Instituto Galileo Galilei Prof. Luis Fábio

PROBABILIDADES aplicada na Teoria dos Jogos Física Genética Estatística

O que é sorte? Eu definiria como “eventos que influenciam nossas vidas (ou dos outros) e que, pelo menos aparentemente, estão fora de nosso controle”.

A Física moderna (mecânica quântica) já mostrou que o Universo funciona de fato com fatores aleatórios. Do ponto de vista da Filosofia, esse é também um ponto a ser considerado: qualquer um que acha que tem controle rígido e detalhado de suas vidas está vivendo uma ilusão.

Em algumas situações, é possível ampliar suas chances de sucesso ao adotar determinadas posturas e procedimentos que minimizem riscos. Isso é estudado na Psicologia, por exemplo. Aqui entra: seu preparo profissional e acadêmico, planejamento, experiência no tema, dedicação, perseverança etc.

O Universo (e a Vida) são previsíveis ou são compostos de elementos incontroláveis? Einstein acreditava que “deus não joga dados”... Essa é uma frase sempre mal citada, pois mostra um dos poucos erros dele, ao crer no ideia de universo mecânico. O fato é que “deus joga dados” (Stephen Hawking)...

Física e Universo Mecânica Quântica: “deus” joga dados. http://www.youtube.com/watch?v=pCgR6kns5Mc O universo (e a vida) funcionam com participação de eventos probabilísticos.

Probabilidade P = (o que vc quer) (total de possibilidades)

Probabilidade A probabilidade pode ser expressa como fração ou como porcentagem.

Universo Pode variar de 0 (zero) = 0% - impossível de ocorrer até 1 (100%) – certeza que vai ocorrer. O resto está entre os dois extremos e pode ser previsto.

Análise Combinatória Recorde como mapear o espaço amostral a partir desta questão do Enem 2012:

Probabilidade Ex: Qual a chance de jogar uma moeda duas vezes e dar cara (K) nas duas? Mapa: KK cc Kc cK P = ¼ = 0,25 = 25%

Probabilidade Ex: Probabilidade de jogar um dado, apostar que vai dar “5” e ganhar? P = 1/6 = 0,166 = 16,6%

Probabilidade Ex: Probabilidade de jogar um dado, apostar que vai dar “4 ou “5” e ganhar? P = 2/6 = 1/3 = 0,333 = P=33,3%

Probabilidade Ex: Probabilidade de jogar um dado apostando que a face seja par, e ganhar? P = 3/6 = 0,5 = 50%

Probabilidade Ex: Probabilidade de jogar dois dados, apostando na soma das faces igual a 11 e ganhar? Mapa: resultados P = 2/36 = 1/18 = 0,055 = 5,5%

Distribuição Estatística – Simulador http://phet.colorado.edu/sims/plinko-probability/plinko-probability_en.html Note que é a mesma que fizemos para o mapa de lançamento dos dois dados e aparece em casos de geografia, populações, medicina, etc.

Jogo de Dados – Simulador http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math8/strand4/4201.htm

Probabilidade Ex: Qual a probabilidade de jogar um só dado duas vezes seguidas e dar 6 nas duas vezes que você jogar? É a mesma coisa que jogar dois dados de uma só vez, apostar em soma 12 e ganhar?

Solução: P = (1/6) . (1/6) = 1/36 Jogar um dado só duas vezes: Jogar os dois de uma vez (o mapa teria 36 pares possíveis): 1/6 1/6 1/36

Um baralho tem 52 cartas, divididos em 4 naipes Um baralho tem 52 cartas, divididos em 4 naipes. Cada naipe tem um ás, um rei, uma dama e um valete. Paus, Copas, Espadas, Ouros - Então cada naipe tem uma série de 13 cartas

Questão: a) De um baralho completo, qual a chance de pegar uma carta sem olhar e ser um ás? Solução: 4 cartas serviriam P = 4/52 = 1/13 = 0,076 = 7,6%

Questão: b) De um baralho completo, qual a chance de pegar uma carta sem olhar e ser um ás de ouros? Solução: só 1 carta serviria P = 1/52 = 0,0192 = 1,9%

Questão: c) De um baralho completo, qual a chance de pegar primeiro um rei de espadas e depois tirar um valete? Solução: na primeira só 1 carta serviria e depois qualquer valete P = 1/52 . 4/51 = 4/2652 = 0,001 = P = 0,1%

Questões: d) Qual a chance de tirar duas cartas, primeiro um ás e depois uma dama? e) Qual a chance de tirar duas cartas do baralho, ficando no fim com um ás e uma dama?

Questões: d) Qual a chance de tirar duas cartas, primeiro um ás e depois uma dama? e) Qual a chance de tirar duas cartas do baralho, ficando com um ás e uma dama? P = Ás/Dama ou Dama/Ás P = 0,6 % . (2) = 1,2%

Questões: f) Tirar dois valetes na sequência? P = 4/52 . 3/51 = 12/2652 P = 0,0045 = 0,4%

Caixa com Sorteio Uma caixa contém 16 bolas. Destas, 10 são azuis, 4 são pretas e 2 são amarelas. Qual a probabilidade de: Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? Tirar uma e ela ser amarela? Tirar duas azuis seguidas? Tirar uma preta e depois uma azul? Tirar duas, ficando com uma azul e uma preta? Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? Tirar uma e ela não ser preta? Tirar uma bola vermelha?

Total:16 bolas 10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas. Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? Tirar uma e ela ser amarela? Tirar duas azuis seguidas? Tirar uma preta e depois uma azul? Tirar duas, ficando com uma azul e uma preta? Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? Tirar uma e ela não ser preta? Tirar uma bola vermelha?

Total:16 bolas 10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas. Tirar uma bola sem olhar e ela ser azul? P = 10/16 = 5/8 Tirar uma e ela ser amarela? P = 2/16 = 1/8 Tirar duas azuis seguidas? (AZUL e AZUL) P = (10/16) . (9/15) = 90/240 = 9/24 Tirar uma preta e depois uma azul? (PRETA e AZUL) P = (4/16).(10/15) = 40/240 = 4/24

Total:16 bolas 10 azuis, 4 pretas e 2 são amarelas. Tirar duas, ficando com uma azul e uma preta? P = 4/16 . 10/15 (Preta, Azul) P = 10/16 . 4/15 (Azul, Preta) Então: P = (4/24). 2 = 8/24 = 1/3 Tirar uma só, e ela ser azul ou amarela? P = 12/16 = ¾ (75%) Tirar uma e ela não ser preta? P = 12/16 = ¾ (veja que é a mesma que a pergunta de cima!!) Tirar uma bola vermelha? P = 0/16 = 0 (impossível)!

Caça Níquel Objetivo: girar e tirar três frutas iguais. No caso mais simples: Se tem 5 tipos de frutas, para dar 3 iguais: P = 1/5 . 1/5 . 1/5 = 1/125 Logo: P = 5 (1/125) = 1/25

Caça Níquel Objetivo: tirar seu dinheiro

OBMEP 2011 3 3 3 Ana Bárbara Carol 3 3 3 Ana Bárbara Carol Cada uma comprou três blusas iguais da mesma cor, uma amarela, outra verde e outra preta. Qual a chance de saírem juntas e as três com a mesma blusa? P = 3 . 3 . 3 = 27 (total de possibilidades no mapa geral) Dessas, 3 são combinações repetidas (AAA, VVV, PPP) Então: P = 3 / 27 = 1/9

Exercícios jogador jogou ganhou A 12 6 B 3 C 2 D 1 Num campeonato de Poker a tabela mostra os resultados das últimas partidas: Qual a chance de: O jogador A ganhar a próxima partida? O jogador B perder a próxima? C ou D ganharem a próxima? jogador jogou ganhou A 12 6 B 3 C 2 D 1

Exercícios O jogador A ganhar a próxima partida? P = 6/12 = ½ (50%) O jogador B perder a próxima? P = 9/12 = ¾ (75%) C ou D ganharem a próxima? P = 3/12 = ¼ (25%) jogador jogou ganhou A 12 6 B 3 C 2 D 1

Exercícios Nos treinos de futebol de uma equipe, o batedor de pênaltis oficial costuma acertar 4/5 das cobranças que faz. Qual a probabilidade dele entrar num jogo, ser chamado para cobrar dois pênaltis e errar os dois?

Exercícios Veja: Estatística com Combinatória... Para isso ocorrer ele tem que errar os dois. A chance dele cobrar o primeiro e errar é de 1/5. Idem para errar o segundo pênalti (que não depende do primeiro). errar errar P = 1/5 . 1/5 = 1/25

BIOLOGIA Genética Eventos probabilísticos estão na base da propagação de características físicas genéticas e doenças, ao combinar genes dos pais. O estudo de Análise Combinatória permite o trabalho nesse campo da ciência.

Genética Um casal planeja ter três filhos. Qual a chance deles terem três meninas? E de ter uma menina e dois meninos? Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM 3 meninas: P = 1/8 = 0,125 = 12,5% 1 menina e 2 meninos: P = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Genética Questões Qual a chance de ter um só filho e ser homem? Ter três homens? c) Ter três filhos todos do mesmo sexo?

Genética Questões: a) Qual a chance de ter um só filho e ser homem? b) Ter três homens? c) Ter três filhos todos do mesmo sexo? Mapa: HHH MMM HHM HMH MHH MMH HMM MHM a) P = ½ (50%) b) P = 1/8 c) P = 2/8 = ¼ (25%)

Genética - Teoria A cor dos olhos é uma característica transmitida geneticamente. Ela é comandada pela combinação de dois genes, que vêm um da mãe e outro do pai. O gene dominante é A e o recessivo é a Nesse caso, quando aparece na combinação o gene dominante A a pessoa terá a característica marcada por esse gene. Para cor dos olhos, o gene A determina olhos castanhos, então para ter olhos azuis a pessoa deve ter genótipo aa

Genética - Teoria Aa olhos castanhos aA olhos castanhos Veja as combinações possíveis para cor dos olhos: Aa olhos castanhos aA olhos castanhos AA olhos castanhos aa olhos azuis

Genética Questão: Um casal tem o homem com genótipo aa e a mulher é Aa. Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis?

Questão: Um casal tem o homem com genótipo aa e a mulher é Aa. Qual a probabilidade do filho ter olhos azuis? Veja: Aa Mulher aa Homem Então o filho poderá ser (Mapa de possibilidades): Aa Aa aa aa Logo, são dois casos possíveis para ele ter olhos azuis: P = 2/4 = ½ = 0,5 = 50%

Genética Questão: Um casal de olhos castanhos tem quatro filhos, três deles de olhos azuis. Qual o genótipo do casal? Qual a probabilidade deles terem um quinto filho de olhos azuis?

Genética Veja: ?? Mulher ?? Homem O casal tem olhos castanhos, mas se eles têm filhos com olhos azuis, então certamente cada um deles possui a na sua codificação. Então eles só podem ser: Aa (M) Aa (H) Logo, para um possível quinto filho ter olho azul olhamos as 4 combinações possíveis que saem do cruzamento dos genótipos de H e M: Possível filho: AA Aa Aa aa P = 1/4 = 0,25 = 25%

Genética - Teoria Ter cabelo loiro ou castanho também segue essa lógica matemática. O gene dominante é para cabelo castanho, então para ser loiro a pessoa deve ser aa

Genética - Teoria Regra do OU (multiplica) EX: Tirar três blusas da mesma cor (3 azuis ou 3 verdes ou 3 pretas): P = 1/27 + 1/27 + 1/27 = 3/27 (mais fácil fazer direto em vez de somar frações!!) Regra do E (soma) Ex: Tirar um ás e depois uma dama: P = 4/52 . 4/51 = 16/2652 (retirada em sequência direto!!)

Loteca

Loteca Chance de acertar o palpite em um jogo: MAPA Ganha time A Ganha time B Empata P = 1/3

Loteca P = 1/ 2391485 Então, escolhendo um duplo em qualquer jogo:

Mega Sena

Quina

Monty Hall Problem Simulador: http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html

Filme “Quebrando a Banca” Trailer: http://www.youtube.com/watch?v=NGFoCtDUGy8