7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 5 7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero) 7.2 Método de Romberg (Burden-Faires) 7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires) 7.4 Integração Dupla (Burden-Faires) 7.5 Método de Monte Carlo (Burian) hoje

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7. Introdução Primeira aula: Fórmulas de Newton-Cotes (Método do Trapézio, Método de Simpson..) Thomas Simpson (1710-1761). Segunda aula: Método de Romberg (1957) que é o Mé-todo do Trapézio+Extrapolação de Richardson (1927). L.F. Richardson (1881-1953) W. Romberg (1909-2003) Terceira aula:Método da Quadratura Gaussiana (1814). Carl F. Gauss (1777-1855) Hoje: Método de MONTE CARLO

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1. Método de Monte Carlo O nome "Monte Carlo" surgiu durante o projeto Manhattan na Segunda Guerra Mundial. No projeto de construção da bomba atómica em 1948, Stanislaw Ulam, Jonh von Neumann e Enrico Fermi consideraram a possibilidade de utilizar o método, que envolvia a simulação direta de problemas de natureza probabilística relacionados com o coeficiente de difusão do neutron em certos materiais. Existe um registro de um artigo escrito por Lord Kelvin dezenas de anos antes, no qual o Método já tinha sido utilizado.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1. Método de Monte Carlo O método de Monte Carlo (MMC) é um método estatístico utilizado em simulações estocásticas com diversas aplicações em áreas como a física, matemática e biologia. O método de Monte Carlo envolve a geração de observações de alguma distribuição de probabilidades e o uso da amostra obtida para aproximar a função de interesse.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1. Método de Monte Carlo Os métodos de Monte Carlo são simulações estatísticas que utilizam seqüências de números aleatórios. As aplicações mais comuns são em computação numérica para avaliar integrais. A idéia do método é escrever a integral que se deseja calcular como um valor esperado.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1. Método de Monte Carlo A integração deve ocorrer em um intervalo li-mitado (Área A do retângulo). As coordenadas (x,y) dos pontos são escolhidas aleatoriamen-te, sorteando dois números aleatórios. y f(x) a b x

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1. Método de Monte Carlo Note a área A é multiplicada pelo número A = Área do retângulo verde y f(x) a b x

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1. Método de Monte Carlo Exemplo 2: Cálculo de áreas entre curvas y g(x) f(x) a b x

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1. Método de Monte Carlo Exemplo 3: Cálculo de Pi Seja r = A = 1

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1. Método de Monte Carlo Exempo 3: Cálculo de Figura mais detalhada em Quim. Nova, Vol.31 No. 2, 433-444, 2008

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2. Gerador de Número Aleatório Um GNA, é um programa computacional que deve ser capaz de gerar valores aleatórios independentes e uniformemente distribuídos (isto é, todos com a mesma probabilidade de ocorrência) no intervalo de 0 a 1. A busca de bons algoritmos geradores de números aleatórios só se desenvolveu plenamente quando do advento dos primeiros computadores digitais.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3. Algoritmo de Metropolis O algoritmo de Metropolis, também conhecido por Algoritmo de Metropolis-Hastings, desenvolvido por Nicholas Metropolis e W. K. Hastings, é provavelmente o método Monte Carlo mais utilizado na Física, e tem como objetivo determinar valores esperados de propriedades do sistema simulado, através de uma média sobre uma amostra. O algoritmo é concebido de modo a se obter uma amostra que siga a distribuição de Boltzmann.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3. Algoritmo de Metropolis Para se determinar a probabilidade de uma dada configuração, seria necessário conhecer a chance de ocorrência de todas as outras configurações. A eficiência do algoritmo de Metropolis está diretamente ligada ao fato de não levar em conta a probabilidade das configurações em si, mas sim a razão entre elas. Dadas duas configurações m e n quaisquer, a razão entre a probabilidade da configuração m, Pm, e a probabilidade da configuração n, Pn, pode ser escrita como

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3. Algoritmo de Metropolis A partir das razões de probabilidades das configurações, o algoritmo de Metropolis pode ser implementado através do seguinte conjunto de regras: (a) Geração de uma configuração inicial aleatória, ou seja, com valores aleatórios para todos os graus de liberdade do sistema, respeitando as suas restrições. Vamos atribuir o índice m a essa configuração, que é aceita para a amostra.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3. Algoritmo de Metropolis (b) Geração de uma nova configuração-tentativa de índice n, resultado de pequenas alterações nas coordenadas da configuração m. (c) Se a energia da configuração n for menor que a da configuração m, inclui-se a configuração n na nossa amostra, e se atribui a ela o índice m a partir desse momento. Caso contrário, realizam-se os passos descritos nos subitems (c1) e (c2) abaixo:

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3. Algoritmo de Metropolis (c1) Gera-se um número aleatório entre 0 e 1; (c2) Se esse número aleatório for menor que , aceita-se na amostra a configuração n, e se atribui a ela o índice m. Caso contrário, o índice m permanece designando a configuração original. (d) Repete-se os passos (b) e (c) até que algum critério de parada seja satisfeito. Cada uma dessas repetições é dita um passo Monte Carlo (MC).

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.4. Distribuição de Boltzmann A Distribuição de Boltzmann permite calcular a função distribuição para um número fracionário de partículas Ni / N ocupando um conjunto de estados i cada um dos quais tem energia : onde kB é a constante de Boltzmann , T é a temperatura (admitida como sendo uma quantidade precisamente bem definida), gi é a degeneração, ou número de estados tendo energia Ei, N é o total do número de partículas e Z(T) é chamada função partição.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.4. Distribuição de Boltzmann Quando o sistema de partículas tem simplesmente a energia cinética da partícula, então a distribuição corretamente dá a distribuição de Maxwell-Boltzmann das velocida- des das moléculas do gás, previamente previstas por Maxwell em 1859. A distribuição de Boltzmann é, entretanto, muito mais geral.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.4. Distribuição de Boltzmann No limite do contínuo, se há g(E) dE estados com energia de E a E+dE, a distribuição de Boltzmann prediz uma probabilidade de distribuição para a energia: onde g(E) é chamado densidade de estado se o espectro de energia é contínuo.

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.4. Distribuição de Boltzmann A Distribuição de Boltzmann aumenta parabolicamente de zero para pequenas velocidades, chega a um máximo, e a partir daí diminui exponencialmente. À medida que a tempe- ratura aumenta, a posição do máximo se desloca para a direita. A área total sob essa curva é sempre unitária.