Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Fundamental, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau; resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações problemas

Objetivos da Matemática para o terceiro ciclo do pensamento algébrico: MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Objetivos da Matemática para o terceiro ciclo do pensamento algébrico: -Reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções. -Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico. (PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, Matemática, página 64,1998) Um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática é a resolução de problemas, que tem como um dos princípios: a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática, e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, Matemática, página 40,1998).

VAMOS ESTUDAR TUDO ISSO!? MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Vocês já ouviram falar de EQUAÇÕES? Quem sabe o que são SENTENÇAS OU PREPOSIÇÕES? E INCÓGNITA OU VARIÁVEIS? ESTÁ DIFÍCIL SABER QUAIS AS RESPOSTAS PARA ESSAS PERGUNTAS? VAMOS ESTUDAR TUDO ISSO!?

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Vocês já observaram? Existem expressões matemáticas que podemos classificar como verdadeiras ou falsas e outras que não é possível classificar. 13 > 10 Podemos dizer que essas expressões são verdadeiras. 7 + 8 = 15 a – c ≥ 9 Já essas não podemos classificar como verdadeiras, nem falsas. 6t + 4 = 40

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Dizemos que: a) uma expressão matemática que pode ser classificada como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA. EXEMPLOS: SENTENÇA VERDADEIRA SENTENÇA FALSA SENTENÇA VERDADEIRA 40 > 11 4 . 8 = 36 15 + 14 =29

PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A c. MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. b) uma expressão matemática que NÃO podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA. EXEMPLOS: PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A c. 7c + 5 = 19 PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A x E A y. x + y ǂ 36 a – b ≥ 8 PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A a E A b.

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Podemos observar que: EXEMPLOS: Sentenças ou preposições matemáticas estabelecem uma relação de igualdade ou de desigualdade. 40 > 22 a – b ≥ 8 4 . 8 = 32 7c + 5 = 19 x + y ǂ 36

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Agora, veja: As sentenças matemáticas abertas que expressam uma relação de igualdade são denominadas EQUAÇÃO!!! A letra encontrada em uma equação é denominada INCÓGNITA ou VARIÁVEL. Vamos procurar no dicionário outros significados da palavra Equação e registrar no caderno.

Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas 2x – 5 = 12 r² + 5 = r + 17 É uma equação de incógnita x É uma equação com uma incógnita: r 8x = 32 x – y = 25 x + 6 = 2x + 1 x é a incógnita da equação É uma equação com duas incógnitas: x e y É uma equação com uma incógnita: x

2x - 5 12 Observe a equação 2x - 5 = 12. = Denomina-se MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Observe a equação 2x - 5 = 12. 2x - 5 12 = Denomina-se 1º membro da equação Denomina-se 2º membro da equação

Observe que 2 = 2¹, 3 = 3¹, ... então X = X¹ MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Em uma equação, o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja: Observe que 2 = 2¹, 3 = 3¹, ... então X = X¹ 2x – 5 = 13 É uma equação do primeiro grau. 4x² = 12 É uma equação do segundo grau. r² + 5 = r + 17 Também é uma equação do segundo grau. Nesse caso, considera-se o maior expoente da incógnita.

Na equação 8x = 32, qual o valor de x ? MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Em uma equação do 1º grau, procura-se o valor da incógnita que a transforma em uma sentença verdadeira. EXEMPLO: Na equação 8x = 32, qual o valor de x ?

4 é a solução ou raiz da equação MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Resolvendo mentalmente: 8x = 32 Veja que 8x = 32 pode ser escrito assim: 8 . x = 32 8 . 4 = 32 Logo, x = 4, ou seja, 4 é a solução ou raiz da equação 8x = 32. Isso significa dizer que, substituindo o x por 4, na equação 8x = 32, temos uma sentença fechada verdadeira.

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Resolver uma equação do 1º grau é encontrar a sua raiz e verificar se ela satisfaz as condições apresentadas por essa equação. Resolva a equação 2x - 5 = 13.

Logo, x = 9 é soluções da equação 2x - 5 = 13 MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Resolvendo mentalmente: 2x – 5 = 13 A equação pode ser escrita assim: 2 . x - 5 = 13 Então, temos que x = 9 2 . 9 - 5 = 13 18 - 5 = 13 Logo, x = 9 é soluções da equação 2x - 5 = 13

4 é a RAIZ da equação 8x = 32 9 é a RAIZ da equação 2x - 5 = 13 MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. A RAIZ ou solução da equação é todo número que, substituindo a incógnita, torna a equação uma sentença verdadeira. 4 é a RAIZ da equação 8x = 32 9 é a RAIZ da equação 2x - 5 = 13

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Vamos agora resolver as equações 8x = 32 e 2x – 5 = 13, utilizando um método que não é o mental. Vamos resolver essas equações por meio das operações matemáticas inversas.

RESPOSTA: 4 é a raiz da equação 8x=32 MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 8x = 32 Observe que o 8 está multiplicando. A operação inversa de multiplicar por 8 é dividir por 8. 8.x = 32 x = 32 : 8 Observe que o número 8 estava multipicando no 1º membro e “passou” para o 2º membro dividindo (operação inversa). x = 4 Verificação: 8 . 4 = 32 RESPOSTA: 4 é a raiz da equação 8x=32

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 2x - 5= 13 2x - 5 = 13 Observe que o 5 está subtraindo. A operação inversa de subtrair 5 é somar 5. 2x = 13 + 5 Observe que o número 5 estava subtraindo no 1º membro e “passou” para o 2º membro somando (operação inversa). 2x = 18 Observe que o 2 está multiplicando, logo “passará” para o 2º membro dividindo. x = 18 : 2 Verificação: 2. 9 – 5 = 13 → 18 – 5 = 13 x = 9 RESPOSTA: 9 é a raiz da equação 2X – 5 = 13

Vamos agora resolver mais problemas envolvendo equações! MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Vamos agora resolver mais problemas envolvendo equações! Observação: As equações aparecerão em linguagem corrente.

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. 1) Uma loja possui um plano de venda de eletrodomésticos que corresponde a uma entrada de R$ 100,00 mais quatro prestações de valores iguais. Na venda de uma TV que custa R$ 700,00, qual é o valor de cada prestação?

VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO. MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Passando para linguagem matemática, a expressão “uma entrada de R$ 100,00 e mais quatro prestações de mesmo valor”, chamando as prestações de p, temos: 100 + 4 . P = 100 + 4p Vamos equacionar o problema: (Utilizar o dicionário para entender o significado da palavra equacionar.) Igualando a expressão 100 + 4p, que representa o preço da TV utilizando o plano de venda da loja, com seu custo, que é R$ 700,00 : 100 + 4p = 700 VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO.

O que esse resultado nos mostra? MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. O inverso de adicionar 100 é subtrair 100. 100 + 4p = 700 4p = 700 - 100 O inverso de multiplicar por 4 é dividir por 4. A raiz da equação é 150. 4p = 600 p = 600 : 4 O que esse resultado nos mostra? p = 150

MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Como p = 150 e ele representa o valor da prestação, isso significa dizer que cada prestação da TV custa R$ 150,00. Vamos verificar: Lembre-se de que 4p = 4 . p Substituindo p por 150 100 + 4p = 700 100 + 4 .150 = 700 700 = 700 100 + 600 = 700

(x + 8) + x = 20 Passando para linguagem matemática: Solução MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. 2) A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20 anos. Qual é a idade de cada um, sabendo que Petrúcio é 8 anos mais velho que Petrus? Solução Representando a idade de Petrus por x, então a idade de Petrúcio será representada por x + 8 Passando para linguagem matemática: A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20. (x + 8) + x = 20

O inverso de multiplicar por 2 é dividir por 2. MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. RESOLVENDO A EQUAÇÃO (X + 8) + X = 20 X + 8 + X = 20 Eliminando os parênteses. X + X + 8 = 20 Aplicando a propriedade comutativa. Observe que x + x = 2x. 2X + 8 = 20 2X = 20 - 8 O inverso de adicionar 8 é subtrair 8. O inverso de multiplicar por 2 é dividir por 2. 2X = 12 X = 12 : 2 X = 6

A raiz da equação é 6. Isso significa dizer que... MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. A raiz da equação é 6. Isso significa dizer que... Como a idade de Petrus foi representada por x, e x = 6, logo Petrus tem 6 anos. anos. A idade de Petrúcio foi representada por x + 8, e como x = 6, temos: x + 8 6 + 8 = 14 Isso significa dizer que Petrúcio tem 14 anos. Conclusão: Petrus tem 6 anos e Petrúcio tem 14 anos.

TEMOS: 2x x x 2x P = 2x + 2x + x + x = 6x P = 6x MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. 3) O retângulo abaixo representa a planta baixa de um quarto cujo perímetro é 30 m. Qual é a largura e o comprimento desse quarto? -Pesquisar na internet: Significado de Planta baixa. -Dicionário: O que é perímetro de uma figura plana? TEMOS: 2x Largura: x x x Comprimento:2x 2x Chamando o perímetro de P, temos: P = 2x + 2x + x + x = 6x P = 6x

6x = 30 Equacionando o problema MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações problema. Equacionando o problema Do enunciado do problema, temos que o perímetro é igual a 30 m, então podemos escrever a expressão: P = 30 Como a expressão que representa o perímetro é dada por P = 6x, igualando as duas expressões, temos: 6x = 30

RESOLVENDO A EQUAÇÃO: 6x = 30 6. x = 30 x = 30 : 6 x = 5 MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. RESOLVENDO A EQUAÇÃO: O inverso de multiplicar por 6 é dividir por 6. 6x = 30 Como o comprimento é representado por 2x, ou seja, o dobro da largura, temos: 6. x = 30 x = 30 : 6 Temos que a largura é x, e x = 5 logo, a largura é igual a 5m. x = 5 2 . 5 = 10; O comprimento é igual a 10 m.

O quarto tem 5m de largura e 10m de comprimento. MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. Verificação: Com x = 5 temos que: 6x = 30 CONCLUSÃO: O quarto tem 5m de largura e 10m de comprimento. 6 . x = 30 6 . 5 = 30 30 = 30

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MATEMÁTICA, 6º Ano Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS -Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010. -Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental-Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília -MEC /SEF, 1998. -Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 5ª série, São Paulo, Ática, 2002. -Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 5ª série, São Paulo, Scipione, 1997. -Souza, Maria Helena de, Matemática, 5ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, 1999. -Guelli, Oscar, Matemática: Uma aventura do pensamento. 5ª série, São Paulo, Ática, 8ª edição, 2001. -Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 5ª série, São Paulo, FTD, 2000. -Logen, Adilson, Matemática em Movimento, 5ª série, São Paulo,Editora do Brasil, 1999. -Projeto Araribá: matemática/obra coletiva, 5ª série, São Paulo Moderna, 2006 -www.somatematica.com.br -http://tvescola.mec.gov.br/