Taxas em pequenas áreas : uma abordagem bayesiana Ilka Afonso Reis Análise Espacial - INPE

Taxas em pequenas áreas yi é o número de casos da “doença” na área i ; ei é o número esperado de casos da “doença” na área i ; ρi é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ; (padronização) Taxa bruta : Quanto menor o no. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação

Qual é o problema com taxas brutas ? Suponha uma “doença” com r = 0,10 e acontece um caso em cada área (y = 1) Se Pop1 = 10000, e1 = 0,10 x 10000 = 1000 Se Pop2 = 1000, e2 = 0,10 x 1000 = 100 Se Pop3 = 100, e3 = 0,10 x 100 = 10 p1=1/10000 = 0,0001 e Var(p1) = 1/100002 = 1 x 10-8 p2=1/1000 = 0,001 e Var(p2) = 1/10002 = 1 x 10-6 p3=1/100 = 0,01 e Var(p3) = 1/1002 = 1 x 10-4

Qual é o problema com taxas brutas ? Taxa bruta Taxa suavizada

Solução para o problema das taxas brutas Suavizar as taxas Como ? Estimadores Bayesianos Empíricos Completos

Uma Breve Introdução à Inferência Bayesiana Probabilidade Condicional Teorema de Bayes Verossimilhança Probabilidade a priori Probabilidade a posteriori

Um exemplo : medidas de qualidade de testes diagnósticos Doente (D) Positivo (+|D) Negativo (-|D) Sadio (S) Positivo (+|S) Negativo (-|S)

Avaliação da qualidade do teste Acertos : Entre os doentes Sensibilidade (s) Especificidade (e) Entre os sadios

Avaliação da qualidade do teste Resultado do teste Padrão-ouro Total Doente Não Doente Positivo 265 47 312 Negativo 11 50 61 276 97 373

Avaliação da qualidade do diagnóstico Acertos : Entre os positivos Valor de Predição Positiva (VPP) Valor de Predição Negativa (VPN) Entre os negativos

Avaliação da qualidade do diagnóstico Regra de Bayes

Enfim ... Probabilidade a priori “Verossimilhança” Probabilidade a posteriori

Conceitos Básicos e Notação Dados : provenientes de uma amostra da população de interesse y = (y1, y2, ..., yn) P(y), distribuição de probabilidade conjunta de y. Parâmetros: quantidades, em geral desconhecidas, que estão presentes nos modelos probabilísticos para y e serão representadas por . P(y|), função de verossimilhança de y.

Exemplo : estimação de taxas yi , casos da “doença” na área i ei , número de casos esperados na área i segunda a taxa de referência Parâmetros a serem estimados ρi : o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência eiρi representa o número de casos esperados (média) na área i Na inferência clássica, boas estimativas para ρi são os valores que maximizam a função de verossimilhança P(y|ρi ). Estes valores são a estimativa de máxima verossimilhança O modelo para os dados é a função de verossimilhança P(y|). Modelo : yi ∼ Poisson(eiρi)

O Método da Máxima Verossimilhança Na inferência clássica, os parâmetros de um modelo são tratados como quantidades fixas (não aleatórias), porém desconhecidas. O método da máxima verossimilhança é considerado bom em muitos casos. Porém, quando a forma de P(y|) é complexa e/ou quando o número de parâmetros  envolvidos é grande, este método torna-se difícil de implementar.

A abordagem Bayesiana Na inferência Bayesiana, os parâmetros  são tratados como quantidades aleatórias. O modelo estatístico não é mais somente P(y|) e sim P(y,), a distribuição conjunta dos dados y e dos parâmetros  . As estimativas para  não serão somente valores, mas sim uma distribuição de probabilidades. P(|y) é a distribuição de probabilidades dos parâmetros  “ à luz” dos dados y.

A abordagem Bayesiana Como obter P(|y) ? Pela Regra de Bayes Probabilidade a priori Probabilidade a posteriori Verossimilhança

A abordagem Bayesiana P() expressa a incerteza sobre  antes de observarmos os dados y que dependem dele (a priori) . P(|y) expressa a incerteza sobre  depois de observarmos os dados y que dependem dele (a posteriori). De posse de P(|y), podemos examinar qualquer aspecto de  (média, variância, percentis, probabilidade de assumir determinados valores, etc.) (“Full Posterior Distribution”)

Passos para obtenção de P(|y) Escolher um modelo probabilístico para P(y|) – a função de verossimilhança; Escolher um modelo probabilístico para P() – a distribuição a priori ; Aplicar a regra de Bayes e calcular P(|y).

Exemplo : modelo Gamma-Poisson y é o número de casos da “doença” em certa área ; e é o número esperado de casos da “doença” em certa área; ρ é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência nesta área; Modelo para P(y|) : y ~ Poisson (e )

Exemplo : modelo Gamma-Poisson Modelo para P() :  ~ Gamma (,) hiperparâmetros Cálculo da posteriori P(|y) |y ~ Gamma ( + y ,  + e )

Exemplo : modelo Gamma-Poisson Suponha que y = 4 e e = 6.5 Priori´s : Gamma (0.5 , 0.5), Gamma (1,1) e Gamma (10,10) Posteriori´s : Gamma (4.5 , 7.0), Gamma (5,7.5) e Gamma(14,16.5)

Exemplo : modelo Gamma-Poisson Priori Quantis a posteriori Média a posteriori 0.025 0.500 0.975 Gamma (0.5,0.5) 0.421 0.596 0.813 0.643 Gamma (1 , 1) 0.449 0.623 0.837 0.673 Gamma (10 , 10) 0.687 0.828 0.988 0.855 Intervalo de Credibilidade de 95%

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo geral yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi) yi é o número de casos da “doença” na área i ; ei é o número esperado de casos da “doença” na área i ; ρi é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ; (padronização) log µi = log ei + θi ; θi denota o log do risco relativo (θi = log ρi , ou seja, ρi = exp(θi) ) Modelo de efeitos fixos (máxima verossimilhança) Quanto menor o no. esperado de casos, maior a variabilidade na estimação

Qual é o problema com taxas brutas ? Taxa bruta Taxa suavizada

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Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo de efeitos aleatórios ρi ∼ Gamma(ψi, fi)  µρ = ψi/fi e σ2ρ = ψi/fi2 ; Gamma “+” Poisson “=” Gamma ; P(ρi|y) ∼ Gamma(ψi + yi, fi + ei). Quanto maior o número de dados, mais próximo de yi/ei estará a estimativa do risco relativo ; Quanto menor o número de dados, mais próximo de ψi/fi estará a estimativa de risco relativo.

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Os parâmetros ψi e fi são os hiperparâmetros. Como saber quem ψi e fi ? Podem ser estimados (Bayes empírico) ; Pode-se estabelecer uma distribuição a priori para ψ e φ (hiperprioris). Exemplo: Mersey priori hiperprioris P(ρ, ψ, f|y) ∝ P(y|ρ)P(ρ|ψ, f)P(ψ)P(f)

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo espacialmente estruturado (abordagem completa) yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi) log µi = log ei + θi ; θi = log ρi θi = α + fi + i , onde α é o log do risco relativo médio sobre todas as áreas ; fi é a parte não-espacialmente estruturada do log do risco relativo da área i ; (média zero) i é a parte espacialmente estruturada do log do risco relativo da área i;

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Prioris : α ~ Uniforme [- ;  ] (“flat”) fi ~ Normal (0 ; 2f) A priori para νi é um modelo autoregressivo condicional Gaussiano (CAR) wij são pesos representando a adjacência das áreas. A definição mais comum para wij são valores binários : wij = 1, se as áreas i e j são adjacentes; wij = 0, caso contrário.

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo completo yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi) log µi = log ei + α + i + i α ~ Uniforme [- ;  ] i ~ Normal (0 ; 2) νi ~ CAR(2) Hiperprioris Gamma para τ = 1/ 2 e para τ = 1/2 (τ e τ representam a precisão) Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_spatial)

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Leishmaniose Visceral Humana (BH – 1994/95) Taxa bruta Taxa bruta Taxa bruta Taxa suavizada Taxa suavizada Taxa suavizada

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo espaço-temporal yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi) log µi = log ei + θi ; θi = log ρi θi = α + i + i + 0t + it, onde α , i e i são definidos como antes ; 0 ~ Uniforme [- ;  ] e i ~ CAR(2) representam a parte temporal do modelo Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_spatial_temporal)

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Previsão para o quarto período Modelo: No. de parâmetros : 365 Tempo de simulação de 10000 iterações: 112 segundos AMD Athlon XP2000 1.67 GHz 512 Mb RAM

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo espaço-temporal (alternativo) yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi) log µi = log ei + θi ; θi = log ρi Modelo linear para θi θi = α0 + αi + i (t-1), onde α0 ~ Uniforme [- ; ] αi ~ CAR(2α) e i ~ CAR(2β) são parâmetros de uma equação de regressão ; Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_dissert)

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Previsão para o quarto período Modelo linear No. de parâmetros : 243 Tempo de simulação de 10000 iterações: 51 segundos

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Modelo espaço-temporal (alternativo) yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi) log µi = log ei + θi ; θi = log ρi θi = α0 + αi + i (t-1) + i (t-1)2 , onde α0 , αi e i são definidos como antes ; i ~ CAR(2) ; Exemplo: leishmaniose visceral (leish_inpe_dissert)

Modelo espacial bayesiano para taxas em pequenas áreas Previsão para o quarto período Modelo quadrático No. de parâmetros : 364 Tempo de simulação de 10000 iterações: 69 segundos

Referências Bibliográficas Assunção, R. M. ; Reis, I. A. ; Oliveira, C. L. Diffusion and Prediction of Leishmaniasis in a Large Metropolitan Area in Brasil with a Space-Time Model. Statistics in Medicine (2001), 20 : pp. 2319- 2335 Spiegelhalter, D. ; Thomas, A. ;Best, N. ;Lunn, D. WinBUGS User Manual , (References), version 1.4, (2003)

Back-up slides

Bayes Empírico yi ∼ Poisson(µi) = Poisson(eiρi) ρi ∼ Gamma(ψi, i) E[ρi] = ψi/i e Var[ρi] = ψi/i2 E[yi] = Eρ[Ey[yi| ρi]] = Eρ[eiρi] = ei ψi/i Var [yi] = Eρ[Vary[yi| ρi]] + Varρ[Ey[ yi| ρi]] = ei ψi/i + (ei)2 ψi/i2 Pelo Método dos Momentos Então

Bayes Empírico O que nos leva a Igualando (1) e (2), temos

Padronização direta das taxas r é taxa de referência da “doença”; Popi é a população sob risco da área i ; ei = r x Popi , é o número esperado de casos na área i ; i é o risco da “doença” na área i ; ρi = i / r é o risco relativo (desconhecido) da “doença” em relação à taxa de referência ; ei x ρi = (r x Popi) x (i / r) = Popi x i ;

Cálculo da posteriori P(|y)

Distribuição Gaussiana (Normal) - < yi <  , - <  <   > 0 , y = (y1, y2, ..., yn) y1, y2, ..., yn i.i.d

Distribuição Beta                            

Distribuição Gamma (, )