (2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente. (12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente. (5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.

Termo Geral da Progressão Aritmética Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão. Seja a1 o primeiro termo e r a razão da P.A. O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão: a2 = a1 + r O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão: a3 = a2 + r Como: a2 = a1 + r tem-se que : a3 = a1 + r + r logo, a3 = a1 + 2r

O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão: a4 = a3 + r Como a3 = a1 + 2r temos que : a4 = a1 + 2r + r logo a4 = a1 + 3r Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma: an = a1 + (n – 1) . r onde “n” indica a qual termo estamos nos referindo.

Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Essa “fórmula” poderá ser usada sempre que quisermos encontrar an, a1, n ou r. Veja alguns exemplos: 1) Sendo a1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Substituindo na fórmula do termo geral teremos: a10 =3 + (10–1).(-2) a10 = 3 + 9.(-2) a10 = 3 - 18 a10 = - 15

2) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e 200 termo igual a 30. Aplicando na fórmula temos: 30 = a1 + (20–1).3 30 = a1 + 19.3 30 = a1 + 57 a1 = - 27

3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a1 = 5 e a14 = - 21. Substituindo os valores na fórmula temos: - 21 = 5 + (14 – 1) . r - 21 = 5 + 13 . r - 21 – 5 = 13. r - 26 = 13 . r r = - 2

4) Calcule o número de termos da P.A. finita: (50,47,44,......,14). Primeiro calculamos a razão: r = 47– 50 r = -3 Substituindo na fórmula: 14 = 50 + (n – 1).(-3) 14 – 50 = (n -1).(-3) -36 = (n – 1).(-3) n - 1 = -36 / (-3) 12 = n - 1 Logo, n = 13

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA Observe a P.A. finita: Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Consideremos a P.A. finita de razão r: (a1,a2,a3,...,an-2,an-1,an) A soma dos seus termos pode ser escrita por: Portanto, Sn = (a1 + an) + ( a1 + an ) + ....+ ( a1 + an)) n/2 parcelas iguais a (a1 + an)

Então: em que: * a1 é o primeiro termo; * an é o enésimo termo; * n é o número de termos; * Sn é a soma dos n termos.

Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma dos termos de uma P.A. 1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2,6,....). Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termos formam uma P.A. finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n= 50 Devemos calcular an ou seja a50: a50 = 2 + 49 . 4 = 2 + 196 = 198 Aplicando a fórmula da soma temos: Logo, S50 = 5000

2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos. A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2. Calculando a20 temos: a20 = 1 + 19.2 = 1 + 38 Então, a20 = 39 Assim: Logo, S20 = 400