Centro Universitário Franciscano Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática RELAÇÃO TEORIA-PRÁTICA NO ENSINO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÃO QUADRÁTICA Aluna do Mestrado Giseli Sonego Professora da Escola Estadual João XXIII Santa Maria - RS

INTRODUÇÃO Um dos grandes desafios de nossa profissão é relacionar a teoria com a prática. A necessidade de se “entender” e “ser capaz” de usar a Matemática na vida diária e nos locais de trabalho é uma exigência atual. Para que o aluno aprenda Matemática com significado é fundamental trabalhá-la por meio de situações-problema, próprias da vivência do aluno, fazendo-o pensar, analisar, julgar e decidir pela melhor solução. É preciso que o aluno sinta a importância de saber o conteúdo Matemático para a sua vida.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais: “É preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que tornam uma linguagem de comunicação de idéias e permita modelar a realidade e interpretá-la.”

OBJETIVOS DA PRÁTICA DOCENTE Compreender o processo de maximização de áreas de retângulos através da análise gráfica de uma função quadrática. Utilizar material concreto como ferramenta auxiliar na determinação de área máxima de retângulos de perímetro constante. Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção do mundo real.

TRAJETÓRIA PROFISSIONAL Sou licenciada em Matemática pela Universidade Federal de Santa Maria, UFSM, e concluí o curso de Especialização, também pela UFSM, no ano de 2000. Iniciei minha vida profissional em 1992 numa escola estadual no município de São Pedro do Sul, posteriormente exerci por 3 anos minhas atividades docentes em Restinga Seca e atualmente sou professora concursada e faço parte do corpo docente da Escola Estadual de Educação Básica João XXIII, em São João do Polêsine.

RELATO DA EXPERIÊNCIA Esta experiência foi realizada no 2º semestre de 2006, com uma turma de 28 alunos do 1º ano do Ensino Médio. O conteúdo desenvolvido foi sobre função quadrática, mais especificamente valor máximo e mínimo da função.

Foi proposto aos alunos o seguinte problema: Como podemos construir um retângulo com um cordão de 80 cm, de modo que tenha área máxima? Para a resolução desse problema foi proposto aos alunos que desenhassem os possíveis retângulos que tinham como perímetro 80 cm.

Os alunos desenharam os seguintes retângulos: Clique aqui

Área= 300 cm2 10 cm 30 cm

Área= 300 cm2 10 cm 30 cm Área = 175cm2 5 cm 35 cm

Área= 300 cm2 Área = 175cm2 Área = 400 cm2

Área= 300 cm2 Área = 336 cm2 Área = 175cm2 Área = 400 cm2

Área= 300 cm2 Área = 336 cm2 Área = 175cm2 Área = 400 cm2

Após os alunos desenharem e manipularem os diversos retângulos indaguei qual deles tinha área máxima. Qual desses retângulos tem a maior área? ?

Indaguei ainda aos alunos: É possível obter uma relação entre o perímetro e os lados do retângulo para obter-se os possíveis valores dos lados?

Para responder a esta questão foi desenhado no quadro um retângulo de lados x e y tal que o perímetro fosse 80 cm. y x Perímetro: 2x + 2y = 80 cm ou y = 40 – x

Analisando a relação entre os lados do retângulo perguntei: Entre todos os valores que x pode assumir, como podemos descobrir o valor que torna a área máxima?

I = (0,40) Lancei um novo desafio Concluímos que x não poderia assumir o valor zero nem o valor 40, pois nesse caso o retângulo não poderia ser desenhado, portanto o intervalo I de variação de x, só poderia ser; I = (0,40) Lancei um novo desafio Entre todos os valores que x pode assumir, como podemos descobrir o valor que torna a área máxima?

Como o perímetro mede 80 cm, isto é, 80=2x+2y , obtemos para y: Para responder a questão, o primeiro passo foi calcular a área do retângulo. Área: A = x . y Como o perímetro mede 80 cm, isto é, 80=2x+2y , obtemos para y: y = 40 -x x Portanto a área é determinada por A = (40 – x).x ou, A= - x² + 40x

Considerando a função A = -x² + 40x, vamos determinar o valor de x tal que a área do retângulo seja máxima: Considerando as coordenadas do vértice (Xv, Yv) de uma função quadrática da forma y=ax2 + bx + c obtemos: Xv = - b/2a =-40/-2 =20 logo, Xv =20 cm ; A área máxima é dada pelo valor da ordenada do vértice, isto é: Yv = -Δ /4 a =-1600/-4 =400 logo, A max = 400 cm². Conclusão: Se x = 20, então A = 40 -20 = 20

O retângulo que terá a maior área será o de lados X=20 cm e y=20 cm, e a área máxima será de 400 cm².

Voltei a desafiá-los: Será que existe uma relação entre a área do retângulo e a função quadrática? Consideremos novamente a função quadrática A = - x² + 40x

Construindo o gráfico da função analisei com os alunos que o máximo da função área ocorre exatamente no vértice. V=(20,20) y 20 20 x

Analisando os valores obtidos, concluímos que o retângulo de perímetro 80cm e que possui área máxima é um QUADRADO de 20cm de lado e cuja área mede 400 cm².

A IMPORTÂNCIA DA ANÁLISE GRÁFICA A análise do gráfico foi a etapa mais importante, pois por meio do gráfico foi possível os alunos visualizarem em que ponto a área assumiu seu maior valor. Primeiramente chamei atenção para o fato da parábola estar voltada para “baixo” pois o coeficiente do termo x² é negativo. Salientei também que a parábola intercepta o eixo x em x= 0 e x= 40, que são as raízes da equação A =- x² + 40x. Por meio da análise do gráfico ficou mais claro para os alunos o fato de x não poder assumir valores “zero” e “40”, pois neste caso a área A seria “zero”. Por último analisei com os alunos o valor de x que maximizava a área.

Logo após começamos a verificar no nosso cotidiano, como podemos aplicar esse conhecimento. Pedi aos alunos que observassem como é a forma das casas populares. Eles constataram que elas tem geralmente a forma aproximada de um quadrado o que permite um maior aproveitamento da área construída. Também fomos verificar se nos canteiros de hortas caberiam mais mudas se eles tivessem a forma de um quadrado ou de um retângulo. Todos concluíram que os canteiros deveriam ser quadrados, porém eles não possuem essa forma devido ao difícil manejo para alcançar o centro do canteiro.

CONSIDERAÇÕES FINAIS Através do processo pedagógico desenvolvido pude perceber que consegui provocar o raciocínio dos alunos, levando-os a analisar e refletir sobre o tema e dar significado prático, pois o pensamento matemático que os alunos precisam desenvolver na escola é constituído por raciocínio rigoroso ou formal, que viabiliza processos informais, de aplicabilidade em situações concretas.