Introdução ao Cálculo Diferencial (med-unicamp-segundo ano) Dúvidas denucci@dglnet.com.br Arquivo Introdução ao Cálculo Diferencial (med-unicamp-segundo ano) Site www.gdenucci.com

Aplicação Financeira Investimento de R$ 1.000,00 (mil reais) a taxa de juros de 10% ao ano. Quanto vc receberia no final de um ano?

R$ 1.100,00 Mil e cem reais (mil reais seria o capital aplicado e cem reais corresponderiam a taxa de juros de 10% (1.000,00 x 0.1 = 100,00).

Investimento de R$ 1.000,00 (mil reais) a taxa de juros de 10% ao ano. Quanto vc receberia no final de dez anos?

R$ 2.000,00 Dois mil reais (mil reais seria o capital aplicado e mil reais corresponderiam a taxa de juros de 10% ao ano (cem reais) multiplicado pelo número de anos (10 anos) = 100,00 x 10 = 1.000,00

Entretanto, isto não seria justo, pois ao final de um ano vc teria R$ 1.100,00 e não apenas R$ 1.000,00. Assim sendo, o juro composto seria: Final do tempo Capital Juros Total Primeiro ano 1.000,00 100,00 1.100,00 Segundo ano 1.100,00 110,00 1.210,00 Terceiro ano 1.210,00 121,00 1.331,00 Quarto ano 1.331,00 133,10 1.464,10

Final do tempo Capital Juros Total Quinto ano 1.464,10 146,41 1.610,51 Sexto ano 1.610,51 161,05 1.771,56 Sétimo ano 1.771,56 177,16 1.948,72 Oitavo ano 1.948,72 194,87 2.143,59 Nono ano 2.143,59 214,36 2.357,95 Décimo ano 2.357,95 235,80 2.593,75 Bem diferente dos R$ 2.000,00 calculados anteriormente.

( ) 1 yn = y0 1 + n yn = capital final y0 = capital original 1 n ( ) yn = y0 1 + 1 n x yn = capital final y0 = capital original 1 n x = número de anos = fração adicionada

10 1 10 ( ) yn = 1000 1 + yn = 2.593,75

O número e 1 n n ( ) 1+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1+ 1 n 1+ 1 2 1 100 = 2.25 1+ = 2.705 ( ) 1+ 1 2 ( ) ( ) 1 100 100 = 2.25 1+ = 2.705 1+ 1 5 ( ) = 2.489 ( ) 1 1000 1000 1+ = 2.7169 1+ 1 10 ( ) = 2.594 ( ) 1 10,000 10,000 1+ = 2.7181 1+ 1 20 ( ) = 2.653

( ) e = 1 + = 2.7181…. 1 n

a b 1! n-1 a b 2! n-2 2 (a + b)n = an + n + n (n - 1) Binômio de Newton a b 1! n-1 a b 2! n-2 2 (a + b)n = an + n + n (n - 1) + n (n - 1) (n - 2) + …. a b 3! n-3 3

Considerando a = 1 e b = temos, ( ) ( ) 1 + 1 n = (1 + 1) + 2! n-1 1 3! + (n-1)(n-2) n2 4! (n-1)(n-2)(n-3) n3 + ...

1 2! e = 1 + 1 + 3! + 1 4! + +….

1.000000 Dividindo por 1! 1.000000 2! 0.500000 3! 0.166667 4! 0.041667 5! 0.008333 6! 0.001389 7! 0.000198 8! 0.000025 9! 0.000003 Total 2.718282

Função y = e x 0.0 2.5 5.0 7.5 500 1000 1500 y x

Função y = e -x 1.5 1.0 y 0.5 0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

Quadrado de lado x x x

x dx dx dx x x x dx

x . dx (dx)2 x2 x . dx

Calcular a derivada da função y = x2 dy dx = ? y + dy = (x + dx)2 y + dy = x2 + 2x.dx + dx2 y + dy = x2 + 2x.dx x2 + dy = x2 + 2x.dx dy = 2x.dx dy dx = 2x

Série exponencial x2 2! x3 3! x4 4! ex = 1 + x + + + +….

2x 1 . 2 3x2 1 . 2 . 3 d(ex) dx = 0 + 1 + + +…. x2 1 . 2 x3 1 . 2 . 3 d(ex) dx = 1 + x + + +…. d(ex) dx x2 2! x3 3! = 1 + x + + +….

x2 2! x3 3! x4 4! ex = 1 + x + + + +…. d(ex) dx x2 2! x3 3! = 1 + x +