AULA 5 - Resolvendo Problemas de Programação Matemática: Métodos de Busca Métodos de Resolução Solução Analítica Solução Numérica Solução Numérica - Idéia Geral Exemplo: Problema de Localização Ótimo Local e Ótimo Global Busca Local: uma iteração Cálculo da Direção de Caminhada Direção Factível e Direção de Melhoria Gradiente de f(x) Direção de crescimento e de decrescimento. Busca Unidimensional Observações: Função Unimodal Função Unimodal, Conjuntos Convexos e Ótimo Global Direção de Caminhada em Problemas com restrições 5-1

Solução de Problemas de Otimização Métodos de Resolução Obtenção da Solução Método Analítico (solução fechada) Exemplo : Problema EOQ (Aula 2) Lote Ótimo : q* = (2fD/h)1/2 Método Numérico Solução obtida através de processo numérico iterativo 5-2

Métodos Numéricos IDÉIA GERAL: Algoritmos de Busca Obter uma solução inicial factível. Repetir enquanto a condição de parada não é satisfeita : Numa vizinhança da solução atual procurar uma nova solução factível com melhor valor da função objetivo (Busca Local ou em vizinhança) Atualizar solução. Realizar teste de parada. 5-3

Exemplo: Problema de Localização Uma empresa pretende abrir um novo supermercado em uma região com 3 cidades, conforme mostrado na figura a seguir. Problema : Determinar em que local da região deve ser localizada a nova loja. Restrição : As prefeituras das 3 cidades não permitem que se localize a nova loja dentro de numa zona delimitada por um raio de 1/2 quilômetro a partir do centro das cidades, com o propósito de evitar congestionamentos na área central. 5-4

Problema de Localização Os centros populacionais e número de habitantes. 5-5

O Problema de Localização: Formulação Função Objetivo : adota um perfil gravitacional, ou seja, supõe que a loja tem uma capacidade de atrair clientes que é proporcional à população da região e inversamente proporcional ao quadrado (1+) distância que a separa dos clientes. Maximizar p=(60/[1+(x1 + 1)2 + ( x2 - 3)2 ] + 20/[1+(x1 - 1)2 + ( x2 - 3)2 ] + 30/[1+(x1)2 + ( x2 + 4)2 ] Restrições : (x1 + 1)2 + ( x2 - 3)2 >= (1/2)2 (x1 - 1)2 + ( x2 - 3)2 >= (1/2)2 5-6

Problema de Localização Visão espacial da função objetivo Uma Solução: é uma escolha de valores para as variáveis de decisão. Ex. : x1 = 1 , x2 = 0,5. Equivale a um ponto no espaço n, onde n é o número de variáveis de decisão. 5-7

Problema de Localização Processo Iterativo (visão espacial) Cada passo do processo iterativo gera uma nova solução factível 5-8

Ótimo Local e Ótimo Global O processo de busca local termina em uma solução conhecida como ótimo local. Nem sempre um ótimo local é um ótimo global (a melhor de todas as soluções). Um ótimo local é sempre um ótimo global só quando o problema apresenta características específicas, tais como convexidade. Dependendo da solução inicial, pode-se obter diferentes ótimos locais. Procedimento Heurístico: determinar vários ótimos locais e escolher o melhor deles (não garante achar o ótimo global). 5-9

Busca Local: Uma iteração Problema: A partir de x(3) determinar uma nova solução factível x(4) com valor da função objetivo maior. Graficamente: Numericamente: x(4) = x(3) + α.x Onde: x é uma direção de melhoria α é o tamanho do passo na direção x Um procedimento para busca local : 1) Cálculo da direção de caminhada (Direção de melhoria) 2) Busca unidimensional (Quanto caminhar nesta direção ?) 5-10

Direção Factível : x(k+1) = x(k) + α.x Cálculo da Direção de Caminhada: Direção Factível e Direção de Melhoria Direção Factível : x(k+1) = x(k) + α.x Uma direção x é dita factível a partir de um ponto x(k)  CSF se existir algum α > 0 tal que o novo ponto x(k+1) também pertença ao CSF. Direção de Melhoria : A direção x é de melhoria se ela é uma direção factível a partir de um ponto x(k) e se existir algum α > 0 tal que o novo ponto x(k+1) é também factível e apresente um valor de função objetivo melhor que o ponto x(k) . 5-11

Cálculo da Direção de Caminhada: Direção Factível e Direção de Melhoria Supondo um problema de minimização e o CSF definido por x1 0 e x2 0, então todas as direções indicadas na figura abaixo são factíveis, porém somente a direção d1 é uma direção de melhoria. d1 5-12