UNISINOS Programação em Pesquisa Operacional I Teoria de Filas Prof. Arthur Tórgo Gómez, Dr.

Ementa Introdução Sistemas Dinâmicos Teoria de Redes Teoria de Filas Distribuição Exponencial Aplicações

Introdução Uma das atividades mais desagradáveis do cotidiano é esperar em uma fila. Talvez, por este fato, este fenômeno tem recebido tanta atenção e esforços para o seu entendimento. O motivo deste esforço passa por uma característica humana: é através da compreensão dos fatos que ganhamos paciência. \

Sistemas Dinâmicos Teoria de Grafos Sistemas de Fluxo Teoria de Redes Teoria de Filas

Sistemas de Fluxo Modelagem Um recurso flui, se move ou é transferido através de um ou mais canais de capacidades finitas de modo a ir de um ponto a outro.

R ( E, V, M)

Sistemas de Fluxo Fluxo estável ( determinístico) a quantidade de fluxo é exatamente conhecida e é constante em relação a um intervalo de tempo de interesse; Fluxo instável (randômico ou estocástico) os períodos de demanda de serviço ( uso do canal) são incertos ou imprevisíveis e o tamanho das demandas são, também, impredizíveis.

Teoria de Redes/Teoria de Filas Definição Teoria de filas é o estudo da gestão do fluxo em uma estrutura de rede. Problema do congestionamento

Teoria de Redes/Teoria de Filas estado (discreto) processo, transformação ( fila)

Exemplo : Fluxo Estável Processo com um único canal e uma fila com população finita. Chegada de Clientes Canal de Serviço Saída Fila de Clientes

Teoria de Redes Definição Modelos Discretos Rede de Extensão Mínima Caminho Crítico Fluxo Máximo

Redes de Extensão Mínima Objetivo Projetar uma rede que conecte todos os nós da rede (direta ou indiretamente) de maneira a minimizar a soma dos comprimentos dos arcos. ( rede de extensão mínima ( minimum spanning tree))

Algoritmo Escolha um nó qualquer da rede Conecte o nó escolhido ao nó mais próximo Obs: os dois nós formam um conjunto conexo os demais formam um conjunto desconexo Escolha o nó no conjunto desconexo que esteja mais próximo a qualquer nó do conjunto conexo e faça a conexão Repita o passo anterior até que todos os nós estejam conectados

Exemplo: TV a Cabo Cidade Cabos de fibra ótica (km) Bairros

Exemplo: TV a Cabo Cidade 5 6 9 9 8 8 9 10 9 5 8 7 5

Exemplo: TV a Cabo Cidade 5 6 8 5 8 7 5 Valor Mínimo = 44 km

Caminho Crítico Objetivo Dada uma rede qualquer determinar a seqüência de arcos mais curta entre um nó origem e um nó destino. ( Algoritmo de Dijkstra)

Algoritmo Algoritmo Comece pela origem Conecte a origem ao nó mais próximo Obs: os dois nós formam um conjunto conexo; os demais formam um conjunto desconexo Escolha o nó no conjunto desconexo que esteja mais próximo à origem via qualquer nó do conjunto conexo e faça a conexão Repita o passo anterior até que o nó destino pertença ao conjunto conexo.

Transporte Célula de Manufatura 9 6 8 10 9 8 7 destino 5 7 origem 5

Fluxo Máximo Objetivo Dada uma rede, cujos arcos tem capacidade limitada, determinar qual o fluxo máximo que pode ser transportado entre dois nós ( origem e destino). Algoritmo de Ford-Fulkerson

Algoritmo Selecione um caminho qualquer entre a origem e o destino; Determine o fluxo máximo F que pode ser atingido usando este caminho; Subtraia F da capacidade de todos os arcos na direção usada pelo caminho; Adicione F a capacidade de todos os arcos na direção oposta usada pelo caminho; Obs: o caminho selecionado não é mais viável. Se houver caminhos alternativos retorne ao primeiro passo; Se não houver mais caminhos o fluxo máximo é a soma de todos os F calculados.

Fluxo Máximo 1000 1000 200 800 200 1000 1000

Fluxo Máximo 5 1000 1000 200 800 200 1 2 3 4 1000 1000 6 C 1: { 1,2,3,4} F1 = 200

Fluxo Máximo 5 1000 1000 0 600 0 1 400 2 1000 3 400 4 1000 1000 6 C 1: { 1,2,3,4} F1 = 200 ; C 2: { 1,6,3,2,5,4} F2 = 1000

Fluxo Máximo 5 0 0 2000 2000 0 1600 0 1 400 2 0 3 400 4 2000 0 0 2000 6 C 1: { 1,2,3,4} F1 = 200 ; C 2: { 1,6,3,2,5,4} F2 = 1000 F = 200 + 1000 = 1200

Teoria de Redes/Processo Estocástico A maioria dos sistemas do mundo real estão nesta categorias. X1 x2 . xn

Teoria de Filas Técnicas matemáticas utilizadas para analisar o fluxo de itens através de uma rede; A rede contém um ou mais locais onde existem restrições quanto aos tempos ou freqüências com que os objetos podem passar; Princípio da conservação: objetos não podem se materializar ou desintegrar;

Teoria de Filas Objetos bloqueados pelas restrições são armazenados em um local ( uma fila) até passarem pela restrição; Enquanto houver objetos em uma fila , eles serão processados tão rapidamente quanto a restrição permitir; Principais elementos de uma fila são os clientes, os servidores e a disciplina

Teoria de Filas Filas se desenvolvem a medida que clientes chegam ao sistema e entram em uma fila para aguardar processamento; Os servidores escolhem clientes dentre os que estão na fila de acordo com uma disciplina, efetuam o processamento e despacham os cliente;

Teoria de Filas Se o sistema estiver em equilíbrio, há um extenso ferramental analítico que pode ser usado para analisá-lo; Quando o sistema não está em equilíbrio ( por exemplo, aumento de fluxo em horas de pico) o problema deve ser analisado por outros métodos, tais como métodos gráficos e simulações.

Exemplos de Sistemas de Filas Serviços Comerciais: clientes externos recebem serviço de uma organização comercial: Serviço pessoa a pessoa com localização fixa: postos de gasolina, cafeterias... Serviço de Transporte: carros são os clientes ( fila em uma sinaleira, caminhão ou navio sendo carregado ou descarregado, aviões esperando para aterrissar ou decolar ;

Serviços internos de natureza industrial: clientes recebendo serviços pertencem a organização: Sistemas de manuseio de materiais, Sistemas de manutenção, Estações de inspeção, facilidades de serviços computacionais .... Serviços Sociais: Sistema judicial ( os juízes são os servos e os caos esperando a serem julgados são os clientes) , Sistema legislativo ( leis esperando para serem processadas)

Métodos Gráficos Diagramas de acumulação, mostram o número total de objetos que entraram e saíram de um sistema do momento de início da análise até um tempo t. Formalmente se objetos entraram no sistema nos tempos a1, a2,.... então a função cumulativa de chegada é dada por A (t) = número de aj com j  t. A definição de função de partida D(t) é similar. Por exemplo, no diagrama abaixo mostra as chegadas e saídas de um sistema hipotético

Contagem 8 - Cumulativa 7 - 6 - 5 - 4 - A(t) D(t) 3 - 2 - 1 - . . . . . . . 1 2 3 4 5 6 7 tempo

A curva superior, A(t), mostra o processo de chegadas, a inferior D(t), as partidas. O afastamento vertical entre as curvas mostra a diferença entre o número total de objetos que entraram e os que saíram do sistema a qualquer momento, ou seja, a população do sistema. O afastamento horizontal entre as curvas mostra a diferença entre o horário de saída e de entrada de um objeto, ou seja, o tempo de permanência do objeto no sistema desde que o tempo seja FIFO).

Portanto, basta examinar o diagrama para determinar informações como: a população máxima e mínima do sistema e quando estas populações ocorreram; tempos de permanência máximos e mínimos; a área entre as duas curvas permite a determinação de populações e tempos de permanência médios de objetos no sistema. Esse tipo de análise permite a solução de problemas em que a teoria clássica de filas não pode ser usada (porque trata basicamente de sistemas em equilíbrio).

Teoria de Filas: Sistemas em Equilíbrio Sistemas em equilíbrio são aqueles cujo estado independe do instante de tempo em que análise é feita. Isso não quer dizer que o estado do sistema não se modifique; ele pode flutuar randomicamente, mas seu comportamento pode ser descrito sem levar em consideração o horário.

Sistemas em equilíbrio são aqueles em que as condições operacionais (taxas de chegada e de serviço) são constantes durante todo o tempo ao menos durante um longo tempo em comparação a tempos de serviços típicos. No estudo de sistemas de filas em equílibrio, as chegadas de clientes e os tempos de processamento são normalmente descritos por distribuições probabilísticas ea disciplina pode ser FIFO (first-in first-out), LIFO ( last-in first-out), randômica, ou de acordo com um sistema de prioridades.

Além ,disto, há outros fatores que podem afetar o desempenho do sistema, como taxas de chegada, múltiplos servidores em paralelo ou em série, chegadas em grupo, comportamento de clientes em espera, etc.

Teoria de Filas: Notação Formato (a/b/c): (d/e/f), onde a é a distribuição da chegada dos clientes; b é a distribuição dos tempos de serviço ( ou partidas); c é o número de servidores em paralelo; d é a disciplina de serviço ( FIFO, LIFO,...); e é o número máximo de clientes permitidos no sistema ( fila + serviço); f é o número máximo de clientes que podem usar o sistema.

Além disto, a notação padronizada utiliza os seguintes símbolos para descrever as atribuições de chegada e serviço dos clientes: M processo Poisson, com intervalos exponenciais ( M de Markov) D Determinístico Ek processo Erlangiano, com intervalos gama (k) GI Distribuição Geral com chegadas independentes G Distribuição Geral

Os três últimos símbolos são geralmente omitidos quando a disciplina é FIFO e não há restrições quanto ao número de clientes. Por exemplo o sistemas de filas mais simples é o M/M/1, ou seja, chegadas e serviços Poisson, um servidor apenas e sem restrições quanto ao tamanho máximo da fila, ou ao número máximo de clientes que possam utilizar o sistema.

Exemplos: Sistema com um servidor: M/M/1:GD// , caso mais simples. Sistema com k servidores: M/M/k:GD/  /, um sistema com múltiplos servidores com uma fila única como é o caso dos bancos. Sistemas com espaço limitado: M/M/1:GD/ k /, o espaço para a formação de filas é limitado e que clientes chegam quando o espaço esta lotado abandonam o sistema e não retornam;

Sistemas com k servidores e espaço limitado: M/M/k:GD/ k / , o sistema tem k servidores e nenhum espaço para a acumulação de clientes além daqueles que estão em serviço. Este é o caso por exemplo de uma central telefônica com k linhas ou de um posto de gasolina com k bombas e nenhuma vaga de estacionamento. Manutenção de Máquinas ( clientes limitados): M/M/1:GD/ k / k, no sistema existem k máquinas sob os cuidados de um único operador.

Tempos de serviço gerais: M/G/1: GD//, em alguns sistemas de filas, os tempos de serviço não são distribuídos segundo um processo de Poisson, mas sim segundo uma distribuição mais genérica. Esses sistemas são especialmente comuns quando o tempo de serviço é automatizado. Nestes casos, pode –se aplicar a fórmula de Pollaczek-Khintchine.

Teoria de Filas: Estrutura Básica Clientes demandando serviço são inseridos no sistema por uma fonte (geração em relação ao tempo). Os clientes entram no Sistema da Fila e entram em uma fila. Em um dado momento, um membro da fila é selecionado para receber um serviço, conforme uma regra conhecida : disciplina da fila.

O serviço é realizado pelo prestador do serviço Após a realização do serviço o cliente deixa o Sistema da Fila Fonte Clientes Fila Serviço Clientes Atendidos Sistema de Fila

Fonte: Processo de Chegadas A chegada de clientes ao sistema ocorre, na maioria das vezes, de forma aleatória; Caracterizado por uma função de distribuição de probabilidades ( estado estacionário);

Fila Assumir fila de tamanho finito; Disciplina: Maneira de como os membros da fila são selecionados para o serviço: FIFO, LIFO, RANDON ou outra prioridade. Se nada for dito considera-se FIFO.

Serviço Formado por uma ou mais facilidades; Cada facilidade contém um ou mais servidores em paralelo, chamados de servos; O tempo de realização do serviço é denominado de tempo de serviço; Uma função de distribuição de probabilidade especifica o tempo de serviço.

Sistemas de Filas: exemplos Processo com uma fila com população finita e um servo. Chegada de Clientes Canal de Serviço Saída Fila de Clientes

Sistemas de Filas: exemplos Processo com uma fila com população finita e três canais. Chegada de Clientes Canal de Serviço Saída Fila de Clientes

Filas:Terminologia e Notação Estado do Sistema: número de clientes no sistema; Tamanho da Fila: número de clientes esperando por serviço ( estado do sistema menos o número de clientes sendo atendidos); N(t) = número de clientes no sistema no tempo t (t >= 0); Pn(t) = probabilidade de exatamente n clientes estarem no sistema no tempo t, dado um número para o tempo zero; S = número de servos (paralelos) no sistema ;

Filas:Terminologia e Notação = taxa média de chegada ( número esperado de chegadas por unidade de tempo) de novos clientes quando n clientes estão no sistema; = taxa média de serviço ( número esperado de clientes atendidos por unidade de tempo) quando n clientes estão no sistema; Quando é constante para todo n é representado por ;

Quando a taxa média de serviço por servo ocupado é constante para todo n >= 1, está constante é representada por µ.  =/(s) é a taxa de utilização do sistema : fração de tempo esperada dos servos em que eles estão ocupados

Distribuição Exponencial As características da dinâmica de um Sistema de Filas são determinadas em grande parte por duas propriedades estatísticas: Função distribuição de probabilidade das chegadas; Função distribuição de probabilidade dos tempos de serviço.

No mundo real estas distribuições podem assumir as mais variadas formas; A função distribuição de probabilidade escolhida deve ser o suficientemente realista para que o modelo forneça predições razoáveis e , ao mesmo tempo, deve ser o suficientemente simples para que o modelo seja matematicamente tratável. Dadas as considerações acima, a função de distribuição de probabilidade mais importante na Teoria de Filas é a Distribuição Exponencial com parâmetro .

Função Distribuição de Probabilidade Seja a variável aleatória T que representa ou intervalos entre chegadas ou tempos de serviço. Esta variável é dita como tendo Distribuição Exponencial com parâmetro  se sua função densidade de probabilidade é para t>= 0 para t <0

Probabilidade Cumulativa P { T  t } = 1 – e -t P { T > t } = e -t (t  0) fT(t)  E(T) = 1/  t E(T) = 1/  e var(T) = 1/  2

Propriedades da Distribuição Exponencial fT(t) é uma função estritamente decrescente de t ( t  0): P{0  T  t} > P{0  T  1 + t}, qq. t e t > 0 Perda de memória: P{ T > t + t | T > t} = P{T > t}, qq. t e t > 0 A distribuição da probabilidade do tempo de permanência até que o evento ( finalização chegada ou serviço) ocorra sempre é a mesma, indiferente de quanto tempo (t) já tenha passado. O processo esquece a sua história

Explicação deste fenômeno: P{ T > t + t | T > t} = P{ T > t, T > t + t} P{ T > t} = P{ T > t + t} = e-( t + t) e- t = e - t

Comentários Tempos entre chegadas: o tempo até a próxima chegada não sofre nenhuma influência da última chegada ocorrida; Tempo de serviço: serviços diferentes.

O mínimo de várias variáveis randômicas exponencialmente independentes terá uma distribuição exponencial: Tempos de chegada: admitindo que existem (n) diferentes clientes chegando ao sistema e que o intervalo de tempo entre as chegadas para cada cliente (i) tem distribuição exponencial com parâmetro i (i =1,2,...,n). Pela segunda propriedade, o tempo restante a partir de qualquer instante até a próxima chegada tem a mesma distribuição. Portanto, pode-se ignorar o fato que os clientes são diferentes e ainda teremos tempos com distribuição exponencial entre as chegadas para o sistema de filas.

Tempos de Serviço: situação interessante para modelos de filas tendo mais de um servo (n). Supor que todos os (n) servos tem a mesma distribuição exponencial com parâmetro  para o tempo de serviço. Pela propriedade podemos considerar o sistema como tendo um único servo sendo que o tempo de serviço tem distribuição exponencial com parâmetro n .

Distribuição de Poisson Supor que o tempo entre ocorrências consecutivas de algum tipo de evento ( chegadas ou serviço realizado por um servo) tem distribuição exponencial com parâmetro . Em particular seja X(t) o número de ocorências em relação ao tempo t (t 0), onde t=0 define o instante em que inicia a contagem. Portanto,

P{X(t) = n } = (t)ne- t , para n = 0,1,2,...; Ou seja, X(t) tem distribuição de Poisson com parâmetro t. Se n=0 P{X(t) = 0} = e- t Que é a probabilidade, de uma distribuição exponencial, de que o primeiro evento ocorra depois de um tempo t.

A média da distribuição de Poisson é E { X(t)} = t , o número esperados de eventos por unidade de tempo ( taxa média de ocorrência dos eventos). Quando os eventos são contados em uma base contínua, o processo de contagem {X(t): t0} é dito ser um processo de Poisson com parâmetro  ( taxa média).

Finalização de serviços quando os tempos de serviço tem distribuição exponencial com parâmetro : define-se X(t) como número de serviços finalizados por um servo continuamente ocupado em um período de tempo t onde  = . Para múltiplos servos  = n.

Aplicações Apresentação de modelos e suas equações; Sistemas em equilíbrio 1 canal e uma fila com população infinita; 1 canal e população finita

Medidas de Efetividade Percentagem de tempo em que o servo permanece ocioso ou ocupado; Tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera; Tempo médio gasto pelo cliente no sistema (média dos tempos computados desde o instante de entrada até o de saída; Número médio de clientes na fila ( tamanho médio da fila);

Número médio de clientes no sistema em uma unidade de tempo; Probabilidade de existir um número n de clientes no sistema. A escolha do parâmetro depende do objetivo do estudo.

Sistema de 1 canal e 1 fila com população infinita Chegada de Clientes Canal de Serviço Saída Fila de Clientes

Equação básica do modelo M/M/1 Equações do modelo: Probabilidade de haver n clientes no sistema P(n) = (/)n . ( - )/  Equação básica do modelo Probabilidade de que o número de clientes no sistema seja superior a um certo valor r P(n > r) = (/)r+1

Probabilidade de que o sistema esteja ocioso ( taxa de ociosidade) P (n = 0) = (/)0 . ( - )/  = ( - )/  Probabilidade de que o sistema esteja ocupado (taxa de ocupação) P(n > 0) =  = (/)

Parâmetros da fila Número médio de clientes no sistema (NS) Número médio de clientes na fila (NF) NF = 2 /  ( - ), este valor inclui as filas de tamanho zero. Para Fila > 0 NF (Fila > 0) =  / ( - ) Tempo médio de espera na fila por cliente (TF) TF =  /  ( - ) Tempo médio gasto no sistema por cliente (TS) TS = 1 / ( - )

Relações entre TF, TS, NF e NS N. médio de clientes na fila (NF) e tempo médio de espera a fila(TF) NF =  . TF analogamente, N. médio de clientes no sistema (NS) e tempo médio gasto no sistema por cliente (TS) NS =  . TS Tempo médio de espera na fila (TF) é igual ao tempo médio gasto no sistema (TS) menos o tempo médio gasto no atendimento TF = TS – 1/  NF = NS - / 

Equipe de Apoio Administrativo Uma seção de apoio administrativo ligada a uma linha de produção é encarregada pelo preenchimento de diversos tipos de formulários referentes a requisição de peças, materiais e manutenção dose equipamentos. Os formulários devem ser processados o mais rápido possível, de modo a evitar atrasos no processo produtivo. O sistema tem características aleatórias: não há previsão antecipada dos pedidos. Deseja-se estudar o sistema para obter subsídios para a tomada de decisão com relação a uma possível ampliação.

Modelagem Qualquer funcionário tem condições de processar qualquer tipo de formulário indistintamente ; Os clientes são os formulários e as requisições; A população é considerada infinita; Levantamento estatístico do número de pedidos por formulários por dia de serviço e dos tempos gastos no preenchimento dos mesmos: taxa média de chegada  = 15 pedidos por dia ( distribuição de Poisson) e  = 21 formulários preenchidos por dia ( distribuição de Poisson) com um tempo médio de preenchimento de 22,8 minutos ( dia de 8 horas), segundo a distribuição exponencial negativa.

Medidas de Desempenho Número médio de pedidos por dia :  = 15; Número médio de atendimentos por dia: = 21; Taxa de utilização da seção:  = 0,714; Número médio de pedidos na seção: NS = 2,5; Número médio de pedidos aguardando processamento: NF = 1,78; Tempo médio de espera por formulário, antes do preenchimento: TF = 0,12 dia ou 57,6 minutos; Tempo médio gasto na seção por formulário, incluindo espera e preenchimento: TS = 0,17 dia ou 81,6 minutos. Obs: dia útil de 8 horas

Análise A seção não está sobrecarregada: preenchimento dos formulários consome 71% do tempo útil; Cada formulário permanece no sistema 1,5 hora em média (o que é considerado razoável ); O número de requisições esperando o processamento não é elevado (NF = 1,78),o que indica que o sistema está operando satisfatoriamente.

Taxa de Serviço para custo mínimo total do sistema Custo do cliente: o tempo do cliente no sistema ( na fila de espera ou sendo atendido) tem custo; Custo do atendimento: todos os custos produzidos pelo processo de atendimento (salários,aluguéis,equipamentos,etc) podem ser computados de forma a produzirem um custo médio por atendimento; O custo total do sistema é formado pela soma dos dois custos acima; O objetivo é determinar a taxa de serviço  que resulta no menor custo total do sistema

Nomenclatura CT: custo total do sistema; CE: custo de permanência do cliente no sistema médio por período; CA: custo de atendimento médio por período; CEunit: custo de permanência unitário,por cliente, por período; CAunit: custo de atendimento unitário, por cliente

Relações CT = CA + CE CE = CEunit . NS = CEunit .(  / ( - )) CA = CAunit .  CT = CEunit .(  / ( - )) + CAunit .  Para obter o valor de  que dá o custo mínimo,basta resolver a equação: d (CT) = - CEunit . ( / ( - )2) + CAunit = 0 d  ( - )2 . CAunit = CEunit .  * =  + (. Ceunit/ CAunit ) 1/2

Custos CT CA CE * Taxa de Atendimento

Exemplo Uma oficina elétrica recebe por dia 2 pedidos de consertos, segundo uma distribuição de Poisson. O eletricista consegue reparar uma média de 2,5 aparelhos por dia, também segundo distribuição de Poisson. A oficina estima que cada dia de espera de um aparelho custa R$ 80,00 em termos de penalidades (seguros e imagem da empresa). A mão-de-obrapara cada conserto custa em média R$ 80,00. Determinar o custo total de operação da firma por dia e a eficiência do eletricista referente ao menor custo total.

* =  + (. Ceunit/ CAunit ) ½ = 3,14 equipamentos por dia  = 2 pedidos por dia  = 2,5 consertos por dia CEunit= R$ 80,00 CAunit = R$ 80,00 Custo de espera CE = CEunit .(  / ( - )) = 320 Custo de reparos CA = CAunit .  = 200 Custo total, CT = 520 * =  + (. Ceunit/ CAunit ) ½ = 3,14 equipamentos por dia

Sistema de um canal e população finita M/M/1: F/k/k Exemplos: Almoxarifado; Oficina de manutenção; Sistema caminhão-escavadeira com número finito de caminhões;

Equações do Modelo Probabilidade e haver n clientes no sistema Número médio de clientes na fila NF = K - ( + ) . (1 – P0)  Número médio de clientes no Sistema NS = K - ( + ) . (1 – P0) + ( /  )

Tempo médio gasto no sistema TS = K - ( + ) . (1 – P0) + (1 /  )  2 Tempo médio gasto na fila TF = K - ( + ) . (1 – P0)  2

Exemplo Uma seção de uma fábrica possui 6 máquinas que se estragam com uma taxa média de 3 por semana, segundo a distribuição de Poisson. A equipe de manutenção consegue reparar, em média, 6 máquinas por semana. calcular a probabilidade de haver n máquinas fora de operação ( 1 máquina em reparo e n-1 esperando), para n = 0,1,2,3,4,5,6. Calcular o tempo médio gasto por máquina na equipe de manutenção, o tempo médio de máquinas na fila e o número médio de máquinas paradas por semana.

Características do sistema: = 3,  = 6 e k=6; Probabilidade de haver n máquinas paradas n = 0 Po = 0,012 n = 1 P1 = 0,0362 n = 2 P2 = 0,0906 n = 3 P3 = 0,1812 n = . P. = ...........

Número médio de máquinas esperando conserto, NF = 3,036 Número médio de máquinas paradas, NS = 3,536 Tempo médio por máquina parada, TS = 1,1786 semana Tempo médio de espera por máquina, TF = 1,012 semana

Bibliografia Gelenbe, E.; Pujolle, G. Introduction to Queueing Networks. John Wiley & Sons, New York, 1998. Hillier, F.S,; Lieberman, G.J. Introduction to Opetrations Research. McGraw-Hill, New York, 1995. Kleinrock, L. Queueing Systems, Volume I: Theory. John Wiley & Sons, New York, 1975. Papadopoulos, H.T.;Heavey,C.;Browne,J. Queueing Theory in Manufacturing Analysis and Design. Chapman & Hall, New York, 1993.